2018届高三题型训练2—3-3计算题(学生版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ⋂=A. ()2,+∞B. []2,4C. (]1,3D. (]2,42.设i 为虚数单位，给出下面四个命题：1:342p i i +>+；()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =；()()23:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点；41:2i p z i +=+的虚部为15i . 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.564．已知函数()fx x =的值域为A ，且,a b A∈，直线()()2212x y x a y b +=-+-=与圆有交点的概率为A ．18B ．38 C. 78 D. 145．一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 6．如图，弧田由圆弧和其所对弦围成，《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即弧田面积12=(弦×矢+矢2)．公式中“弦”指圆弧所对的线段，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述的经验公式计算弧田面积与实际面积存在误差，则圆心角为3π，弦长为1的弧田的实际面积与经验公式算得的面积的差为A ．18- B ．1168πC ．1623π+- D ．525-7．已知()()322101210223nn x d x x x a ax a x a=+-=+++⋅⋅⋅+⎰，且，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为 A ．823B ．845C ．965-D ．8778．已知函数()()s i n 2c o s 2,0,66f x x x x f x k ππ⎛⎫⎡⎤=++∈= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，有两个不同的根12,x x ，则()12f x x k ++的取值范围为A．⎡⎣ B． C．⎭ D．)9.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．2018201722⨯- B ．2018201822⨯+ C. 2019201822⨯-D ．2019201722⨯+10．已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A ，该点也在抛物线()220x py p =>上，若抛物线与圆()()()222:120C x y rr -+-=>有公共点P ，且抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则圆C 上的点到抛物线的准线的距离的最小值为 A．3B. 3C ．3D．311．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．2143π B ．1273π C.1153π D ．1243π12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()''24f x f x +=-，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为A ．[)64ln3,++∞B ．[)5ln5,++∞ C.[)66ln6,++∞ D ．[)4ln 2,++∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年银川二中高三模拟三试题（理科）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U R =，{ |(2)0 }A x x x =-<，{ |ln(1) }B x y x ==-，则)(B C A U 是 A ．(-2,1)B ．[1,2)C ．(-2,1]D ．(1,2)2．已知复数z 满足3)3i z i =，则z 等于A ．32 B ．34 C ．32 D ．34+3．将函数y=cosx 的图象向左平移m(m>0)个单位后关于原点对称，则m 的最小值为A.6π B. 3π C. 23π D. 56π4．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =且3610,,2a a a +成等比数列，则数列{}n a 的前20项和20S = A ．200 B ．210 C ．220 D ．2305．给出下列命题①"3"a > 是“函数()3f x ax =+在区间[1,2]-上存在零点x ”的充分不必要条件；②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的逆否命题为“若x+y ＜5，则x ＜2且y ＜3”；③命题“若a ,b 都是正实数，且2a +b=2，则11a b +的最小值为32+是真命题； ④命题111:(0,),()()23x x p x ∃∈+∞<与命题21311:(0,),()log ;32xp x x ∀∈<，则命题12p p ∧为真命题．其中真命题的个数有A.4个B.3个C.2个D.1个6. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点均在抛物线上，若F 是△ABC 的重心(中线的交点)， 则|FA|+|FB|+|FC|= A ．5 B ．6 C ．7 D ．87.给出30个数:1,2,4,7,11,…,其中第i+1个数是在第i 个数的基础上 增加i (i=1,2,3,…), 右图的框图是求这30个数的和,则判断框①与 执行框②应分别填入A ．i ≤30?, p=p+i -1B ．i ≤29?, p=p+i+1C ．i ≤31?, p=p+iD ．i ≤30?, p=p+i 8.函数|1|()2ln x f x x a -=--恰有两个不同的零点，则a 的取值范围是A.(,1)-∞-B.(1,)-+∞C.(,1)-∞D.(1,)+∞9. 在平面直角坐标系中，以原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边作 锐角α，钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标分别为2、12-.那么cos 2αβ+的值等于AB．CD．10. 已知{}n a 是等差数列，201011,2010a a ==，若20092012OP a OA a OB =+ (O 是坐标原点)，则AB =A.APB.BPC.PAD.PB11.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点的多面体的内切球的体积是A.9π B. 3πC. 54D. 1812．若向区域22cos ,.22y x x ππ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩内任意投一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为A. 8πB. 6πC. 4πD. 3π第Ⅱ卷 （共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～24题 为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上． 13.61(2)x x-展开式中的常数项等于14．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示，该函数在区间(]1,2-上的图像,则(2011)(2012)f f +=15. 某班有50名学生，一次考试的成绩()N ξξ∈服从正态分布2(100,10)N . 已知(90100)0.3P ξ≤≤=，那么可估计该班数学成绩在110分以上的人数为______16.P 为双曲线16922y x -=1的右支上一点,若,M N 分别是两圆 22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17．