数学归根结底是伴随着人类对客观世界的认识

第一章 数学的历史发展及价值应该对数学有一个比较正确和比较全 作为一个数学教育工作者和数学教师，面的认识，包括它的发展历程、思想脉络、应用以及对社会发展的作用、文化价 值和教育价值．这些对于教育工作是十分重要的．我国以往对数学史及其思想发 展有一些很好的著作，也翻译过一些国外的优秀著作，但是从数学教育的角度来 认识数学的历史和发展，则研究得很不够。

这是一个需要进行多方面研究的大课 题。

我们在这里只是提出制定高中数学课程标准时的一些学习体会和思考，一方 面作为大家审视、批评我们工作的资料；一方面是希望对这些问题提出一些初步 看法，和大家共同探讨这些问题。

这有利于数学教育工作的进一步发展和改进。

着重的是想通过历史事实来探索一些应该注意的事 本文不是严格意义下的历史，项。

所以对于资料出处常常没有注明，数学结论也不是完全按照出现的先后来叙 述，至于全面性的问题就更难顾及。

关于数学史，读者可以参考有关资料，在这 里我们也向读者推荐以下著作：[1]M．克莱因， 古今数学思想， 第1—4 册， 上海科学技术出版社， 1979(2003 年重印)， 上海．[2]李文林主编，数学珍宝——历史文献精选，科学出版社，1998，北京．[3]李文林，数学史概论（第二版），高等教育出版社—施普林格出版社，2000，北京．一、数学发展的历史回顾同时也考虑到老师们对于数学发 为了能从历史的角度了解数学的本来面貌，展资料占有较少，我们首先对数学发展的历史作一些简单的回顾．1．数学的早期发展数学归根结底是伴随着人类对客观世界的认识，从事生产和交换而产生的， 不论是埃及和美索布达米亚的文化，还是中国和印度的文化都是这样．正是需要 计数，才产生了记数制．巴比伦位于古代贸易通道上，商业活动范围很广．巴比 伦人用他们的算术和简单代数知识表示长度和度量，兑换钱币和交换商品，计算 单利和复利，计算税额，给农民、教会和国家之间分配收获的粮食．在他们的早期历史中，经济对算术发展的影响是无容置疑的．在埃及、中国、印度等古代文 明的地区，也大都如此．埃及的尼罗河泛滥以后，土地面积的再确定；金字塔修 建过程中为了保证坡度的稳定； 巴比伦运河的修建中横断面的设计、 土方的计算； 印度神庙的设计和修建；中国天体的观测等等活动促进了几何知识的发现和积 累．总之，在开始阶段，人类为了解决实际问题的需要，陆续创造了一些比较零 散的实用算术和几何的知识和方法，是数学的原始积累阶段．在古代实用算法和 数学知识积累到一定阶段，出现了一些带有纯数学性质和理论性问题的讨论，例 如圆周率，圆面积、体积以及球体积、面积的确定，勾股数的一般表达．因此对 数学知识和算法进行系统整理与理论概括是必然的趋势．2．古典数学在西方，数学的整理和理论概括的过程不是由古埃及人和巴比伦人，而是由 古希腊人完成的．古希腊的学者在吸收了古埃及和美索布达米亚的数学之后，开 始了进一步探索的过程．泰勒斯(Thales，约公元前625-547年)领导的爱奥尼亚 学派，开始了希腊命题证明的过程．毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 580-500) 继泰勒斯之后，将这门科学改造为自由的教育形式，首先检验其原理,并用一种 无形和理智的方式探讨其定理．毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数” ，它 的算术更多地成为数字本身的智力活动， 这是向理论数学过渡时期的观念上的飞 跃；由于数形结合，也实质上推动了几何学的抽象化倾向； “万物皆数”的信念， 又使他们成为相信自然现象可以通过数学来理解的先驱． 古希腊人还提出一些在 理论上需要解决的问题，如三大几何作图问题，不可公度问题；发现了一些新的 数学对象，如圆锥曲线；发现了一些处理数学问题的方法，如穷竭法． 特别是， 古希腊人提出了论证数学的原则和总结出演绎规则． 柏拉图 （Plato， 公元前 427—前 374）认为数学是一切学问的基础，据说在他所开设的学院的大 门上写着“不懂几何者莫入” ，他还给出了许多几何定义，并坚持对数学作演绎 整理．亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322）对定义作了更精密的讨论， 深入研究了作为数学推理的出发点的基本原理,将他们区分为公理和公设．