初三数学二模试卷及答案 (2)

图1型号1型号2型号3型号42024届上海市黄浦区初三二模数学试卷（考试时间 100 分钟，满分 150 分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（）.A提取公因式法；.B公式法；.C十字相乘法；.D分组分解法．2.已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（）.A2,3；.B3,2；.C2,3 ；.D3,2 ．3.如图1，一个35的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（）.A型号1；.B型号2；.C型号3；.D型号4．4.对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（）.A这组数据的平均数；.B这组数据的中位数；.C这组数据的众数；.D这组数据的标准差．5.反比例函数1yx的图像有下述特征：图像与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（）.A自变量0x 且x的值可以无限接近0；.B自变量0x 且函数值y可以无限接近0；.C函数值0y 且x的值可以无限接近0；.D函数值0y 且函数值y可以无限接近0．6.小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（）.A结论1、结论2都正确；.B结论1正确、结论2不正确；.C结论1不正确、结论2正确；.D结论1、结论2都不正确．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.100的平方根是．图3图28.计算：23a．9.方程x的解是．10.已知关于x 的方程210x mx ，判断该方程的根的情况是．11.将直线2y x 向上平移2个单位，所得直线与x 轴、y 轴所围成的三角形面积是．12.一副52张的扑克牌（无大、小王）被任意打乱后背面朝上放在桌上，小华先从中抽取1张，取得的是黑桃A ．然后小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A 的概率是．13.小黄对学校提供午餐中的主食、荤菜、蔬菜和汤，开展了一次满意度调查．他利用中午休息时间，随机对学校中50名学生做了问卷调查，汇总数据如下表．如果学校共有1400名学生，那么全校对午餐中主食满意的学生约有名．14.现有一张矩形纸片，其周长为36厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形，然后沿虚线（如图2所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是48立方厘米，设原矩形纸片的长是x 厘米，那么可列出方程为．15.如图3，D 、E 分别是ABC 边AB 、AC 上点，满足2AD BD ，ADE ABC ．记BA a ，BC b，那么向量BE．（用向量a 、b表示）16.如图4，正六边形MNPQRS 位于正方形ABCD 内，它们的中心重合于点O ，且//MN BC ．已知正方形ABCD 的边长为a ，正六边形MNPQRS 的边长为b ，那么点P 到边CD 的距离为．（用a 、b的代数式表示）17.如图5，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形ABCD ，内部形成一个小正方形MNPQ ．如果正方形MNPQ 的面积是正方形ABCD 面积的一半，那么ABM 的正切值是．18.如图6，D 是等边ABC 边BC 上点，:2:3BD CD ，作AD 的垂线交AB 、AC 分别于点E 、F ，那么:AE AF ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算： 01tan602024．20.（本题满分10分）解不等式组：250,41223xx x．图4图5图6图721.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图7，D 是ABC 边AB 上点，已知BCD A ，5AD ，4BD （1）求边BC 的长；（2）如果ACD CBD ∽（点A 、C 、D 对应点C 、B 、D ），求ACB 的度数．22.（本题满分10分）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？（2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x 元的消费与实际总支付y 元间存在着依赖关系，当320375x 时，写出y 关于x 的函数关系式；（3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由．图8图9如图8，M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、BC 的中点，对角线BD 交AN 、CM 分别于点P 、Q ．（1）求证：13PQ BD；（2）当四边形ANCM 是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形ABCD 的形状特征．24.（本题满分12分）问题：已知抛物线2:2L y x x ．抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点，请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是①；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是②；然后求出抛物线L 的顶点是③_；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为④；最后写出抛物线W 的表达式是⑤；（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W 的表达式；（3）如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．图10备用图已知：如图10，ABC 是圆O 的内接三角形，AB AC ，弧AB 、 AC 的中点分别为M 、N ，MN 与AB 、OA 、AC 分别交于点P 、T 、Q ．（1）求证：OA MN ；（2）当ABC 是等边三角形时，求ATOT的值；（3）如果圆心O 到弦BC 、MN 的距离分别为7和15，求线段PQ 的长．参考答案。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a > 0，b < 0，则以下选项中正确的是（）A. a > bB. a < bC. a ≥ bD. a ≤ b答案：A解析：由题意知a > 0，b < 0，根据有理数大小比较的法则，可得a > b。

2. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值是（）A. 2B. 3C. 2或3D. 1或4答案：C解析：由题意知x^2 - 5x + 6 = 0，可分解因式得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3。

3. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(2) = 3，则x的值是（）A. 2B. 1C. 3D. 0答案：B解析：由题意知f(2) = 22 - 1 = 3，所以x = 2。

4. 若sin(α + β) = 1/2，sinα = 3/5，cosβ = 4/5，则cosα的值是（）A. 3/5B. 4/5C. 1/2D. -1/2答案：D解析：由题意知sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ = 1/2，代入sinα = 3/5，cosβ = 4/5，得3/5 4/5 + cosα 1/2 = 1/2，解得cosα = -1/2。

5. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，角A的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C解析：由题意知AB = AC，所以三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，底角相等，所以角A的度数是60°。

6. 若|a| = 3，|b| = 4，则|a + b|的值是（）A. 7B. 5C. 1D. 0答案：A解析：由题意知|a| = 3，|b| = 4，根据绝对值的性质，可得 a = ±3，b = ±4，所以|a + b| = |3 + 4| = 7。

2023北京昌平初三二模数 学本试卷共10页，共100分.考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（每小题2分，共16分）1. 经文化和旅游部数据中心测算，2023年清明节假期（4月5日），全国国内旅游出游2376.64万人次，较去年清明节当日增长22.7%．将23766400用科学记数法表示应为（ ）A. 5237.66410⨯ B. 623.766410⨯ C. 72.3766410⨯ D. 82.3766410⨯2. 图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 圆柱D. 长方体3. 若实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）A. ||||a b > B. 0ab > C. a b -> D. a b<4. 某餐厅计划推出一个新菜品，在菜品研发阶段研制出A B 、两种味道，为测试哪种味道更符合当地人口味，随机抽取餐厅内的5位当地顾客分别为两种味道的菜品打分，打分情况如下表，下列关系全部正确的是（ ）口味顾客1顾客2顾客3顾客4顾客5A798610B5610109A. 22,A B A B x x S S >= B. 22,A B A B x x S S =>C. 22,A B A B x x S S =< D. 22,A B A B x x S S <<5. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:1:2AB A B ''=，则四边形A B C D ''''的外接圆的半径为（ ）B. 2C. D. 46. 一个不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（ ）A.35B.310C.15D.137. 船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点,,,,,,A B C D P M N 是网格线交点，当船航行到点P 的位置时，此时与两个灯塔,M N 间的角度（MPN 的大小）一定无触礁危险.那么，对于,,,A B C D 四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（ ）A. 位置AB. 位置BC. 位置CD. 位置D8. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下．供水时间x （小时）02468箭尺读数y （厘米）618304254那么箭尺读数y 和供水时间x 最可能满足的函数关系是（ ）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系二、填空题（每小题2分，共16分）9. 若分式14-x 有意义，则x 的取值范围是___________．10. 分解因式：322x 4x 2x -+=______．11. 分式方程123x x =+的解为________．12. 小的整数 _____．13. 如图，在ABC 中，CD 平分,ACB DE AC ∠⊥若2,1BC DE ==，则BCD S =△___________．14. 不等式4312xx ++<的解集为___________.15. 一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正___________边形.16. 某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.（1）要想使花费最少，需要___________间两人间；（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要___________间三人间.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26每小题6分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 计算：11(1|2cos 454-⎛⎫-+-︒+ ⎪⎝⎭.18. 已知2520x x --=，求代数式(21)(21)(1)x x x x +-+-的值．19. 用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的．但对于特定度数的已知角，如90︒角，45︒角等，是可以用尺规进行三等分的．下面是小明的探究过程：已知：如图1，90AOB ∠=︒．求作：射线,OE OG 三等分AOB ∠．作法：如图2，①在射线OB 上取任一点C ；②分别以,O C 为圆心，OC 长为半径画弧，两弧在OB 上方交于点E ，在OB 下方交于点F ，连接CE ；③作直线EF 交OC 于点D ；④以D 为圆心，OD 长为半径作圆，交线段CE 于点G （点G 不与点C 重合）；⑤作射线,OG OE ．所以射线,OG OE 即为所求射线．（1）利用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：OE OC CE ==∵，COE ∴ 为等边三角形．60COE ∴∠=︒．30AOE AOB COE ∴∠=∠-∠=︒．OC 为D 的直径，CGO ∴∠=___________︒．又,OE OC OG EC =⊥ ，OG ∴平分EOC ∠（ ）（填推理的依据）．1302COG EOG COE ∴∠=∠=∠=︒．AOE COG EOG ∴∠=∠=∠．即射线,OE OG 三等分AOB ∠．20. 关于x 的一元二次方程210x kx k -+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于0，求k 的取值范围．21. 如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，点E 是过点O 作BC 的平行线与过点B 作BD 的垂线（垂足为B ）的交点.（1）求证：四边形OEBC 是平行四边形；（2）连接AE ，求证：四边形AEBO 是矩形.22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)ky k x=≠过点(1,3).（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当01x <≤时，对于x 的每一个值，函数(0)ky k x=≠的值都大于函数()0y mx m =≠的值，直接写出m 的取值范围.23. 如图，AB 是O 直径，C 是O 上一点，过点A 作直线PA ，使PAC ABC ∠=∠．（1）求证：PA 是O 的切线；（2）点D 是弧BC 中点，连接DO 并延长，分别交,BC PA 于点,E F ，若8BC =，4cos 5PAC ∠=，求线段DF 的长．