(本小题满分12分)一气球以0.5(米/秒)的速度由地面某点上升，受风力的影响，10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角∠SPQ=45°； 再过10分钟后，测得气球在P 的东偏北30°方向 T 处，其仰角∠RPT=60° ，如图所示.其中Q 、R 分别为气球在S 、T 处时的正投影. 求风向和风速.18．(本小题满分12分)由于当前学生课业负担较重， 造成青少年视力普遍下降，现从某高中学校随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是 “好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据. 若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力” 学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直 的棱柱）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示． 在直观图中，M 是BD 的中点． （Ⅰ）求证：EM ∥平面ABC ；（Ⅱ）试问在棱DC 上是否存在点N ，使MN ⊥平面BDE ？ 若存在，确定点N 的位置，若不存在，请说明理由； (Ⅲ)求二面角D —EB —A 的大小的余弦值．20．（本小题满分12分）已知圆22:(36,M x y +=P N M 定点点为圆上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=. （I ）求点G 的轨迹C 的方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS += 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数1ln )(-=xxx f . (Ⅰ)试讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)设0>m ，求)(x f 在]2,[m m 上的最大值； (Ⅲ)求证：对*∈∀N n ，不等式11ln()e n nn n++<.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 已知AF 是圆O 的直径，B ，C 是圆上的两点，过F 作切线 分别交AB 与AC 的延长线于点D ，E. （Ⅰ）求证：,,,B C D E 四点共圆；（Ⅱ）若∠ADE=60°，∠AED=45°，求圆O 的面积S.23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 已知点(,)P x y 为曲线C ：23,13sin .x cos y θθ=+⎧⎨=-+⎩上的任意一点，求22z x y =+的最大值，并求出此时的点P 的坐标.24.（本小题满分10分） 【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()R a a x x g x x f ∈++-=-=,|3|)(,|1|.（Ⅰ）解关于x 的不等式()6>x g ；A FE（Ⅱ）若函数()x f y 2=的图象恒在函数()x g y =的图象上方，求实数a 的取值范围.。

人教A版2018-2019学年高中数学选修2-3习题模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有3条路,从C地到D地有2条路,从D地到B地有4条路,则从A地到B地不同走法的种数是()A.9B.24C.3D.1解析:由分步乘法计数原理得,不同走法的种数是3×2×4=24.答案:B2.设随机变量ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)等于()A pC.1-2pB.1-pD-p解析:∵P(ξ>1)=p且对称轴为ξ=0,知P(ξ<-1)=p,∴P(-1<ξ<0)=--p.答案:D3.用数字1,2,3和减号“-”组成算式进行运算,要求每个算式中包含所有数字,且每个数字和减号“-”只能用一次,则不同的运算结果的种数为()A.6B.8C.10D.12答案:D4.在一次独立性检验中,得出列联表如下:A合计B合计200180380800a800+a1000180+a1180+a且最后发现,两个分类变量A和B没有任何关系,则a的可能值是()A.200B.720C.100D.180解析:A和B没有任何关系,也就是说,对应的比例和基本相等,根据列联表可得和基本相等,检验可知,B选项满足条件.答案:B5.从装有3个黑球和3个白球(大小、形状、质地都相同)的盒子中随机摸出3个球,用ξ表示摸出的黑球个数,则P(ξ≥2)的值为()A B C D解析:根据条件,摸出2个黑球的概率为,摸出3个黑球的概率为,故P(ξ≥2)=答案:C6.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率的取值范围是()A.[0.4,1)C.(0,0.4]B.(0,0.6]D.[0.6,1)解析:设事件A发生一次的概率为p,则事件A的概率可以构成二项分布,根据独立重复试验的概率公式可得p(1-p)3p2(1-p)2,即可得4(1-p)≤6p,p≥0.4.又0<p<1,故0.4≤p<1.答案:A7.设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)解析:由曲线X的对称轴为x=μ1,曲线Y的对称轴为x=μ2,可知μ2>μ1.∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A错;由图象知σ1<σ2,且均为正数,∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;对任意正数t,由题中图象知,P(X≤t)≥P(Y≤t),故C正确,D错.答案:C8.小明、小光、小亮、小美、小青和小芳6人排成一排拍合影,要求小明必须排在从右边数第一位或第二位,小青不能排在从右边数第一位,小芳必须排在从右边数第六位,则不同的排列种数是() A.36 B.42 C.48D.54解析:若小明排在从右边数第一位有种排法;若小明排在从右边数第二位,则有种排法.所以不同的排列种数是=42.答案:B9.设a为函数y=sin x+cos x(x∈R)的最大值,则二项式-的展开式中含x2项的系数是()A.192C.-192B.182D.-182解析:由已知 a=2,则 T k+1=(a )6-k -=(-1)ka 6-k · x 3-k .令 3-k=2,则 k=1,含 x 2 项的系数为- 25=-192.答案:C10.某大楼安装了 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁 中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 s .如果要实现所有不同的闪烁, 那么需要的时间至少是( )A.1 205 s C.1 195 sB.1 200 sD.1 190 s解析:共有=120 个闪烁,119 个间隔,每个闪烁需用时 5 s,每个间隔需用时 5 s,故共需要至少120×5+119×5=1 195(s).答案:C11.某人抛掷一枚硬币,出现正、反面的概率都是 构造数列{a n },使 a n =S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,则 S 2=2,且 S 8=2 时的概率为()AB CD当第 次出现正面时- 当第 次出现反面时记解析:当前 2 次同时出现正面时,S 2=2,要使 S 8=2,则需要后 6 次出现 3 次反面,3 次正面,相应的概率为P=答案:D12.