他的 最大贡献是将前人使用的数学推理规律规范化和系统化， 从而创立了独立的逻辑 学，其中的基本逻辑原理矛盾律和排中律成为数学间接证明的核心．进一步在这些论证数学的原则和规则的指导下，欧几里得（Euclid）系统总结了当时的数学（主要是几何） 的成果， 形成了数学的公理演绎系统， 产生了伟大的数学著作 《原本》 1 ．古希腊数学的论证传统也成为人类的一项宝贵思想财富．其后又陆续将算术（数论）从几何中分离出来，创立了三角学（和天文学在一起，不分球面与平面）．在这个整理和总结的过程中，数学知识、理论和方法得到了空前的发展，同时广泛地应用于自然界的各个领域．在公元 4，5 世纪之交，基督教在被罗马奉为国教后，将希腊学术视为异端邪说，横加迫害．到公元640年，亚历山大学术宝库的剩余？？最后被阿拉伯征服者付之一炬，希腊古代数学从此结束．与希腊数学相比，中世纪的东方数学，虽然也有过像中国魏晋时期刘徽（公元3世纪）和祖冲之（公元429—500）父子深刻的论证思想和高超的论证技巧，但是没有形成论证数学的传统． 而在中国和印度， 则是表现出强烈的算法精神． 即着重从解决一类实际问题或科学问题出发， 概括出具有结构而应用广泛的一般性计算方法．例如，在中国，有中世纪阿拉伯数学著作和斐波那契的《算经》中称为“契丹算法” 2 的“盈不足”术——一种通过两次假设来求繁难算术问题的解“百鸡问题” 的线性不定方程的解法， 线性同余式组的解法 （孙子定理）， 的方法，线性方程组的标准消元法（即后来的高斯消去法），求高次代数方程的根的近似，高阶等差数列求和的“垛积术”等等．在 值的方法，高次内插法的“招差术”印度，虽然它的古代天文数学受外来文化影响较深，然而它的数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点．这些算法不能再被看作是经验方法，而是代数学中的构造方法．在历史上，它们在代数学中占有重要的地位；从现代数学看，它们是数学机械化的前驱．这种算法风格与欧几里得几何的演绎风格不同而又相辅相成．3．近代数学的兴起．公元 5-11 世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，天主教会成为欧洲社会的绝对势力，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态．另一方面，由1 在我国，《原本》常被译为《几何原本》， “几何”二字是1607年徐光启、利玛窦的中译本所加．2 由于中世纪时，中国的北方一度为契丹族统治，所以中东对中国有契丹之称．直到现在，俄罗斯还称中国 为Κитай．于罗马人偏于实用而不发展抽象数学，以至黑暗时期的欧洲，不但希腊时代的抽 象数学传统中断，而且在数学上毫无成就．只是由于宗教教育的需要，有一些水 平低下的算术和几何教材．1100 年左右，欧洲人通过贸易和游历以及十字军的 东征进入阿拉伯世界， 于是从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希腊以及东方古典 学术．这些学术的发现激起了他们的极大兴趣，有一部分学者也就对这些学术著 作进行收集、翻译和研究，可以说 12 世纪是欧洲数学的翻译时代．最终导致了 文艺复兴时期欧洲科学和数学的高涨．因此我们可以说在5世纪以后，希腊时代 和亚历山大时期数学的优秀传统在欧洲中断了，转移到阿拉伯世界．阿拉伯世界 吸收了印度（可能还有中国）的数学以后又转移到欧洲．欧洲数学真正的复苏，要到 15，16 世纪，数学的发展与科学的革命紧密结 合在一起才成为现实． 数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表“一个人如果怀疑数学的极端 人物高度强调．达·芬奇(1452-1519)就这样说过：可靠性就是陷入混乱，它永远不能平息诡辩科学中只会导致不断空谈的争 辩．…．因为人们的探讨不能成为科学的，除非通过数学上的说明与论证． ”伽．科学中数学化 利略（Galileo）干脆认为宇宙“这本书是用数学的语言写成的”趋势的增长促使数学本身走向繁荣．文艺复兴促成的东西方数学的结合，为近代 数学的兴起及往后的惊人发展铺平了道路．社会的发展和科学的进展都提出了研究物体运动规律的需要， 从而提出创造 新的数学工具来描述和研究运动的问题． 