2019高考数学一轮复习不等式选讲第1课时绝对值不等式练习理

第1课时 绝对值不等式1．不等式x 2－|x|－2<0(x∈R )的解集是( ) A ．{x|－2<x<2} B ．{x|x<－2或x>2} C ．{x|－1<x<1} D ．{x|x<－1或x>1}答案 A解析 方法一：当x≥0时，x 2－x －2<0， 解得－1<x<2，∴0≤x<2. 当x<0时，x 2＋x －2<0， 解得－2<x<1，∴－2<x<0. 故原不等式的解集为{x|－2<x<2}． 方法二：原不等式可化为|x|2－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.∵|x|≥0，∴0≤|x|<2，∴－2<x<2. ∴原不等式的解集为{x|－2<x<2}． 2．ab ≥0是|a －b|＝|a|－|b|的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当ab≥0，a<b 时，|a －b|≠|a|－|b|，故条件不充分． 当|a －b|＝|a|－|b|时，则ab≥0且|a|≥|b|.故条件必要． 综上可知，ab ≥0是|a －b|＝|a|－|b|的必要不充分条件． 3．若2－m 与|m|－3异号，则m 的取值范围是( ) A ．m>3 B ．－3<m<3 C ．2<m<3 D ．－3<m<2或m>3答案 D解析 方法一：2－m 与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m －2)(|m|－3)>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，（m －2）（m －3）>0或⎩⎪⎨⎪⎧m<0，（m －2）（－m －3）>0.解得m>3或0≤m<2或－3<m<0.方法二：由选项知，令m ＝4符合题意，排除B ，C 两项，令m ＝0符合题意，可排除A 项．4．(2018·四川成都模拟)对任意实数x ，若不等式|x ＋2|＋|x ＋1|>k 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．k<1 B ．k ≥1 C ．k>1 D ．k ≤1答案 A解析 由题意得k<(|x ＋2|＋|x ＋1|)min ，而|x ＋2|＋|x ＋1|≥|x＋2－(x ＋1)|＝1，所以k<1，故选A. 5．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1，2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 A解析 ∵|x ＋3|－|x －1|≤|(x＋3)－(x －1)|＝4， ∴a 2－3a≥4恒成立．∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．6．(2018·甘肃白银一模)对任意的实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ．[－2，2] D ．[0，＋∞)答案 B解析 当x ＝0时，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R .当x≠0时，则有a≥－1－|x|2|x|＝－(|x|＋1|x|)，设f(x)＝－(|x|＋1|x|)，则a≥f(x)max ，由基本不等式得|x|＋1|x|≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.7．(2018·广州综合测试一)若不等式|x －a|<1的解集为{x|1<x<3}，则实数a 的值为________． 答案 2解析 由题意可得，1和3是方程|x －a|＝1的根，则有⎩⎪⎨⎪⎧|1－a|＝1，|3－a|＝1，解得a ＝2.8．(2018·重庆五区抽测)若函数f(x)＝|x ＋2|＋|x －m|－4的定义域为R ，则实数m 的取值范围为________． 答案 (－∞，－6]∪[2，＋∞)解析 根据题意，不等式|x ＋2|＋|x －m|－4≥0恒成立，所以(|x ＋2|＋|x －m|－4)min ≥0. 又|x ＋2|＋|x －m|－4≥|m＋2|－4， 所以|m ＋2|－4≥0⇒m ≤－6或m≥2.9．(2017·浙江)已知a∈R ，函数f(x)＝|x ＋4x －a|＋a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，92]解析 ∵x∈[1，4]，∴x ＋4x ∈[4，5]，①当a≤92时，f(x)max ＝|5－a|＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a>92时，f(x)max ＝|4－a|＋a ＝2a －4＝5，∴a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是(－∞，92]．10．(2018·江西九江一模)已知函数f(x)＝|x －3|－|x －a|. (1)当a ＝2时，解不等式f(x)≤－12；(2)若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x|x≥114} (2)(－∞，32]解析 (1)当a ＝2时，f(x)＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x<3，－1，x ≥3，f(x)≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧2<x<3，5－2x≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，－1≤12，解得114≤x<3，或x≥3，所以原不等式的解集为{x|x≥114}．(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x －3|－|x －a|≤|(x －3)－(x －a)|＝|a －3|.所以若存在实数x ，使得f(x)≥a 成立，则|a －3|≥a，解得a≤32，故实数a 的取值范围是(－∞，32]．