第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2011～2012·福建福州模拟)某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是()
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样
D．简单随机抽样，系统抽样
[答案] D
[解析]由抽样方法的概念知选D.
2．当前，国家正大力建设保障性住房以解决低收入家庭住房困难的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，假设第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，若采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为() A．40B．30
C．20D．36
[答案] A
[解析]
360
360＋270＋180
×90＝40.
3．(2011～2012·安徽合肥模拟)将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是() A．09,14,19,24 B．16,28,40,52
C．10,16,22,28 D．08,12,16,20
[答案] B
[解析]分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．
4．下列说法：
①一组数据不可能有两个众数；
②一组数据的方差必须是正数；
③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；
④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．
其中错误的个数有()
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析]若一组数据中，有两个或几个数据出现的次数相同且最多，则这几个数据都是这组数据的众数．可见，一组数据的众数可以不唯一，即①错误．一组数据的方差是标准差的平方，必须是非负数，即②错误．根据方差的定义知③正确．根据频率分布直方图的定义知
④正确．
5．某中学有教职工300人，分为业务人员、管理人员、后勤服务人员三部分，其组成比例为811，现用分层抽样方法从中抽取容量为20的样本，则三部分抽得的人数分别为()
A．16,2,2 B．2,16,2
C．2,2,16 D．14,3,3
[答案] A
[解析]分层抽样中，各部分样本数与各部分总体数成比例．故选A.
6．两个相关变量满足如下关系
x 1015202530
y 1 003 1 005 1 010 1 011 1 014
A.y^＝0.56x＋997.4
B.y^＝0.63x－231.2
C.y^＝50.2x＋501.4
D.y^－60.4x＋400.7
[答案] A
[解析]由数据得x＝20，y＝1 008.6，而回归直线必过点(x，y)，将(20,1 008.6)代入各选项验证知A正确．
7．某市正在全面普及数字电视，某住宅区有2万户住户，从中随机抽取200户，调查是否安装数字电视．调查的结果如下表，则估计该住宅区已安装数字电视的户数是()
数字电视老住户新住户
已安装3050
C ．8 000
D ．9 500
[答案] C
[解析] 由于样本中安装数字电视的频率为80200＝2
5，所以估计已安装的户数为20 000×2
5＝8 000.故选C.
8．一个容量为35的样本数据，分组后，组距与频数如下：[5,10)，5；[10,15)，12；[15,20)，7；[20,25)，5；[25,30)，4；[30,35)，2，则样本在区间[20,35]上的频率约为( )
A ．20%
B ．69%
C ．31%
D ．27%
[答案] C
[解析] 由题意可知，六个组的频率分别为：535，1235，735，535，435，235，故样本在区间[20,35]上的频率为535＋435＋235＝1135≈0.31＝31%.
9．一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )
A ．40.6,1.1
B ．48.4,4.4
C ．81.2,44.4
D ．78.8,75.6 [答案] A
[解析] 设原来数据的平均数和方差分别为x 和s ，则
??
?
4.4＝22s ，2x －80＝1.2，
解得??
?
s ＝1.1，x ＝40.6.
10．(2012·安徽高考卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [答案] C
[解析] x －甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x －乙＝1
5(5×3＋6＋9)＝6，甲
的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为1
5(12×3＋32×1)＝2.4.
11．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与19s 之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13s 且小于14s；第二组，成绩大于等于14s且小于15s；…；第六组，成绩大于等于18s且小于等于19s.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15s且小于17s的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为()
A．0.9,35 B．0.9,45
C．0.1,35 D．0.1,45
[答案] A
[解析]由图中可知小于17s的学生频率：x＝(0.02＋0.18＋0.36＋0.34)×1＝0.9，大于等于15s且小于17s的学生频率为(0.36＋0.34)×1＝0.7.又因频数＝频率×样本容量，故y＝50×0.7＝35.
12．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得了80分却
记成了50分，乙得了70分却记成了100分，更正后平均分和方差分别为( )
A ．70,75
B ．70,50
C ．70,1.04
D ．60,25
[答案] B
[解析] 注意到平均数没有变化，只是方差变动． 更正前，s 2
1＝148×[…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…]＝75， 更正后，s 22＝148×[…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…]＝148×(48×75－400－900＋100)＝50.故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．为了了解1 201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为60的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为________．
[答案] 30
[解析] 由于1 201
60不是整数，则先剔除一名学生后再重新编号，其分段间隔k ＝1 200
60＝20.
14.如图所示，是在某一年全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈运动员打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为________，方差为________．
[答案] 85 1.6
[解析] 七位评委为某民族舞蹈运动员打出的分数是：79,84,84,86,84,87,93，去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据是84,84,86,84,87，平均分等于1
5(84＋84＋86＋84＋87)＝85，
则方差s 2＝1
5[3(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.