变量数学就是在这种社会背景下应运而 生的,它是近代数学的主要部分， 解析几何是它发展的第一个里程碑． 牛顿 （Isaac Newton，1642—1727）和莱布尼兹(Leibniz,G．W．，1646—1716)在古希腊的“穷 竭法”“求抛物线弓形面积”等思想的启发下，发现了微积分，为研究运动提供．在18世纪， 了一个有效的工具．微积分的创立,被誉为”人类精神的最高胜利”微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了 许多数学新分支的产生（如微分方程），从而形成了“分析”这样一个在观念和 方法上都具有鲜明特点的数学领域，再次推动人类文明进入了一个新阶段． 由于绘画、制图的刺激，导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴 起．进一步，通过研究透视法所产生的数学问题而诞生了射影几何学．射影几何 的方法是综合的，所得的结果也是定性的，这与当时要求数学得到实践需要的定量结果的潮流有距离．因此射影几何诞生后不久，很快就让位于代数、解析几何 和微积分．虽然分析的光芒使综合几何的发展黯然失色，但分析方法的应用开拓 了一个崭新的几何分支——微分几何．直到 18 世纪末，几何领域仍然是欧几里 得一统天下，解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本 身的内容．但是，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃对欧几里得第五 公设进行证明的尝试．经过很长时间的努力，没有获得多大进展．就在 18 世纪 中后期， 对第五公设的研究开始出现了有意义的进展． 人们开始从相反角度考虑， 提出了通过替换第五公设而建立新的无矛盾的几何学的道路， 最终导致非欧几何 的出现． 罗巴切夫斯基公开发表了自己对于非欧几何的发现， 黎曼 （B． Riemann， 1826—1866）将非欧几何一般化．文艺复兴初期，三、四次方程的根式解已经找到，随后人们由三、四次方程 的解的公式出发推断：对于任何n次多项式方程，如果将不可能的（复数根）和 重根考虑在内，则应有n个根，即“代数基本定理” ．这个结论的证明要等待高斯 (C．F．Gauss，1777—1855)来完成．这个时期也推断出三、四次方程的根与系 数的关系，方程的这种根与系数的关系后来由韦达(F．Vieta，1540—1603)、牛 顿等人做出系统阐述．在 16，17 世纪对于多项式方程，还进行了一些其他的研 究．这些零星结果是以后关于高次代数方程的探索的起点．这一时期代数的进步 还表现在采用了较好的符号体系， 这对于代数学本身以及分析学的发展都是至关 重要的．19 世纪初，数学家的注意力集中于五次和高于五次的代数方程是否有 根式解上．阿贝尔（N．H．Abel，1802—1829）证明了一般五次或高于五次的 方程不可能有根式解．进一步，伽罗瓦（E．Galois ,1811—1832）建立了判别 方程根式可解的充分必要条件．伽罗瓦攻克的难题虽然是三百年前的老问题，但 他的思想却大大超出了他的时代，他第一次引进了群的概念，导致了代数学在对 象、内容和方法上的深刻变革．4．数学的严格化和公理化（结构化）微积分这个工具尽管有效，但它是不严格的，出现了一些问题和错误．英国 大主教伯克莱（G．Berkeley，1685—1753）对此进行了强烈地抨击，他的许多 批评是切中要害的，在客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷，刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力．这一努力在 19 世纪初开设获得成效．从柯西、魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）， （A­L．Cauchy，1789—1851）一直到实数完备性的确立，19世纪末微积分的严格化基本完成． 加固基础的工作并没有影响到 19 世纪的分析学家们进一步拓广自己的领 域．复变函数论成长壮大起来；与物理问题密切相关的微分方程继续成为数学家 和物理学家共同关注的焦点； 数学家们也开始更自觉地将分析工具应用于其他的 数学分支， 解析数论应运而生， 概率论则为在20世纪的独立发展作好了准备． 