24. 兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/my 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y 是x 的函数，并对y 随x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y ，并画出函数的图象；解决问题：（2）结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m ；此时距离A 的水平距离为___________m ；（3）为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m 时补光效果最好，若在距离A 处水平距离1.5m 的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m ？（灯的大小忽略不计）25. 某学校初中各年级进行体质健康测试，为了解学生成绩，从七年级和九年级各随机抽取40名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a .七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：6070,7080x x ≤<≤<，8090,90100,100110x x x ≤<≤<≤≤）b .七年级成绩在8090x ≤<这一组的是：82 82 83 84 85 85 85 87 87 88 88c .七年级、九年级成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数七年级87.55m九年级86.2590根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m 的值；（2）分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，不少于90分就可以赋予“优秀”等级，七年级赋予“优秀”等级的学生人数为1p ，九年级赋予“优秀”等级的学生人数为2p ，判断12,p p 大小，并说明理由；（3）该校共有七年级学生310人，不少于80分就可以赋予“良好”等级，估计该校七年级所有学生本次体质健康测试成绩等级为良好及以上的人数为___________（直接写出结果）.26. 在平面直角坐标系xOy 中，点(21)()a m b n +，，，是抛物线222(00)y ax a x c a c =-+≠>，上的点．（1）当1a =时，求抛物线对称轴，并直接写出m 与c 大小关系；（2）若对于任意的24b ≤≤，都有m c n >>，求a 的取值范围．27. 在等边ABC 中，点D 是AB 中点，点E 是线段BC 上一点，连接(),3060DE DEB αα∠=︒≤<︒，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α，得到射线DQ ，点F 是射线DQ 上一点，且DF DE =，连接,FE FC .（1）补全图形；（2）求EDF ∠度数；（3）用等式表示,FE FC 的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，点Q 和直线l ，点P 关于l 的对称点P '，点Q 是直线l 上一点，将线段P Q '绕点P '逆时针旋转90︒得到P K '，如果线段P K '与直线l 有交点，称点K 是点P 关于直线l 和点Q 的“双垂点”.（1）若()2,1P ，点123(1,1),(1,0),(1,2)K K K -中是点P 关于x 轴和点Q 的“双垂点”的是___________；（2）若点()0,5Q ，点,P K 是直线3y x =+上的点，点K 是点P 关于y 轴和点Q 的“双垂点”，求P 点的坐标；（3）点P 在以(0,)t 为圆心，1为半径的圆M 上，直线:2l y x =+，若圆M 上存在点K 是点P 关于直线l 和点Q 的“双垂点”，直接写出t 的取值范围.参考答案一、单项选择题（每小题2分，共16分）题号12345678答案CBDCCABB二、填空题（每小题2分，共16分）题号910111213141516答案x ≠4()221x x -3x=2，3，4均可（答案不唯一）12x >-六1，8三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26每小题6分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.计算：101(1|2cos 454-⎛⎫-+-︒+ ⎪⎝⎭.124=+-14=++=5．18. 2241x x x=-+-251x x =--，∵2520x x --=，∴252x x -=．∴原式251211x x =--=-=．19. （1）如图所示，（2）证明：OE OC CE ==∵，COE ∴ 为等边三角形．60COE ∴∠=︒．30AOE AOB COE ∴∠=∠-∠=︒．OC 为D 的直径，90CGO ∴∠=︒．又,OE OC OG EC =⊥ ，OG ∴平分EOC ∠（等腰三角形三线合一）（填推理的依据）．1302COG EOG COE ∴∠=∠=∠=︒．AOE COG EOG ∴∠=∠=∠．即射线,OE OG 三等分AOB ∠．故答案为：90，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线，底边上的高互相重合．20. （2）解：22244(1)(2)b ac k k k ∆=-=--=-，∵()220k -≥， ∴0≥ ∴方程总有两个实数根；（2）解：解方程得x =，∴方程的两个根为121,1x k x =-= ，∵10k -<，1k ∴<．21. （1）证明： 四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴90AOD ∠= ∴EOB AOD∠=∠∴AC EB ∥，即OC EB ∥，OE BC ∥，∴四边形OEBC 是平行四边形；（2）证明： 四边形ABCD 是菱形，∴AO OC =，∵OEBC 是平行四边形，∴OC EB =，∴AO EB =，AC EB ∥即EB OA∥∴四边形AEBO 是平行四边形，∴90EBO ∠=︒，∴四边形AEBO 矩形．22. （1）解：∵反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过点(1,3)，∴133k =⨯=，∴这个反比例函数解析式为3y x =；（2）03m <<或0m <23. （1）证明∵AB 是O 直径，∴90C ∠=︒，∴90ABC BAC ∠+∠=︒，∵PAC ABC ∠=∠，∴90CAB PAC ∠+∠=︒，∴PA OA ⊥，又∵OA 是O 是半径，∴PA 是O 的切线；（2）解：∵点D 是弧BC 中点，OD 是半径，BC=8，∴OD BC ⊥，142BE BC ==∴90BEO ∠=︒∴C BEO∠=∠∴AC DF ∥，∴AFO PAC ABC ∠=∠=∠，∵4cos 5PAC ∠=，∴4cos cos 5AFO ABC ∠=∠=，∵90BEO ∠=︒∴45BE OB =∴5OB =∴5OA OB OD ===是的∵OA AP⊥∴45AF OF =设4,5,AF k OF k ==则2225(4)(5)k k +=解得53k =，∵8BC =，∴2553OF k ==，∴2540533DF OF OD =+=+=．24. （1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，；（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m ；此时距离A 的水平距离为3m ；故答案为：4；3；（3）解：由表格数据可得抛物线函数表达式为：21(3)43y x =--+把 1.5x =代入21(3)43y x =--+得： 3.25y =，∴补光灯悬挂部分的长度为：()3.25 1.5 1.75m -=，答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ．25. （1）解：由条形统计图及知8090x ≤<组的数据可知，将七年级成绩的数据按从小到大顺序排列，第20位和第21位均是87，因此七年级成绩的中位数是87，即m 的值为87；（2）结合图表可知，171017p =+= 九年级该40名学生体质健康测试成绩的中位数是90，∴220p ≥∴12p p <；（3）解：1171031021740++⨯=（人），26. （1）解：当1a =时，抛物线22y x x c =-+，抛物线过点()3m ，，()0c ，， 抛物线的对称轴为212x -=-=，∴点()3m ，比点()0c ，离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，m c ∴>；（2）解：①当0a >时，m c > ，212a a +∴<，221a a ∴<+恒成立，c n > ，2ba ∴>，24b ≤≤ ，2a ∴>；②当102a -≤<时，m c > ，212a a +∴≥，221a a ∴≥+恒不成立，102a ∴-≤<舍去；③当12a <-时，210a +<，m c > ，212a a +∴<，221a a ∴<+恒成立，c n > ，2ba ∴<，24b ≤≤ ，1a ∴<，12a ∴<-，综上所述，2a >或12a <-．27. （1）解：如图所示即为所求，（2）解：∵ABC 是等边三角形，∴60∠=∠=∠=︒A B C ，∵ADQ DEB α∠=∠=，∵射线DA 绕点D 顺时针旋转α，得到射线DQ∴ADF α∠=；∴180BDF α∠=- ；∵DEB α∠=∴18060120BDE αα∠=--=- ∴180(120)60EDF BDF BDE αα∠=∠-∠=---=（3）解：EF FC =，理由如下：在CA 上截取CG ，使CG =CE ，连接EG 、DG ，∵ABC 是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC=∴EGC 是等边三角形，∴60GEC ∠=︒，GE EC=∵60EDF ∠=︒，DF DE=∴DEF 是等边三角形，∴60DEF ∠=︒，DE EF=∴DEF FEG GEC FEG∠+∠=∠+∠即DEG FEC∠=∠∴DEG FEC∆≅∆∴CF DG =，∵AC GC BC EC-=-∴AG BE=∵点D 是AB 的中点，∴AD DB=∵A B∠=∠∴BDE ADG∆≅∆∴DE DG =，∴FE FC =，28. （1）解：如图所示，故答案为：12,K K ．（2）解：根据题意，点P 是直线3y x =+上的点，则点P 关于y 轴的对称点在直线3y x =-+上，由题意可得，点K 在直线3y x =+上，P Q P K ''=且P Q P K ''⊥，如图所示，作P A y '⊥轴于点A ，分别作P C x '⊥轴，KC y ⊥轴，KC 交y 轴于点B ，P C '与KC 交于点C ，∴四边形ABCP '为矩形，∵90QP K AP C ''∠=∠=︒∴QP A KP C''=∠∠又∵,90P Q P K QAP KCP ''''=∠=∠=︒∴QP A KP C'' ≌∴,P A P C QA KC''==∴四边形ABCP '为正方形，设3,()P m m '-+∴(03)(23,,,)A m C m m -+-+∵5(3)2QA KC m m ==--+=+∴(223)K m --+，将点(223)K m --+，代入直线3y x =+中，解得：1m =∴(12)P '，∴(12)P -，（3）解：由（1）可得，K 点的轨迹为垂直于直线l 垂直的一条直线，当0t >时，如图所示，在 M '上找到一点P '，得K 点落在2y x =+上，则当K 的轨迹所在直线k 与M 相切时，t 取得最大值，∵()0,M t ，关于直线2y x =+对称，∴()2,2M t '-如图所示，当K 刚好在直线2y x =+上时，()1,3K ，依题意，QP K ' 是等腰直角三角形，∵直线l 与直线k 垂直，且过点()1,3K ∴直线k 的解析式为4y x =-+∵1r =∴4t =+，如图所示，当0t <时，同理可得t =综上所述，4t ≤≤．。

上海杨浦区2023-2024学年第二学期初三质量调研数学学科（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上）1.下列根式中，）A.B.C.D.2.已知a b >，下列不等式成立的是（）A.a b->- B.22a b-<- C.22a b< D.a b -<3.当k ＜0，b ＜0时，一次函数y =kx +b 的图像不经过．．．（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知一组数据a ，2，4，1，6的中位数是4，那么a 可以是（）A.0B.2C.3D.55.下列命题中，真命题的是（）A.四条边相等的四边形是正方形B.四个内角相等的四边形是正方形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形6.如图，在ABC 中，AB AC ≠，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转，点A 、B 分别落在点D 、E 处，如果点A 、D 、E 在同一直线上，那么下列结论错误的是（）A.60ADC ∠=︒B.60ACD ∠=︒C.BCD ECD∠=∠ D.BAD BCE∠=∠二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上）7.计算：3262a a ÷=______．8.在实数范围内因式分解23=x -__________9.函数1y x =-__________．10.若关于x 的方程260x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________．11.布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______．12.已知反比例函数1k y x-=的图象在每一个象限内，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是_________．13.根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x ，根据题意可列方程______．14.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点，CE 与对角线BD 相交于点F ，设向量AB a =，向量BC b=，那么向量BF = ______．（用含a 、b 的式子表示）15.近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是______元．16.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，如果4BD CD =，那么tan B =______．17.如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______厘米．18.已知矩形ABCD 中，5AB =，以AD 为半径的圆A 和以CD 为半径的圆C 相交于点D 、E ，如果点E 到直线BC 的距离不超过3，设AD 的长度为m ，则m 的取值范围是______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：)112112713-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭．20.解方程组：222124440x y x xy y +=⎧⎨-+-=⎩．21.如图，已知在ABC 中，9AB AC ==，5cos 3B =，点G 是ABC 的重心，延长AG 交边BC 于点D ，以G 为圆心，GA 为半径的圆分别交边AB 、AC 于点E 、F ．