11．(2016·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f(x)的图像； (2)求不等式|f(x)|>1的解集．答案 (1)见解析图 (2){x|x<13或1<x<3或x>5}解析 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x≤32，－x ＋4，x>32. y ＝f(x)的图像如图所示．(2)由f(x)的表达式及图像， 当f(x)＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f(x)＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}； f(x)<－1的解集为{x|x<13或x>5}．所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}．12．(2018·河南郑州质量预测)设函数f(x)＝|x －4|＋|x －a|(a<4)． (1)若f(x)的最小值为3，求a 的值； (2)求不等式f(x)≥3－x 的解集． 答案 (1)1 (2)R解析 (1)因为|x －4|＋|x －a|≥|(x －4)－(x －a)|＝|a －4|， 又a<4，所以当且仅当a≤x≤4时等号成立． 故|a －4|＝3，所以a ＝1为所求．(2)不等式f(x)≥3－x 即不等式|x －4|＋|x －a|≥3－x(a<4)， ①当x<a 时，原不等式可化为4－x ＋a －x≥3－x ，即x≤a＋1. 所以，当x<a 时，原不等式成立．②当a≤x≤4时，原不等式可化为4－x ＋x －a≥3－x. 即x≥a－1.所以，当a≤x≤4时，原不等式成立． ③当x>4时，原不等式可化为x －4＋x －a≥3－x ， 即x≥a ＋73，由于a<4时，4>a ＋73.所以，当x>4时，原不等式成立．综合①②③可知：不等式f(x)≥3－x 的解集为R . 13．(2017·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 答案 (1){x|x≥1} (2)(－∞，54]解析 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x<－1，2x －1， －1≤x≤2，3， x>2.当x<－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x －1≥1， 解得1≤x≤2；当x>2时，很明显f(x)≥1恒成立，故x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x 2－x ＋m 得m≤|x＋1|－|x －2|－x 2＋x.而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x 2＋|x|＝－(|x|－32)2＋54≤54，当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为(－∞，54]．14．(2018·湖北七市联考)设函数f(x)＝|x －a|，a ∈R . (1)若a ＝1，解不等式f(x)≥12(x ＋1)；(2)记函数g(x)＝f(x)－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1，3]，求a 的取值范围． 答案 (1)(－∞，13]∪[3，＋∞) (2)[1，3]解析 (1)由于a ＝1，故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x<1，x －1，x ≥1.当x<1时，由f(x)≥12(x ＋1)，得1－x≥12(x ＋1)，解得x≤13；当x≥1时，f(x)≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x≥3.综上，不等式f(x)≥12(x ＋1)的解集为(－∞，13]∪[3，＋∞)．(2)当a<2时，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a<x<2，2－a ，x ≥2g(x)的值域A ＝[a －2，2－a]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a≤3，解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；当a≥2时，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2<x<a ，2－a ，x ≥ag(x)的值域A ＝[2－a ，a －2]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a≥－1，a －2≤3解得a ≤3，又a≥2，故2≤a≤3.综上，a 的取值范围为[1，3]．15．(2018·福州市联考试卷)已知f(x)＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x|x≤－4或x≥2} (2)(－2，2)解析 (1)当a ＝1时，f(x)＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4，x<12，3x －6，x ≥12，由f(x)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x<12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x －6≥0，解得x≤－4或x≥2，故不等式f(x)≥0的解集为{x|x≤－4或x≥2}．(2)令f(x)＝0，得|2x －1|＝－ax ＋5，则函数f(x)恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图像有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图像如图所示，结合图像知当－2<a<2时，这两个函数的图像有两个不同的交点，所以当－2<a<2时，函数f(x)恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2，2)．