在 19 世纪末，数学发展呈现出一派生机蓬勃的景象，无论从内部需要还是外部应 用看，数学家们似乎都有做不完的问题．希尔伯特（D．Hilbert，1862—1943） 著名的23个问题揭开了20世纪数学的序幕．更高的抽象化是 20 世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一．这种趋势最初主 要是受到了集合论观点的渗透和公理化方法的运用的推动．19 世纪末由康托尔 （G．Canter，1845—1918）创立的集合论成为一种普遍的语言而进入数学的不 同领域．希尔伯特在 1899 年发表《几何基础》， 把欧几里得的《原本》完全地 严密化， 提出了第一个完备的公理系统， 并明确了对公理系统的基本逻辑要求． 公 理化方法不仅使几何学具备了严密的逻辑基础，而且逐步渗透到数学的其他领 域，成为组织数学知识的强有力的工具．集合论观点与公理化方法的相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道 路．这方面的发展，导致了 20 世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽 象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛起．这四大分支所创造的抽象语言、结 构及方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数论及概 率论等经典学科，推动它们在抽象的基础上革新提高、演变发展． 罗素（B．Russell，1872—1970）悖论的提出引起了关于数学基础的新的争 论．对数学基础的更深入的探讨及由此而引起的数理逻辑的发展，是20世纪纯 粹数学的又一重要趋势．解决 悖论的进一步尝试，是从逻辑上寻找问题的症 结．集合论公理化运动是假定了数学运用的逻辑本身不成问题，但数学家们对于 这一前提陆续提出了不同的观点， 并形成了关于数学基础的三大学派： 逻辑主义、 直觉主义和形式主义．这三大学派都未能对数学基础问题作出令人满意的解答， 但它们的研究却将人们对数学基础的认识引向了空前的深度．公理化、形式主义的思潮，由于法国布尔巴基（Nicolas Bourbaky）学派的巨大影响，在20世纪50 —60年代达到高峰．他们梳理数学，找出基本结构，提倡结构主义的数学观．哥 德尔（K．Godel，1906—1978）不完全性定理提出以后，关于数学基础的争论 渐趋淡化，数学家们更多地专注于数理逻辑的具体研究．5．现代数学及其应用．由于以集合论和公理法为基础，数学在进入二十世纪以后，向更加抽象的方 向发展， 各个学科更加系统和结构化． 人们对数学的基本特性有了更明确的认识， 例如，认为在现代数学中，有四种基本的结构：代数结构、拓扑结构、序结构、 测度结构；数学的学科体系更加系统化；对各个分支之间复杂的相互影响及作用 有了日益增长的理解，纯粹数学本身也发展了各种深刻的理论和方法，从而导致 许多重大而长期没有解决的问题（例如费马大定理、四色问题）终于得到了解 决．内部相互关联的不断扩大和深化，使得数学开始跨越自我来探索与其他科学 领域之间的相互作用．刻画和表达各种现象的数学方法空前地得到发展, 数学的 各个分支之间的综合与相互渗透以及向各门自然科学、 技术科学和社会科学的渗 透都达到前所未有的程度． 这些涉及数学各种领域之间的以及数学与其他科学领 域之间的相互作用，既使数学领域在广度和深度上进一步扩大，又导致了一些伟 大深刻见解的产生．并且产生了众多新的学科．另一方面, 自二次世界大战以来, 针对技术、管理、工业、农业、经济等学 科中的实际问题发展起来一批新的应用数学学科(如运筹学、计算科学、信息科 学、控制科学、系统科学、金融数学), 最近又有人提出材料、生物和多媒体中 的数学是数学未来值得深入探索的三个领域． 特别是随着近年来计算机的飞速， 以至有人认为“高技术本质 发展, 数学与计算机的结合, 形成了“数学技术”． 如 CT 和核磁共振以及空间成像技术, 信息的编码、纠错和压缩 是数学技术”技术, 模式识别, 各种数字技术,计算机模拟等等．而且随着个人计算机的普及, 数学技术也有由高技术向一般技术普及的趋势． 