（1）求AG 的长；（2）求BE 的长．22.寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图像．根据图像提供的信息回答下列问题：（1）图中的=a _______，b =______；（2）求提速后y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（3）她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由．23.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，BD BC =，DBC ∠的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：四边形BCED 是菱形；（2）连接AC 交BF 于点G ，如果AC CE ⊥，求证：2AB AG AC =⋅．24.定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l 外有一点H ，圆Q 经过点H 且与直线l 相切，则称圆Q 是点H 与直线l 的点切圆．阅读以上材料，解决问题：已知直线OA 外有一点P ，PA OA ⊥，4OA =，2AP =，圆M 是点P 与直线OA 的点切圆．（1）如果圆心M 在线段OP 上，那么圆M 的半径长是_____（直接写出答案）．（2）如图2，以O 为坐标原点、OA 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，点P 在第一象限，设圆心M 的坐标是(),x y ．①求y 关于x 的函数解析式；②点B 是①中所求函数图象上的一点，连接BP 并延长交此函数图象于另一点C ．如果:1:4CP BP =，求点B 的坐标．25.已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．（1）如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；（2）如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．2023学年度第二学期初三质量调研数学学科含答案（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上）1.下列根式中，）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】此题考查同类二次根式，解题关键在于先化简．化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】解：A ．B ．被开方数不同，故不是同类二次根式；C ．=D ．=故选C ．2.已知a b >，下列不等式成立的是（）A.a b->- B.22a b-<- C.22a b< D.a b -<【答案】B 【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可．【详解】解：A ．∵a b >，∴a b -<-，故不符合题意；B ．∵a b >，∴a b -<-，∴22a b -<-，故符合题意；C ．∵a b >，∴22a b >，故不符合题意；D ．∵a b >，∴0a b ->，故不符合题意．故选：B ．3.当k ＜0，b ＜0时，一次函数y =kx +b 的图像不经过．．．（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】先根据k 判断是经过一三象限还是二四象限，然后再根据b 的值判断在y 轴的哪半轴，从而得出结果．【详解】解：∵k ＜0，∴函数图像经过第二四象限，∵b ＜0，∴图像与y 轴负半轴相交，∴图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的图像，解题的关键是根据一次函数的解析式判断其经过的象限．4.已知一组数据a ，2，4，1，6的中位数是4，那么a 可以是（）A.0B.2C.3D.5【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a 的位置，再解答即可．【详解】解：根据题意，a 的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a ，6或1，2，4，6，a ；∴4a >．∴D 符合题意故选D ．5.下列命题中，真命题的是（）A.四条边相等的四边形是正方形B.四个内角相等的四边形是正方形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；B 、四个内角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；C 、对角线互相垂直的平行四边形是是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；D 、对角线互相垂直的矩形是正方形，命题正确，符合题意；故选：D ．6.如图，在ABC 中，AB AC ≠，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转，点A 、B 分别落在点D 、E 处，如果点A 、D 、E 在同一直线上，那么下列结论错误的是（）A.60ADC ∠=︒B.60ACD ∠=︒C.BCD ECD∠=∠ D.BAD BCE∠=∠【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练运用旋转的性质．由旋转的性质可得BAC EDC △≌△，ACD BCE ∠=∠，再结合已知条件逐一分析判断即可．【详解】解：A ．由旋转的性质可知，120EDC BAC ∠=∠=︒，∴当点A 、D 、E 在同一条直线上时，18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，故选项A 不符合题意；B ．由旋转的性质可知，BAC EDC △≌△，∴BCA ECD ∠=∠，CA CD =，由∵60ADC ∠=︒，∴ACD 为等边三角形，∴60ACD ∠=︒，故选项B 不符合题意；C 、∵BCA ECD ∠=∠，60ACD ∠=︒，∴由旋转的性质可得：60BCE ACD ∠=∠=︒，当BCD ECD ∠=∠时，∴30ACB BCD ECD ∠=∠=∠=︒，与题干条件矛盾，∴选项C 符合题意D ．∵ACD 为等边三角形，∴60DAC ∠=︒，∵120BAC ∠=︒，∴1206060BAE BAC DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵60BCE ∠=︒，∴BAD BCE ∠=∠，故选项D 不符合题意；故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上）7.计算：3262a a ÷=______．【答案】3a 【解析】【分析】本题考查了单项式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是关键．根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．【详解】解：32623a a a ÷=，故答案为：3a ．8.在实数范围内因式分解23=x -__________【答案】(x x ##(x x 【解析】【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：(23=x x x -．故答案是：(x x ．【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握()()22a b a b a b -=+-是解题的关键．9.函数y =__________．【答案】1x ＞【解析】【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式即可．