用四种不同颜色给图中的 A ,B ,C ,D ,E ,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( )A.288 种 C.240 种B.264 种D .168 种解析:先涂 A ,D ,E 三个点,共有 4×3×2=24 种涂法,然后再按 B ,C ,F 的顺序涂色,分为两类:一类是 B 与E 或 D 同色,共有 2×(2×1+1×2)=8 种涂法;另一类是 B 与 E 与 D 均不同色,共有 1×(1×1+1×2)=3 种涂法.所以涂色方法共有 24×(8+3)=264 种.答案:B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)13.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产出一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品平均预期可获利元.解析:50×0.6+30×0.3-20×0.1=37(元).答案:3714.已知随机变量ξ~B(n,p),若E(ξ)=4,η=2ξ+3,D(η)=3.2,则P(ξ=2)=.解析:由已知np=4,4np(1-p)=3.2,∴n=5,p=0.8,∴P(ξ=2)=p2(1-p)3=答案:15.设二项式-(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=16A,则a的值是.解析:由T k+1=x6-k-=(-a)k-,得B=(-a)4,A=(-a)2.∵B=16A,a>0,∴a=4.答案:416.1号箱中有同样的2个白球和4个红球,2号箱中有同样的5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出1球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出1球,则从2号箱中取出红球的概率是.,解析:“从2号箱中取出红球”记为事件A,“从1号箱中取出红球”记为事件B,则P(B)= P()=1-P(B)=,P(A|B)=,P(A|)=故P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=答案:三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.(12 分)已知(a 2+1)n 展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,且(a 2+1)n 的展开式中系数最大的项等于 54,求 a 的值.分析首先根据条件求出指数 n ,再使用二项式展开的通项公式及二项式系数的性质即可求出结果 解: 的展开式的通项为T k+1=- - -令 20-5k=0,得 k=4, 故常数项 T 5==16.又(a 2+1)n 展开式的各项系数之和等于 2n ,由题意知 2n =16,得 n=4.由二项式系数的性质知,(a 2+1)4 展开式中系数最大的项是中间项 T 3,故有a 4=54,解得 a=±18.(12 分)研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心),给 50 个患者服用此药,给另外 50 个患者服 用安慰剂,记录每类样本中出现恶心的数目如下表:服用药物 服用安慰剂 合计有恶心15 4 19无恶心 35 46 81合计 50 50 100试问此药物有无恶心的副作用?分析根据列联表中的数据代入公式求得 K 2 的观测值,与临界值进行比较判断得出相应结论.解:由题意,问题可以归纳为独立检验假设 H 1:服该药物(A )与恶心(B )独立.为了检验假设,计算统计量K 2 的观测值 k=-7.86>6.635.故拒绝 H 1,即不能认为药物无恶心副作用,也可以说,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 该药物有恶心的副作用.19.(12 分)某 5 名学生的总成绩与数学成绩如下表:学生 总成绩 x/分 数学成绩 y/分A 482 78B 383 65C 421 71D 364 64E 362 61(1)画出散点图;(2)求数学成绩对总成绩的回归方程;(3)如果一个学生的总成绩为 450 分,试预测这个学生的数学成绩(参考数据:4822+3832+4212+3642+3622=819 794,482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760). 分析利用回归分析求解.解:(1)散点图如图所示:(2)设回归方程为x+,--0.132,---0.132=14.6832,所以回归方程为=14.6832+0.132x.(3)当x=450时,=14.6832+0.132×450=74.0832≈74,即数学成绩大约为74分.20.(12分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一.小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和均值.解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=,所以X的分布列为X123P所以E(X)=1+2+321.(12 分)为振兴旅游业,某省面向国内发行总量为 2 000 万张的优惠卡,向省外人士发行的是金卡,向省内人士发行的是银卡.某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到该省旅游,其中 是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有 持金卡,在省内游客中有 持银卡.(1)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率;(2)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列及均值E (ξ).分析先计算出省外、省内的游客人数,及持有金卡、银卡的人数,再运用概率知识求解.解:(1)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡.设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”,事件 A 1 为“采访该团 3 人 中,1 人持金卡,0 人持银卡”,事件 A 2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡”.P (B )=P (A 1)+P (A 2)=所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.P (ξ=0)= ,P (ξ=1)=P (ξ=2)= ,,P (ξ=3)=所以 ξ 的分布列为ξ0 1 2 3P所以 E (ξ)=0 +1 +2 +3 =2.22.(14 分)袋子 A 和 B 中均装有若干个大小相同的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 ,从 B中摸出一个红球的概率为 p.(1)从 A 中有放回地摸球,每次摸出 1 个,有 3 次摸到红球即停止. ①求恰好摸 5 次停止的概率;②记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 X ,求随机变量 X 的分布列及均值.(2)若A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值.解:(1)①恰好摸5次停止的概率为②随机变量X的可能取值为0,1,2,3.∵P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=1-∴随机变量X的分布列为X0123PE(X)=0+1+2+3=,故随机变量X的均值为(2)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,由题意得,解得p=。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16 B.13 C.12D ．23解析：选A.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.