这也正是信息社会和知识经济的 定量化、数字化发展的必然趋势．著名的数学家P．A．Griffiths(现任普林斯顿高等研究院院长)在概括二十 世纪数学的进展时说： “二十世纪是数学的黄金时代，许多重大而长期没有答案的问题终于得到了解决．究其成功的原因，大多是由于我们对各个分支之间复杂 的相互影响及作用有了日益增长的理解，那些相互关联不断扩大和深化，从而数 学开始跨越自我来探索与其他科学领域之间的相互作用了． 这些涉及数学各种领 域之间的及数学与其他科学领域之间的相互作用， 已经导致了一些伟大深刻见解 的产生，也导致了数学领域在广度和深度上进一步扩大． ”这种趋势还在蓬勃发 展．以上对数学发展的历史做了一个简单回顾，从中可以看到数学发展大致是 一种先积累资料，然后整理；再积累而后再整理的反复过程．当然，在这个过程 中，数学一直在发展．并且在今天，数学及其应用的发展方兴未艾，我们仍然站 在地平线上，数学正处在黄金时代．二、对数学价值的认识数学发展历史的回顾，有助于我们对数学的科学价值、应用价值和文化价值 等做进一步的分析．实际上，数学对推动人类进步与社会进步，形成人类理性思 维，促进个人智力发展等多方面具有重要的作用．1．数学思想对于人类进步和社会发展的重要影响论证的思想和公理化的思想是数学最重要的特点之一．数学按公理体系建 立，即追求从不证自明的少数几个前提（公理）出发，逻辑地演绎出整个系统， 这种体系立论清晰、严密和极具理性，不得不令人信服．古希腊欧几里得几何体 现的这种思维模式不仅对于数学的发展， 而且对于科学的发展和人类思想的进步 都起了重要的作用． 西方的思想家常常以这种思维方式来思考和研究科学、 社会、、伽里略、牛顿、 经济以至政治问题．从伯拉图、培根（F．Bacon，1561—1626）笛卡尔(Descartes,R，1596—1650)、莱布尼兹一直到近代的很多思想家常常遵） 循这种思维模式．例如，牛顿从他著名的三定律（他称之为“公理或运动定律” 出发，演绎出经典力学系统，而万有定律是作为第Ⅲ篇的定理Ⅶ和Ⅷ出现的．美 国的独立宣言是又一个例子， 它的作者试图借助公理化的模式使人们对其确实性深信不疑．，不仅所有的直角相等，而且 “我们认为这些真理是不证自明的……”． 马克思从商品出发，一步步演绎出资本主义经济发展的 “所有的人生来平等”过程和重要结论．实际上，欧几里得公理化的思想受了某种哲学思想的影响．古希腊时代，占 主流的知识分子大都认为自然界是按照数学的规律运行的，所以非常重视数学， 才由此形成对数学的整理、系统化，出现了欧几里得几何．后来文艺复兴笛卡尔 的思想，希尔伯特统一的思想，罗素主义等，都受着某种哲学思想的指导．因此， 他们不仅仅研究纯粹数学，而且描述了自然界．而我国古代社会和文化传统对于 数学直至科学技术并不重视，只是作为编篡历书、工程、运输、管理等方面的计 算方法． 在这种背景下， 我国古代可以提出一些很好的算法或朴素的概念和思想， 如位值制、负数、无理数、极限的思想，但没有上升到理论体系，在文化传统中 不占主流地位，甚至明朝有的皇帝认为机器是奇技淫巧．近代的数学主要是向西 方逐步学习的，而且并没有研究(至少没有认真研究)数学在思想方面的作用，数 学仍然没有融入我国的文化传统．因此我们讲授数学不只是数学本身及其应用， 而是要让人们知道，如果不从数学在思维方面所起的作用来了解她，不学习运用 数学思维方法．我们就不可能完全理解人文科学、自然科学、人的所有创造和人 类世界，从而为人类做出更大的贡献！我们应该特别重视数学思想在人类进步和 社会发展中的重要作用．2．数学是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言数学的发展经常与探索自然现象、社会现象的基本规律联系在一起，这一点 是不能忽略的．数学从它萌芽之日起，就表现出解决因人类实际需要而提出的各 种问题的功效．西方数学非常重视数学与自然、社会、科学技术的密切联系．古希腊人不仅 在数学上作出了巨大贡献， 他们对自然界的看法也是对后人同样重要的一种贡献 与启发．希腊人把数学等同于物理世界的实质，并在数学里看到关于宇宙结构和 设计的最终真理．他们建立了数学和研究自然真理之间的联盟，这在以后便成为 现代科学的基础本身． 其次， 他们把对自然的合理化认识推进到足够深远的程度， 使他们能牢固树立一种信念，感到宇宙确实是按数学规律设计的，是有条理的、。