15级高一数学期末复习专题第一讲(集合、函数表示)
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成都七中（林荫校区）高2015级上学期期末复习专题一
命题人：江海兵 审题人：廖学军
知识点一：集合
考点1：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性 例1 已知集合{}023|2=+-=x ax x A
（1）若A 是单元素集合，求集合A ； （2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围.
考点2：集合的表示方法：自然语言法、例举法、描述法
例1 下列各集合是用描述法表示的，请读懂各集合中的元素，并用列举法表示下列集合： {}Z x x x x x ∈=++-,0)1)(2)(12(|)1(2
{}的非负偶数不大于10)2( ()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-=+182|,)3(y x y x y x
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+==为非零实数
b a b b
a a x x A ,,|)3( ⎭⎬⎫
⎩⎨
⎧∈∈-=*,36|)5(N x Z x x B
考点3 子集、真子集、非空真子集
例1 （判断关系） 判断下列两个集合之间的关系 （1）{}{}的约数是8x x B A |,4,2,1== （2）{}{}N z z x x B N k k x x A ∈==∈==,6|,,3|
（3）{}
{}++∈==∈=N m m x x B x N x A ,20||，的公倍数与是104 例2（子集、真子集个数） （1）已知集合{}2,1=A ，集合B 满足{}2,1=B A ，则集合B 有 个. （2）已知{}{}3,2,11⊆⊂≠
A ，求满足条件的所有的集合A 有 个.
例3（方程子集的问题）注：考虑空集
若集合A ＝{x |x 2
＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2
＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
例4（不等式子集问题）注：考虑空集
集合{}013|2≤--=x x x A 若{}，为常数m m x m x B A B ,121|,-≤≤+=⊆求实数m 的取值范围
考点四：集合的交集、并集、补集
例1 （venn 图 ）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
例2（venn 图 ）
设全集{}{}{}4,2)(,3,1)(,9,8,7,6,5,4,3,2,1===B C A B A C U U U ，求集合B
例3（画数轴）已知集合{}{}R B C A x x B a x x A R =<<=<=)(,21|,| ，实数a 的取值范围 例4（有关方程与集合）注：B A B A B A B A B B A A B B B A =⇒=⊆⇒=⊆⇒= ;; 设集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，若A ∩B ＝B ，求a 的值．
知识点二：函数的概念
考点1：函数概念的理解
例1 （函数的概念与图像关系） 设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )
A ．①②③④
B ．①②③
C ．②③
D ．②
例2 （同一函数） 在下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)
①y ＝1，y ＝x x
；②y ＝x －1x ＋1，y ＝x 2－1；③y ＝x ，y ＝5
x 5；④y ＝|x |，y ＝(x )2.
例3 （求定义域）
（1）求下列函数的定义域：x
x x x x x f +-+
+-=
2
)
1(65)(的定义域 ．
（2）已知函数()f x 的定义域是(1,2)，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域 ． （3）已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域 . 例4（求值域）(1)2
42y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）2
2
1
x
y x =+()x R ∈；
（3）21y x x =-+．
例5（映射的概念）集合{}{}1,0,,,==B c b a A ，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来。
知识点三 函数的表示方法
例1 （求解析式）
（1）复合函数的解析式 已知(),2,1,)34(2∈=+x x x f 那么=)(x f
（2）有关对称的解析式 已知)(,)(2x g x x f =的图像与)(x f 图像关于2=x 对称，=)(x g 如果)(x g 的图像与)(x f 图像关于)0,2(对称=)(x g
（3）用奇偶性求解析式 已知)(x f 是R 上的偶函数，且x x x f x 2)(,02
-=≤，)(x f 解析式 （4）有关周期函数的解析式
定义在R 上的函数)(x f ，满足)()4(x f x f =+且[],2,2,)(2
-∈=x x x f 那么=)(x f
（5）有关函数方程求解析式
Ⅰ.已知x x
f x f 2)1
(2)(=+，那么=)(x f
Ⅱ.已知2
2)(2)(x x f x f =-+，那么=)(x f
Ⅲ.f (x )是R 上的函数，满足f (0)＝1，对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，f (x )的解析式 ．
（6）已知函数模型求解析式
二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根的平方和为10，图象过(0,3)点，f (x )的解析式 ．
例2（分段函数） 已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<≥+=0
,1
0,1)(x x x x x f ，若2)(=x f ，则=x
例3（二次函数根的分布）对于关于x 的方程2(21)420x m x m +-+-=，求满足下列条件的m 的取值范围： （1）两个正根； . 5,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭（2）有两个负根； . 3,22⎛⎫
⎪⎝⎭
（3）两个根都小于1-； . ∅（4）两个根都大于
12
； . 5,2⎛
⎫
-∞-
⎪⎝
⎭
（5）一个根大于2，一个根小于2 ； . (),3-∞-（6）两个根都在()0,2内； . ∅ （7）两个根有且仅有一个在()0,2内 ； . ()(),32,-∞-+∞ （8）一个根在()2,0-内，另一个根在()1,3； . ∅ （9）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； . ∅ （10）一个根小于2，一个根大于4. . 75,22⎛
⎫-
- ⎪⎝⎭
例4（抽象函数）
（1）、已知函数)(x f 对任意实数x ，y ，均有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ，求)(x f 在区间[－2，1]上的值域。
（2）．定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意实数,m n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0x >时，1)(0<<x f ．（1）试求)0(f 的值；（2）判断)(x f 的单调性并证明你的结论；
（3）、已知函数)(x f 满足定义域在),0(+∞上的函数，对于任意的),0(,+∞∈y x ，都有
)()()(y f x f xy f +=，当且仅当1>x 时，0)(<x f 成立，设),0(,21+∞∈x x ，若)()(21x f x f <，试比较
1x 与2x 的大小；
（4）定义在()()-,00,+∞⋃∞上的函数f(x)对任何x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)>0,当x>1时,有f(x)<1. （1）判断f(x)的奇偶性 （2）判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.。
