【金版学案】高考数学一轮复习 8.7空间坐标系、空间向量的概念及运算课件 理

图 8-6-4
解：不妨设正方体的棱长为 1，
B→C1·A→C＝(B→C＋C→C1)·(A→B＋B→C)
＝(A→D＋A→A1)·(A→B＋A→D)
＝A→D·A→B＋A→D2＋A→A1·A→B＋A→A1·A→D
＝0＋A→D2＋0＋0＝A→D2＝1，
又∵|B→C1|＝ 2，|A→C|＝ 2，
∴cos〈B→C1，A→C〉＝|BB→→CC11|·|AA→→CC|＝
(2)向量的线性运算有一个常用的结论：如果点B 是线段AC 的中点，那么O→B＝12(O→A＋O→C).此结论常用于与中点相关的运 算.
【互动探究】
1.如图 8-6-3，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设A→A1＝a， A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试 用 a，b，c 表示以下各向量：
1 2×
2＝12.
∵〈B→C1，A→C〉∈[0，π]，
∴〈B→C1，A→C〉＝π3.∴B→C1与A→C夹角的大小为π3.
1.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互
相垂直，则 k 值是( D )
A.1
B.15
C.35
D.75
2.a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则a＋b
与a －b 的夹角为( D )
° C.60°
B.30° D.90°
3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量表达式D→D1－A→B＋B→C 化简后的结果是( A )
(3)数乘向量：λa(λ∈R)仍是一个向量，且λa与a共线， |λa|＝|λ||a|.
(4)数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·b是一个实数. 3.空间向量的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) [注意：(a·b)c＝a(b·c)一般不成立]. (3)分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

+
1
uuur OC
2
4
4
= 1 a+ 1 b+ 1 c. 244
答案: 1 a+ 1 b+ 1 c. 244
考点突破
剖典例 找规律
考点一 空间直角坐标系
【例 1】 (1)在空间直角坐标系中,点 M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为 M′,
则 M′在 xOz 上的投影 M″的坐标是
.
(2)已知点 A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(a∈R),则|AB|的最小值是
=a+b+c,
uuuur 2 AC1
=(a+b+c)2
uuuur
=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此| AC1 |=5.
4.已知向量 a=(4,-1,3),b=(2,4,-3),则(a+b)·(a-b)=
.
解析:因为 a+b=(6,3,0), a-b=(2,-5,6), 所以(a+b)·(a-b)=(6,3,0)·(2,-5,6) =12-15+0 =-3.
uuur OP
=x
uuur OA
+
uuur uuur y OB +z OC (其中 x、y、z∈R),则 P、A、B、C 四点共面.其中不
正确命题的个数是( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①中四点恰好围成一封闭图形,正确; ②中当a、b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|,∴②不正确; ③中a、b所在直线可能重合,∴③不正确; ④中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面,④不正确. 故选C.

高考总复习•数学（理科）
(2)连接OA，过点P作PE⊥OA于点E， 则PE垂直于坐标平面xOy， 设点P的横坐标为x， 则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x， 由正方体的棱长为1得AE＝ 2(1－x)． 21－x×1 AE PE 因为AO＝BO，所以PE＝ ＝1－x， 2 所以点P的坐标为(x，x,1－x)． 1 又因为Q0，1，2， 1 2 5 2 2 2 所以|PQ|＝ x ＋1－x ＋ －2＋x ＝ 3x －3x＋4＝ 12 1 3x－2 ＋2.
高考总复习•数学（理科） (2) 当 Q 是棱 CD 的中点时，是否存在满足条件的点 P ，
使|PQ|的值最小？若有，请指出P点的位置，并求出这个
最小值；若没有，请说明理由． 思路点拨： (1)用空间中线段的中点坐标公式计算； (2)由坐标轴上坐标的特点设出所求点的坐标，然后由两 点间的距离公式，列出方程求解．
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第八章
第七节 空间坐标系、空间向量的概念及运算
高考总复习•数学（理科）
空间直角坐标系中点的坐标和距离问题
【例 1】 如图所示，以棱长为 1 的正方体的具有公共顶
点的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz ， 点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动． (1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值；
高考总复习•数学（理科） 空间向量的坐标运算
【例4】 如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是 3 1 BC的中点，点A的坐标是 ， ，0 ，点D在平面yOz上，且 2 2 ∠BDC＝90° ，∠DCB＝30° . → 的坐标； (1)求向量OD → 和BC → 的夹角为θ，求cos θ的值． (2)设向量AD

自主解答：
解析：(法一)如图所示取PC的中点E， → ＝EN → －EM →. 连接NE，则MN 1 → 1→ 1→ → ∵EN＝2CD＝2BA＝－2AB， 2→ 1→ 1→ → → → EM＝PM－PE＝3PC－2PC＝6PC， → ＝AC → －AP → ＝AB → ＋AD → －AP →， 连接AC，则PC 1→ 1 → → → → ∴MN＝－2AB－6(AB＋AD－AP) 2→ 1 → 1→ ＝－3AB －6AD＋6AP. 2 1 1 ∴x＝－3，y＝－6，z＝6.
1→ 2→ → → → (法二)MN＝PN－PM＝2PD－3PC＝ 1→ → 2→ → 2(PA＋AD)－3(PA＋AC)＝ 1→ 1 → 2 → → → －2AP＋2AD－3(－AP＋AB＋AD)＝ 2→ 1 → 1→ －3AB－6AD＋6AP， 2 1 1 ∴x＝－3，y＝－6，z＝6.
点评：(1)平面向量是空间向量的一种特殊情况，因此 平面向量的重要运算法则及解题方法均可引申到空间向量 中来． (2)在向量的加减法运算中应注意其几何意义的应用． (3)应注意数形结合的数学思想和方法．
பைடு நூலகம்
空间向量的基本运算与空间向量的基本 定理
【例2】 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥ → ＝2 MC → ， PN →＝ 平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且 PM → ，求满足MN → ＝xAB → ＋yAD → ＋zAP → 的实数x，y，z的值． ND → 出发，利用向量运算法则 思路点拨：结合图形，从向量 MN → ， AD → ， AP → 表示出来，即可 不断进行分解，直到全部向量都用 AB 求出x，y，z的值．
解析：(1)点A(2，－3,5)关于坐标平面xOy的对称点是 B(2，－3，－5)，