【详解】解：根据题意可得，1x -＞0，解得，1x ＞，故答案为：1x ＞．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟练运用相关性质列不等式，确定自变量的取值范围．10.若关于x 的方程260x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________．【答案】9k ≤【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：243640b ac k ∆=-=-≥，解得：9k ≤；故答案为9k ≤．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．11.布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______．【答案】15【解析】【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=．求出事件全部结果数及摸出的小球所标数字是合数的全部结果数，由概率计算公式即可求得答案．【详解】解：∵共五个数，合数为4，共1个，∴从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是合数的概率为15，故答案为：15．12.已知反比例函数1k y x-=的图象在每一个象限内，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是_________．【答案】1k >##1k<【解析】【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数0k >时，它图象所在的每个象限内y 随x 的增大而减小．【详解】解：∵在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，∴10k ->，即1k >，故答案为：1k >．【点睛】本题主要考查反比例函数y kx =的性质，对于反比例函数（0k ≠），（1）0k >，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；（2）0k <，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．13.根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x ，根据题意可列方程______．【答案】()24.321 4.72x +=【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：()24.321 4.72x +=．故答案为：()24.321 4.72x +=．14.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点，CE 与对角线BD 相交于点F ，设向量AB a =，向量BC b =，那么向量BF = ______．（用含a 、b 的式子表示）【答案】2233b a - 【解析】【分析】本题主要考查平面向量的知识，结合平行四边形性质，相似三角形的性质解题是关键．利用平行四边形的性质可先证明23BF BD =，然后用三角形法则表示出BD ，即可得到BF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥，DC AB =，AD BC ∥，AD BC =，∴BC AD b == ，DEF BCF △∽△，∵E 是边AD 的中点，∴12DE DF BC BF ==，∴23BF BD =，∵BD BA AD BA BC b a =+=+=- ，∴222333BF BD b a ==- ，故答案为：2233b a - 15.近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是______元．【答案】175.【解析】【分析】本题考查的是加权平均数的含义，用各自的单价乘以各自的权重即可得到答案．【详解】解：∵4016025%÷=，∴20元的占比140%25%35%--=，∴食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是1540%1825%2035%17.5⨯+⨯+⨯=（元），故答案为：175.16.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，如果4BD CD =，那么tan B =______．【答案】155【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，如图，连接AD ，设CD x =，可得4AD BD x ==，求解AC ==，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，连接AD ，∵4BD CD =，设CD x =，∴4BD x =，∵AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，∴4AD BD x ==，∵90C ∠=︒，∴AC ==，∴1515tan 45AC B BC x x ===+；故答案为155．17.如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______厘米．【答案】6-##6-+【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键．设正八边形的边长为x ，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可．【详解】解：如图设正八边形的边长为x ，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为22x ， 正方形的边长为6，∴622x x ++=，解得6x ==，故答案为：6-．18.已知矩形ABCD 中，5AB =，以AD 为半径的圆A 和以CD 为半径的圆C 相交于点D 、E ，如果点E 到直线BC 的距离不超过3，设AD 的长度为m ，则m 的取值范围是______．【答案】5102m ≤≤【解析】【分析】如图，当E 在AB 的左侧时，连接AC ，AE ，CE ，过E 作ER BC ⊥于R ，作ES AB ⊥于S ，如图，当E 在AB 的右侧时，连接AC ，AE ，CE ，过E 作EH BC ⊥于H ，交AD 于Q ，再分别求解m 的值，从而可得答案．【详解】解：如图，当E 在AB 的左侧时，连接AC ，AE ，CE ，过E 作ER BC ⊥于R ，作ES AB ⊥于S ，∵矩形ABCD ，5AB =，AD m =，∴四边形ERBS 为矩形，AD CB m ==，5AB CD ==，∴ES BR =，3ER BS ==，∴532AS =-=，∵A ，C 为圆心，∴AC 是DE 的垂直平分线，∴AD AE m ==，5CD CE ==，∵3ER =，∴22534CR =-=，∴4ES BR m ==-，在Rt AES 中，()22242m m =-+，解得：52m =；如图，当E 在AB 的右侧时，连接AC ，AE ，CE ，过E 作EH BC ⊥于H ，交AD 于Q ，∵矩形ABCD ，5AB =，AD m =，∴AD CB m ==，5AB CD ==，四边形CDQH 为矩形，∴5QH CD ==，同理可得：AD AE m ==，5CD CE ==，∵3EH =，∴224QD CH CE EH ==-=，∴4AQ m =-，∵538EQ =+=在Rt AEQ △中，()22248m m =-+，∴10m =，综上：点E 到直线BC 的距离不超过3，则5102m ≤≤；故答案为：5102m ≤≤【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质，确定临界点是解本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：)0112112713-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭．【答案】13322-【解析】【分析】本题考查的是分数指数幂的运算，二次根式的混合运算，整数指数幂的运算，掌握运算法则是解本题的关键，先计算负整数指数幂，零次幂，分数指数幂，化简绝对值，再合并即可．【详解】解：)0112112713-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭11=-11122=++-13322=-；20.解方程组：222124440x yx xy y+=⎧⎨-+-=⎩．【答案】572xy=⎧⎪⎨=⎪⎩或752xy=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化为212220x yx y+=⎧⎨-+=⎩或212220x yx y+=⎧⎨--=⎩，再解二元一次方程组即可．【详解】解：222124440x yx xy y+=⎧⎨-+-=⎩①②，由②得：()2240x y--=，∴()()22220x y x y-+--=，∴220x y-+=或220x y--=，∴212220x yx y+=⎧⎨-+=⎩或212220x yx y+=⎧⎨--=⎩，解得：572xy=⎧⎪⎨=⎪⎩或752xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．21.如图，已知在ABC中，9AB AC==，5cos3B=，点G是ABC的重心，延长AG 交边BC于点D，以G为圆心，GA为半径的圆分别交边AB、AC于点E、F．（1）求AG 的长；（2）求BE 的长．【答案】（1）4（2）113【解析】【分析】（1）先证明BD CD =，AD BC ⊥，23AG AD =，结合5cos 3B =，可得35CD BD ==（2）过G 作GH AB ⊥于H ，可得EH AH =，证明B AGH ∠=∠，求解453GH =，可得2283AH AG GH =-，从而可得答案．【小问1详解】解：∵9AB AC ==，点G 是ABC 的重心，∴BD CD =，AD BC ⊥，23AG AD =，∵5cos 3B =，∴53BD AB =，∴35CD BD ==∴226AD AB BD =-=，∴243AG AD ==；【小问2详解】如图，过G 作GH AB ⊥于H ，∴EH AH =，∵90ADB AHG ∠=︒=∠，∴90B BAD BAD AGH ∠+∠=︒=∠+∠，∴B AGH ∠=∠，∴cos cos 3GH B AGH AG=∠==，∴453GH =，∴83AH ==，∴816233AE =⨯=，∴1611933BE =-=．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，重心性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．22.寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图像．根据图像提供的信息回答下列问题：（1）图中的=a _______，b =______；（2）求提速后y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（3）她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由．【答案】（1）3；320；（2）提速后y 关于x 的函数解析式为100620y x =-+．（3）能．理由见解析【解析】【分析】（1）根据图象求出a 的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的路程”可计算b 的数值；（2）利用待定系数法求解即可；（3）当0y =时求出对应x 的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可．【小问1详解】解：由题意可得：213a =+=，480802320b =-⨯=．【小问2详解】设提速后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）．将坐标()3,320和()5,120代入y kx b =+，得33205120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100620k b =-⎧⎨=⎩，∴提速后y 关于x 的函数解析式为100620y x =-+．【小问3详解】能．理由如下：当她们到达目的地时，0y =，得1006200x -+=，解得 6.2x =，6.2小时=6时12分，∴她们于12：12分到达目的地．23.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，BD BC =，DBC ∠的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：四边形BCED 是菱形；（2）连接AC 交BF 于点G ，如果AC CE ⊥，求证：2AB AG AC =⋅．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证明DB DE =，可得DE BC =，结合DE BC ∥，可得四边形DBCE 是平行四边形，从而可得结论，（2）如图，连接AC 交BF 于点G ，交BD 于K ，证明梯形ABCD 是等腰梯形，证明45ABG ACB ∠=∠=︒，结合BAG CAB ∠=∠，可得ABG ACB ∽△△，再利用相似三角形的性质可得结论．【小问1详解】证明：∵AD BC ∥，∴AEB CBE ∠=∠，∵DBC ∠的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F ．∴DBE CBE ∠=∠，∴AEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，∵BD BC =，∴DE BC =，而DE BC ∥，∴四边形DBCE 是平行四边形，∵DB DE =，∴四边形DBCE 是菱形；【小问2详解】如图，连接AC 交BF 于点G ，交BD 于K ，∵在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，∴梯形ABCD 是等腰梯形，∴ABC DCB ∠=∠，AC BD =，∵菱形BCED ，∴BD CE ∥，BD CE DE ==，DBC DEC ∠=∠，∴AC CE =，EDC ECD ∠=∠，∵AC CE ⊥，∴45CAE CEA ∠=∠=︒，AC BD ⊥，∴45DBC DEC ACB ∠=∠=∠=︒，67.5EDC ECD ∠=∠=︒，∴9067.522.5ACD ∠=︒-︒=︒，∴454522.5ABD ABC DCB ∠=∠-︒=∠-︒=︒，∵BE 平分DBC ∠，∴22.5DBF CBF ∠=∠=︒，∴45ABG ACB ∠=∠=︒，∵BAG CAB ∠=∠，∴ABG ACB ∽△△，∴AB AG AC AB=，∴2AB AG AC =⋅．【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握基本几何图形的性质是解本题的关键．24.定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l 外有一点H ，圆Q 经过点H 且与直线l 相切，则称圆Q 是点H 与直线l 的点切圆．阅读以上材料，解决问题：已知直线OA 外有一点P ，PA OA ⊥，4OA =，2AP =，圆M 是点P 与直线OA 的点切圆．（1）如果圆心M 在线段OP 上，那么圆M 的半径长是_____（直接写出答案）．