专题14 推理与证明、新定义-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第01期)Word版无答案]

一．基础题组1.【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（理科）】记定义在R上的函数()y f x =的导函数为'()f x ．如果存在0[,]x a b ∈，使得0()()'()()f b f a f x b a -=-成立，则称0x 为函数()f x 在区间[,]a b 上的“中值点”．那么函数 3()3f x x x =-在区间[－2，2]上的“中值点”为____ ．2. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 .10x c --=()12x x <->或也有一个解，所以有021112c c <+⎧⎨-+⎩或1241112c c c <+⎧⎨+<-+>⎩或，解得所求实数c 的取值范围为(](]2,11,2--．考点：1．新概念函数；2．分段函数；3．函数的零点．3.【银川九中2014届高三年级第4次月考试卷（理科试卷）】在应用数学归纳法证明凸n 变形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于（ ） A. 1 B.2 C ．3 D ．0二．能力题组1. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（理科）】函数)(x f 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①0)0(=f ；②)(213x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛；③)(1)1(x f x f -=-.则)81()71()61()31()21()1(f f f f f f +++++等于( ) A ．411 B ．821 C ．25 D ．无法确定)81()71()61()31()21()1(f f f f f f +++++=1+12+12+14+14+14=411. 考点：抽象函数的运算、新概念的理解2. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三理科数学试题】对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()(),f x f x -=- 称()f x 为“局部奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ） .1313A m -≤≤+ .1322B m -≤≤ .2222C m -≤≤.2213D m -≤≤-3. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三理科数学试题】数列{}n a 满足13,a =11[]{}n n n a a a +=+([]{}n n a a 与分别表示n a 的整数部分与分数部分），则2013___________a =33018。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作专题14 归纳推理、新定义1. 【2014高考北京版理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人2. 【2014高考福建卷第10题】用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++ 3. 【2014高考福建卷第15题】若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.4. 【2014高考湖北卷理第6题】若函数)(x f 、)(x g 满足⎰-=110)()(dx x g x f ，则称)(x f 、)(x g 在区间]1,1[-上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin )(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==.其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）A.0B.1C.2D.35. 【2014全国1高考理第14题】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，（学科，，网） 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________6. 【2014山东高考理第4题】用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根7. 【2014山东高考理第15题】已知函数R x x f y ∈=),(，对函数I x x g y ∈=),(,定义)(x g 关于)(x f 的对称函数为函数I x x h y ∈=),(，)(x h y =满足：对于任意I x ∈，两个点))(,()),(,(x g x x h x 关于点()),(x f x 对称，若)(x h 是24)(x x g -=关于b x x f +=3)(的“对称函数”，且)()(x g x h >恒成立，则实数b 的取值范围是_________.其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）9. 【2014浙江高考理第10题】设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<10. 【2014陕西高考理第14题】 观察分析下表中的数据： 多面体面数（F ） 顶点数（V ) 棱数（E ) 三棱锥5 6 9 五棱锥6 6 10 立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.。

一．基础题组1.【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） （A ）假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 （B ）假设a ，b ，c 至多有两个偶数 （C ）假设a ，b ，c 都是偶数 （D ）假设a ，b ，c 都不是偶数2.【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212|()()|||f x f x k x x -≤- 成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数()1)f x x =≥满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为 .3.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解式：2213=+，23135=++，241357=+++， ；3235=+，337911=++， ； 4279=+， ；按此规律，45的分解式中的第三个数为 ____ ．4.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】若正整数,,,w x y z 满足!!!!w x y z =++，则数组(),,,w x y z 可能是 .二．能力题组5.【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】对于任意两个正整数m, n , 定义某种运算“※”如下：当m ,n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是( )A.10个B.15个C.16个D.18个6.【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】如图在展览厅有一展台，展台是边长为1m 的正方体1111ABCD A B C D -，面11AA D D 紧靠墙面，一移动光源P 在竖直旗杆MN 上移动，其中点N 在地面上且点N 在面11BB C C 上的投影恰好是BC 的中点R ，3MN m =，2NR m =，设N P x m =，在光源P 的照射下，正方体1111ABCD A B C D -在面1111A B C D 紧靠墙面的投影（包括面11AA D D ）的面积为2()S x m ，则函数()y S x =的大致图像是（ ）7.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最小值为 .8.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是（ ）A ． 15(,)22B ． (0,1)C ． (0,2)D ．(1,3) 9.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】 设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：①{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = （ ） A ．①④B ．②③C ．①②D ．①②④10.【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】在等差数列{}n a 中，若*(,1)m n a p a q m n N n m ==∈-≥， ，，则m n nq mpa n m+-=-．类比上述结论，对于等比数列{}n b （*0,n b n N >∈），若m b r =，n b s =（2n m -≥，*,m n N ∈），则可以得到m n b += ．11.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】函数()x f 的定义域为A ,若A x x ∈21,且()()21x f x f =时总有21x x =,则称()x f 为单函数.例如,函数()()R ∈+=x x x f 1是单函数.下列命题:①函数()()R ∈-=x x x x f 22是单函数;②函数()⎩⎨⎧<-≥=2,2,2,log 2x x x x x f 是单函数;③若()x f 为单函数,A x x ∈21,且21x x ≠,则()()21x f x f ≠;④函数()x f 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()x f 一定是单函数.其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).三．拔高题组12.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】（本小题满分10分）数列{21}n-的前n 项组成集合{1,3,7,,21}()n n A n N *=-∈ ，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++ ．例如：当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，1213,13T T =+=⨯，213137S =++⨯=．（Ⅰ）求3S ；（Ⅱ）猜想n S ，并用数学归纳法证明．13.【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】已知函数()f x 及其导数'()f x ，若存在0x ，使得'00()()f x f x =，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”下列函数中，有“巧值点”的是 .(填上正确的序号)①2()f x x =，②()x f x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =，⑤1()f x x x=+14.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】（本小题共12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a . ①︒︒-︒+︒17cos 13sin 17cos 13sin 22；②︒︒-︒+︒15cos 15sin 15cos 15sin 22； ③︒︒-︒+︒12cos 18sin 12cos 18sin 22； ④︒︒--︒+︒-48cos )18sin(48cos )18(sin 22； ⑤︒︒--︒+︒-55cos )25sin(55cos )25(sin 22. (1)从上述五个式子中选择一个,求出常数a ；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.。