选A. 2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12 B ．32 C. 3D ． 2解析：选C.原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°）－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12， ∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2α＝－12.4．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( ) A ．4 3 B ．833 C ．4D ．8解析：选 D.∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋cos x sin x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8. 5．(2017·河北唐山一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A ．－43 B ．43 C ．－43或0D ．43或0解析：选D.∵⎩⎨⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1， ∴⎩⎨⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin 2α等于( )A ．－825 B ．825 C ．－1725D ．1725解析：选C.sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2 sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725.7．化简1sin 10°－3cos 10°＝ ．解析：1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°·cos 10°＝－2sin （10°－30°）12sin 20°＝2sin 20°12sin 20°＝4.答案：48．已知sin α＋cos α＝12，则cos 4α＝ ．解析：∵sin α＋cos α＝12，∴(sin α＋cos α)2＝14，即sin 2α＝－34，∴cos 4α＝1－2 sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－18.答案：－189．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝ ．解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，∴cos αcos π6－sin αsin π6－sin α＝335， ∴32cos α－32sin α＝335，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35. 答案：35[B 级 能力突破]1．(2017·河南省实验中学质检)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，那么sin α＋cos α的值为( )A ．－15 B ．75 C ．－75D ．34解析：选A.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17>0，α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－152，所以sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－15，故选A. 2．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan （α＋β＋γ）tan （α－β＋γ）的值为( )A.n －1n ＋1 B ．n n ＋1C.n n －1D ．n ＋1n －1解析：选 D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan （α＋β＋γ）tan （α－β＋γ）＝n ＋1n －1，故选D.3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为 ．解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，∴tan x ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·tan π4＝2－11＋2＝13；或由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2得tan x ＋tan π41－tan x ·tan π4＝2，得tan x ＝13.∴tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＝49.答案：494．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝ ．解析：依题意，得tan α＋tan β＝－3a <－6，tan αtan β＝3a ＋1>7，所以⎩⎨⎧tan α<0tan β<0，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3a1－（3a ＋1）＝1，且在(－π，0)上角与正切值一对一，所以α＋β＝－3π4.答案：－3π45．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝ 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin θcos π3＋cos θsin π3 ＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3， 所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.6．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (x ∈R )，π4是函数f (x )的一个零点． (1)求a 的值，并求函数f (x )的单调递增区间；(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝105，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋3π4＝355，求sin (α＋β)的值．解：(1)∵π4是函数f (x )的一个零点， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin π4＋a cos π4＝0， ∴a ＝－1，∴f (x )＝sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.由2k π－π2≤x －π4<2k π＋π2(k ∈Z )得 2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )．(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝105，∴2sin α＝105，∴sin α＝55.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝255.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋3π4＝355，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝355， ∴cos β＝31010.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝1－cos 2β＝1010，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22.。