（2）如图2，以O 为坐标原点、OA 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，点P 在第一象限，设圆心M 的坐标是(),x y ．①求y 关于x 的函数解析式；②点B 是①中所求函数图象上的一点，连接BP 并延长交此函数图象于另一点C ．如果:1:4CP BP =，求点B 的坐标．【答案】（1）552-（2）①21254y x x =-+；②()8,5或()0,5【解析】【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键．（1）过点M 作MN OA ⊥，设圆M 的半径为R ，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求OP ，再利用同角三角函数值相等得：sinO ==，求解即可；（2）①过点M 作MN OA ⊥,MC AP ⊥，则4MC AN x ==-，MN CA y ==，则2PC y =-，对Rt PCM 运用勾股定理即可建立y 关于x 的函数关系式；②设点(),C x y ，过点C 、B 作AP 的垂线交于点D 、E ，构造相似三角形，用x ，y 的代数式表示出B 点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解．【小问1详解】解：过点M 作MN OA ⊥，设圆M 的半径为R ，∵PA OA ⊥，4OA =，2AP =∴2225OP OA AP =+=，∵圆M 是点P 与直线OA 的点切圆，∴MN R =，∴1sin 255O R ==-，解得：552R -=．故答案为：552-．【小问2详解】解：①过点M 作MN OA ⊥,MC AP ⊥，由（1）得MN PM y ==，则4MC AN x ==-，MN CA y ==，则2PC y =-，在Rt PCM 中，222PM PC CM =+得：22224y y x =-+-，化简得：21254y x x =-+．②设点(),C x y ，过点C 、B 作AP 的垂线交于点D 、E ，∵BE CD ，∴BEP CDP △∽△，∴4BE EP BP CD DP CP===，则4,164,284CD x BE x DP y PE y =-=-=-=-，，∴点()204,104B x y --代入21254y x x =-+得：()()2211042042204541254y x x y x x ⎧-=---+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得：3x =或5x =，∴点()8,5B 或()0,5B ．25.已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF．（1）如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CD AF的值；（2）如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD 的值．【答案】（1）12CD AF =；（2）①EG CD =，理由见解析；②OE OD 的值为1或3或715．【解析】【分析】（1）利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；（2）①延长FE 交O 于点M ，延长FG 交O 于点N ，延长CD 交O 于点H ，连接MN ，OH ，ON ，OM ，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到12EG MN =，利用垂径定理得到12CD DH CH ==，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到AOC EFG ∠=∠，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到CH MN =则结论可得；②利用分类讨论的方法分三种情况解答：.Ⅰ当EF EG =时，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；.Ⅱ当FG EF =时，过点E 作EH AB ⊥于点H ，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；.Ⅲ当FG EG =时，则4FG k =，连接FC ，利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可．【小问1详解】当FE 的延长线经过点A 时，∵EF OC ⊥，∴12AE FE AF ==，90A AOE ∠+∠= ，∵CD OA ⊥，∴90C AOE ∠+∠=︒，∴A C ∠=∠，在AOE △和COD △中，A C OA OC AOE COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AOE COD ≌，∴AE CD =，∴12CD AF =，∴12CD AF =；【小问2详解】①EG 与CD 的大小关系为：EG CD =，理由：延长FE 交O 于点M ，延长FG 交O 于点N ，延长CD 交O 于点H ，连接MN ，OH ，ON ，OM，如图，∵OE FM⊥∴EF EM =，∵AB 为直径，FG AB ⊥，∴FG GN =,∴EG 为FMN 的中位线，∴12EG MN =，∵AB 为直径，CD OA ⊥，∴12CD DH CH ==，∵OC OH =，OA CH ⊥，∴2COH COD ∠=∠，∵90FEO FGO ∠=∠= ，∴180EFG EOG ∠+∠= ，∵180AOC EOG ∠+∠= ，∴AOC EFG ∠=∠，∴2COH EFG ∠=∠，∵=2MON EFG∠∠∴MON COH ∠=∠，∴ CH MN =，∴CH MN =，∴EG CD =；②∵4sin 5COD ∠=，sin CDCOD OC ∠=，∴45CD OC =，∴设4CD k =，则5OC k =，∴3OD k ===，.Ⅰ当EF EG =时，由（2）①知：4EG CD k ==，∴4EF k =，5OF OC k ==，∵EF OC ⊥，∴3OE k ==，∴OE =OD ，∴1OE OD =；.Ⅱ当FG EF =时，过点E 作EH AB ⊥于点H ，如图，在Rt FEO △和Rt FGO △中，FO FOFE FG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL FEO FGO ≌，∴OE OG =，设OE OG m ==，∵4sin 5COD ∠=，∴45EH OE =，∴45EH m =，∴35OH m =，∴85HG m =，∵222EH GH EG +=，∴()22248455m m k ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5m k =，5OE k =，∴53OE OD =，.Ⅲ当FG EG =时，则4FG k =，连接FC ，如图，初中31∵4CD FG k ==，CD AB ⊥，FG AB ⊥，∴四边形CDGF 为矩形，∴CF DG =，在Rt CDO 和Rt FGO 中，,CD FG OC OF=⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL CDO FGO ≌，∴3OD OG k ==，∴6FC DG k ==，设OE x =，则5CE OC OE k x =-=-，∴222EF CF CE =-，222EF OF OE =-，∴()()()2222655k k x k x --=-，∴75x k =，∴75OE k =，∴775315k OE OD k ==综上，当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，OE OD 的值为1或53或715．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．。