1.【湖北省潜江中学2014届高三暑期阶段考试】.13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，那么5S = .2.【江苏省高邮市界首中学2014届高三12月月考】将一列有规律的正整数排成一个三角形矩阵（如图1）：根据排列规律，数阵中第12行的从左至右的第4个数是_______.14710131619222528图13.【江西省抚州一中2014届高三第五次同步考试】若{}n b 是等比数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：1nmpp m n n p m b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.类比上述性质，相应地，若{}n a 是等差数列，m 、n 、p 是 互不相等的正整数，则有正确的结论： .4.【浙江省诸暨中学2014届高三期中考试】P 是ABC ∆内一点，若ABC ∆三条边上的高分别为A h 、B h 、C h ，P 到这三条边的距离依次为a d 、b d 、c d ，则有1a b cA B Cd d d h h h ++=；类比到空间，设P 为四面体ABCD 内一点，若四面体ABCD 四个面上的高分别为A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次为a d 、b d 、c d 、d d ，则有 .5.【广东省汕头市金山中学2014届高三摸底考试】设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a 、b S ∈，对于有序元素对()b a ,，在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应），若对任意的a 、b S ∈，有()a b a b **=，则对任意的a 、b S ∈，下列等式中不．恒成立的是（ ） A.()()a b a a b a ****=⎡⎤⎣⎦ B.()b b b b **= C.()a b a a **= D.()()a b b a b b ****=⎡⎤⎣⎦7.【广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三10月期中联考】定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.例如4y x =是[]1,1-上的“平均值函数”，0就是它的均值点.现有函数()2f x x mx =-+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 .8.【福建省南平市光泽一中2014届高三第三次模拟考试】在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于以下结论：①符合[]1OP =的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；②设P 220y +-=上任意一点，则[]OP 的最小值为1；③设P 为直线(),y kx b k b R =+∈上的任意一点，则“使[]OP 最小的点P 有无数个”的必要不充分条件 是“1k =±”.其中正确的结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.0[精选试题训练]1.【四川省仁寿县一中2014届高三零诊考试】已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=， ，()()1n n f x f x +'=，n N *∈，则()2013f x =（ ）A.sin cos x x --B.sin cos x x +C.sin cos x x -+D.sin cos x x -2.【河北省衡水中学2014届高三四调考试】能够把圆22:16O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是（ ） A.()34f x x x =+ B.()5ln5x f x x -=+ C.()tan 2x f x = D.()x xf x e e -=+3.【湖北省部分重点高中2014届高三期中联考】我们把形如()()x y f x ϕ=的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得()()ln ln y x f x ϕ=，两边求导数，得y y'= ()()()()()ln f x x f x x f x ϕϕ''+⋅，于是()()()()()()()ln x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ⎡⎤'''=+⋅⎢⎥⎣⎦，运用此方法可以探求得函数1xy x =的一个单调递增区间是（ ）A.(),4eB.11,e e ee ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C.()1,1e e -+D.()0,e4.【福建师大附中2014届高三期中考试】已知集合(){},()M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，在()22,x y M ∈，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”.给出下列4个集合： ①(){}||,x M x y y e ==； ②(){},cos M x y y x ==；③()1,x M x y y x ⎧+⎫==⎨⎬⎩⎭； ④()(){},ln 2M x y y x ==+其中所有“Ω集合”的序号是（ ）A.①③B.①④C.②④D.②③④5.【浙江省五校2014届高三上学期期中考试】已知等差数列{}n a 中，35a =，614a =，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：12345678910a a a a a a a a a a则此数阵中第30行从左至右第10个数为（ ）6.【山东省济宁市曲阜师大附中2014届高三第四次质量检测】设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数m 满足对于任意()x M M D ∈⊆，均有x m D +∈，且()()f x m f x +≥，则称()f x 为M 上的m 高调函数，如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，()22f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A.[]1,1-B.()1,1-C.[]2,2-D.()2,2-9.【福建省漳州市实验中学2014届高三期中考试】对于非空实数集A ，记{},A y x A y x *=∀∈≥.设非空实数集M 、P 满足M P ⊆.给出一下结论： ①P M **⊆；②M P *≠∅ ；③M P *=∅ .其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）10.【陕西省宝鸡中学2014届高三第二次月考】对函数()f x ，若存在区间[],M a b =使得(){},y y f x x M M =∈=，则称()f x 为“稳定函数”，给出下列函数： ①()2f x x =；②()tan4xf x π=；③()ln f x x =.其中为“稳定函数”的序号为 .。