2016年人大附中期中文
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2016北京人大附中高三（上）期中数学（文）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，2，4} C．{﹣1，0，2，4} D．{﹣1，0，1，2，4}2．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=lnx B．y=x3C．y=3x D．y=sinx3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于（）A．8 B．15 C．24 D．304．（5分）设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知cosα=，α∈（﹣，0），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣6．（5分）设x＞0，且1＜b x＜a x，则（）A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b7．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜08．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3时，f（x）=2x﹣3．若函数f（x）在区间（k﹣1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．2或﹣7 B．2或﹣8 C．1或﹣7 D．1或﹣8二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）若=1+mi（m∈R），则m= ．10．（5分）2﹣3，，log25三个数中最大数的是．11．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为cm．12．（5分）已知x，y满足则z=2x+y的最大值为．13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．14．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n∈N*，都有﹣=t（t为常数），则称数列{a n}为比等差数列，t称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{a n}满足a n=，则数列{a n}是比等差数列，且比公差t=；③若数列{c n}满足c1=1，c2=1，c n=c n﹣1+c n﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，则数列{a n b n}是比等差数列．其中所有真命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin cos+cos2﹣1．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数f（x）在[，]上的最小值．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若b=，a+c=5，求△ABC的面积．17．（13分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a bn，求数列{c n}的前n项和S n．18．（13分）高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：分数段（70，90）[90，100）[100，120）[120，150]人数 5 a 15 b规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生．已知该班希望生有2名．（Ⅰ）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；（Ⅱ）当a=11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；（Ⅲ）从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率．19．（14分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有相同的离心率，且过椭圆C1的长轴端点．（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，若=2，求直线AB的方程．20．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（Ⅰ）若f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在[，e]上的最大值；（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，求a的取值范围．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【解答】集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B={0，2}，故选：A2．【解答】在A中，y=ln的定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，故A错误；在B中，y=x3是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数，故B正确；在C中，y=3x是非奇非偶函数，故C错误；在D中，y=sinx是奇函，但在区间（0，+∞）上不为增函数，故D错误．故选：B．3．【解答】由等差数列的性质得，a3+a5=2a4=22，解得a4=11，又a1=2，所以公差d==3，所以S3==3×2+9=15，故选：B．4．【解答】函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．∴“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．5．【解答】∵cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×=﹣．故选：D．6．【解答】∵1＜b x，∴b0＜b x，∵x＞0，∴b＞1∵b x＜a x，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故选C．7．【解答】f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A8．【解答】作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）．∵f（1）=21﹣3=﹣1＜0，f（2）=22﹣3=1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，∴有零点的区间是（1，2），因定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，故另一个零点的区间是（﹣8，﹣7），则k的值为2或﹣7．故选A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【解答】∵1+mi===1﹣2i，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．10．【解答】由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．11．【解答】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA⊥平面ABCD，∴PA=3，AB=3，AD=4，∴PB=3，PC==，PD=5．该几何体最长棱的棱长为：．故答案为：．12．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故答案为：713．【解答】∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：14．【解答】①若数列{a n}为等比数列，且公比为q，则=q﹣q=0，为常数，故等比数列一定是比等差数列，若数列{a n}为等差数列，且公差为d，当d=0时，=1﹣1=0，为常数，是比等差数列，当d≠0时，不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确；②若数列{a n}满足a n=，则=不为常数，故数列{a n}不是比等差数列，故错误；③若数列{c n}满足c1=1，c2=1，c n=c n﹣1+c n﹣2（n≥3），可得c3=2，c4=3，故=1，=，显然，故该数列不是比等差数列，故正确；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，可举{a n}为0列，则数列{a n b n}为0列，显然不满足定义，即数列{a n b n}不是比等差数列，故错误．故答案为：①③三、解答题（共6小题，满分80分）15．【解答】（1）f（x）=sin cos+﹣1=sinx+cosx﹣…（2分）=sin（x+）﹣．…（4分）所以函数f（x）的最小正周期为2π．…（6分）由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，得：2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，函数f（x）单调递减区间是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．…（9分）（2）由≤x≤，得≤x+≤，…（11分）则当x+=，即x=时，f（x）取得最小值．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）在△ABC中，由已知cos2B+cosB=0得 2cos2B+cosB﹣1=0，…（2分）解得 cosB=，或cosB=﹣1（舍去）．…（4分）所以，B=．…（6分）（Ⅱ）解：由余弦定理得 b2=a2+c2﹣2ac•cosB．…（8分）将B=，b=代入上式，整理得（a+c）2﹣3ac=7．因为 a+c=5，所以，ac=6．…（11分）所以△ABC的面积 S==．…（13分）17．【解答】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由a1=2，a3=8，得8=2+2d，解得d=3．∴a n=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，n∈N*．由b1=2，b3=8，得8=2q2，又q＞0，解得q=2．∴，n∈N*；（Ⅱ）∵，∴=3×2n+1﹣n﹣6．18．【解答】（Ⅰ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A，则．答：从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为．（Ⅱ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当a=11时，成绩优秀的学生人数为40﹣5﹣11﹣15=9，所以．答：从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为．（Ⅲ）设“从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事件C．记这5名学生分别为a，b，c，d，e，其中希望生为a，b．从中任选2名，所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种．其中恰有1名希望生的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种．所以．答：从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为．19．【解答】（Ⅰ）由C1方程可得，依题意可设椭圆C2的方程为：，由已知C1的离心率为，则有，解得a2=16，故椭圆C2的方程为；（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx，将y=kx代入中，解得；将y=kx代入中，解得．又由，得，即，解得k=±1．故直线AB的方程为y=x或y=﹣x．20．【解答】（Ⅰ）．由函数f（x）在x=1处与直线相切，得即解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为（0，+∞）．此时=．令f'（x）＞0，解得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1．所以f（x）在（，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，所以f（x）在上的最大值为；（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣bx2≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈（e，e2]恒成立．即对x∈（e，e2]恒成立，即a 大于或等于在区间（e，e2]上的最大值．令，则，当x∈（e，e2]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以，x∈（e，e2]的最大值为．即．所以a 的取值范围是．11 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