1．若|a －c|<|b|，则下列不等式中正确的是( ) A ．a<b ＋c B ．a<c －b C ．|a|>|b|－|c| D ．|a|<|b|＋|c|答案 D解析 ∵|a|－|c|≤|a－c|<|b|，∴|a|<|b|＋|c|.2．设集合A ＝{x||x －a|<1，x ∈R }，B ＝{x||x －b|>2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( ) A ．|a ＋b|≤3 B ．|a ＋b|≥3 C ．|a －b|≤3 D ．|a －b|≥3答案 D解析 |x －a|<1⇔－1<x －a<1⇔a －1<x<a ＋1，|x －b|>2⇔x<b －2或x>b ＋2，∵A ⊆B ，∴a ＋1≤b－2，或b ＋2≤a－1，即b －a≥3或a －b≥3，故选D.3．(2017·山西忻州四校二次联考)已知函数f(x)＝|x ＋2|＋|2x －4|. (1)求f(x)<6的解集；(2)若关于x 的不等式f(x)≥m 2－3m 的解集是R ，求m 的取值范围． 答案 (1){x|0<x<83} (2)－1≤m≤4解析 (1)由题设知，当x≥2时，不等式等价于x ＋2＋2x －4<6，即2≤x<83；当－2<x<2时，不等式等价于x ＋2＋4－2x<6，即0<x<2； 当x≤－2时，不等式等价于－x －2＋4－2x<6，即无解． 所以不等式的解集是{x|0<x<83}．(2)由图像或者分类讨论可得f(x)＝|x ＋2|＋|2x －4|的最小值为4，则m 2－3m≤4，解得－1≤m≤4. 4．(2017·辽宁大连双基考试)设函数f(x)＝|x －1|＋12|x －3|.(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若不等式f(x)≤a(x ＋12)的解集非空，求实数a 的取值范围．答案 (1)(－∞，13)∪(3，＋∞)(2)(－∞，－32)∪[47，＋∞)解析 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧32x －52>2，x>3，解得不等式的解集为(－∞，13)∪(3，＋∞)．(2)f(x)＝|x －1|＋12|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋52，x ≤1，12x ＋12，1<x ≤3，32x －52，x>3.f(x)图像如图所示，其中A(1，1)，B(3，2)， 直线y ＝a(x ＋12)绕点(－12，0)旋转，由图可得不等式f(x)≤a(x ＋12)的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－32)∪[47，＋∞)．5．(2018·沧州七校联考)已知函数f(x)＝|1－2x|－|1＋x|. (1)若不等式f(x)<4的解集为{x|a<x<b}，求a ，b 的值； (2)求使不等式f(x)≤k －f(－2x)有解的实数k 的取值范围． 答案 (1)a ＝－2，b ＝6 (2)[－34，＋∞)解析 (1)∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x<－1，－3x ，－1≤x≤12，x －2，x>12， 当x<－1时，－x ＋2<4，∴－2<x<－1； 当－1≤x≤12时，－3x<4，∴－1≤x≤12；当x>12时，x －2<4，∴12<x<6.故由f(x)<4得－2<x<6，∴a ＝－2，b ＝6. (2)不等式f(x)≤k －f(－2x)有解，即|1－2x|－|1＋x|≤k－|1＋4x|＋|1－2x|，即k≥|1＋4x|－|1＋x|有解， 又|1＋4x|－|1＋x|的最小值为－34，∴实数k 的取值范围为[－34，＋∞)．6．(2018·广东五校一次诊断)已知函数f(x)＝|x －a|. (1)若a ＝1，解不等式：f(x)≥4－|x －1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，1m ＋12n ＝a(m>0，n>0)，求mn 的最小值．答案 (1)(－∞，－1]∪[3，＋∞) (2)2解析 (1)当a ＝1时，不等式为|x －1|≥4－|x －1|，即|x －1|≥2， ∴x －1≥2或x －1≤－2，即x≥3或x≤－1， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)f(x)≤1⇔|x －a|≤1⇔－1≤x－a≤1⇔a －1≤x≤a＋1，∵f(x)≤1的解集为[0，2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2得a ＝1.∴1m ＋12n ＝1≥212mn(m>0，n>0)， ∴mn ≥2(当且仅当1m ＝12n ＝12，即m ＝2，n ＝1时取等号)．∴mn 的最小值为2.7．(2018·洛阳统一考试(一))已知f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图像；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b ≥3f(x)恒成立，求x 的取值范围．答案 (1)如解析图 (2)[－1，5]解析 (1)由已知，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x<－1，－3x ，－1≤x≤12，x －2，x>12函数f(x)的图像如图所示．(2)∵a，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b)＝5＋(b a ＋4ab)≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立．∵1a ＋4b ≥3(|2x －1|－|x ＋1|)恒成立， ∴|2x －1|－|x ＋1|≤3. 结合图像知－1≤x≤5， ∴x 的取值范围是[－1，5]．。