15．某企业五月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别 A
B C
产品数量(件) 1 300 样本容量
130
统计员只记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据：________，________，________，________.(从左到右依次填入)
[答案] 900 800 90 80
[解析] 由产品B 的数据可知该分层抽样的抽样比k ＝130
1 300＝1
10，设产品C 的样本容量为x ，则产品A 的样本容量为(x ＋10)，那么x ＋10＋130＋x ＝3 000×1
10，解之得x ＝80，所以产品A 的样本容量
为90，产品A 的数量为90÷110＝900，产品C 的数量为80÷1
10＝800.
16．某服装商场为了了解毛充的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量
约为________件．(参考公式：b
^＝∑i ＝1n
x i y i －n x －
y －∑i ＝1
n
x 2i －n x
－2
，a ^＝y －－b ^x －)
[答案] 46
[解析] x －＝10，y －＝38，回归直线必过点(x －，y －)，则有38＝－2×10＋a ^，解得a ^＝58，所以回归方程为y ^＝－2x ＋58，当x ＝6时，y ^＝－2×6＋58＝46.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现从中抽取普通工人40人，高级工程师4人，组成代表队参加某项活动，你认为应如何抽取？
[解析] 先在1 001名普通工人中抽取40人，用系统抽样法抽样过程如下：
第一步，将1 001名工人用随机方式编号；
第二步，从总体中用抽签法剔除1人，将剩下的1 000名工人重新编号(分别为000,001，…，999)，并分成40段；
第三步，在第1段000,001，…，024这25个编号中，用简单随机抽样法抽出一个(如003)作为起始号；
第四步，将编号为003,028,053，…，978的工人抽出作为代表参加此项活动．
再从20人中抽取4人，用抽签法：
第一步，将20名工程师随机编号(1,2，…，20)；
第二步，将这20个号码分别写在一张纸条上，制成号签；
第三步，把得到的号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；
第四步，从盒子里逐个抽取4个号签，并记录上面的编号；
第五步，从总体中将与抽到的号签的编号相一致的工程师抽出，作为代表参加此项活动．
由以上两种方法得到的工人便是代表队成员．
18．(本小题满分12分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：
(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？
(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？
[解析] (1)x －＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．
(2)中位数为41＋44
2＝42.5(吨)．
(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．
19．(本小题满分12分)甲、乙两名工人每天生产60个机器零件，经检验员检验合格后才能入库，不合格的销毁重做，10天中甲工人的合格品个数为：15,56,28,9,27,38,33,24,31,39；乙工人的合格品个数为：19,51,49,39,37,28,31,33,36,36.
(1)用茎叶图表示甲、乙两个工人合格品的分布情况；
(2)根据茎叶图分析甲、乙两个工人谁的技术水平发挥得更稳定． [解析] (1)茎叶图如下：
(2)从茎叶图上可以看到，乙的中位数是36，合格品数据对称，
故乙的技术水平发挥较稳定．
20．(本小题满分12分)为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根不同的弹簧进行测量，所得数据如下：
质量(g)51015202530 弹簧长度(cm)7.258.128.959.9010.9011.80
(2)根据散点图，判断弹簧长度与质量是否具有相关关系．
[解析](1)散点图如下图所示：
(2)从散点图可以看出，数据对应的点大致分布在一条直线的附近，因此可以得出结论：弹簧长度与质量具有相关关系，且是正相关的．
21．(本小题满分12分)为了了解某校毕业班数学考试情况，抽取了若干名学生的数学成绩，将所得的数据经过整理后，画出频率分布直方图(如图所示)．已知从左到右的第一组的频率是0.03，第二组的频率是0.06，第四组的频率是0.12，第五组的频率是0.10，第六组的频率是0.27，且第四组的频数是12，则
(1)所抽取的学生人数是多少？
(2)哪些组出现的学生人数一样多？出现人数最多的组有多少人？
(3)若分数在85分以上(含85分)的为优秀，试估计数学成绩的优秀率是多少？
[解析](1)因为第四组的频数为12，频率为0.12，
＝100，即抽取的学生共有100人．
则12
0.12
(2)从左到右看频率分布直方图，第一组与第九组出现的学生人数一样多，第二组和第三组出现的学生人数一样多，学生人数最多的是第六小组，有0.27×100＝27(人)．
(3)第一组的人数是0.03×100＝3，第二、三组的人数都是0.06×100＝6，第四组的人数是0.12×100＝12，第五组的人数是0.10×100＝10.
所在以85分以下的人数约为3＋6＋6＋12＋10＝37(人)，则分数
在85分以上(含85分)的人数约为100－37＝63(人)，优秀率为63
100×100%＝63%.
22．(2011～2012·陕西咸阳模拟)(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计
M
1
(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；
(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数．
[解析] 由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M ＝0.25，
所以M ＝40.
因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3，故p ＝3M ＝3
40＝0.075.
因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a ＝25
40×5＝
0.125.
(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.