九年级数学下册周末辅导计划4

（一）二次函数的图象及性质【知识要点】1、二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++ 的函数叫做二次函数．2、二次函数的图象：二次函数2(0)y ax bx c a =++ 的图象是一条抛物线，其顶点坐标为24,24b ac b aa 骣-÷ç÷-ç÷÷ç桫，对称轴为2bx a =-，当0x >时，开口向上，当0x <时，开口向下，抛物线开口的大小与a 的绝对值的大小有关：a 越大，开口越小；a 越大，开口越宽． 3、二次函数2(0)y ax bx c a =++ 的图象可以看作是由2(0)y ax a = 的图象通过平移得到的．图象平移规律：“左加右减，上加下减”．如： ①212y x =- 2u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向左平移个单位()2122y x =-+u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向下平移3个单位()21232y x =-+-②23y x = u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向右平移1个单位 ()231y x =- 2u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向上平移个单位 ()2312y x =-+4、二次函数的配方：函数()()20y a x m n a =-+ 叫做抛物线的顶点式，顶点坐标为（m ，n ）．将函数的一般式2(0)y ax bx c a =++ 化成顶点式()()20y a x m n a =-+ 的过程叫做配方．配方的步骤如下：222b y ax bx c a x x c a 骣÷ç=++=++÷ç÷ç桫（提取二次项系数） 22222b b b a x x c a a a 轾骣骣犏鼢珑=++-+鼢珑犏鼢珑桫桫犏臌（括号内加上减去一次项系数一半的平方）22224b b a x c aa 轾骣犏÷ç=+-+÷ç犏÷ç桫犏臌（配成完全平方式） 222242424b b b ac b a x c a x a a a ac骣骣-鼢珑=+-+=++鼢珑鼢珑桫桫（去掉中括号）顶点坐标为（0，0） 顶点坐标为（-2，0）顶点坐标为（-2，-3）顶点坐标为（0，0） 顶点坐标为（1，0） 顶点坐标为（1，2）【题型讲解】例1、如图，用一根6m 长的铝合金材料，做一个可分为上下两部分的矩形窗框，设其面积为y （m 2），宽为x ．（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）求当宽为1m 时，这个窗框的面积．例2、求二次函数2246y x x =-+的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出该函数的图象例3、已知抛物线的顶点为（-2，3），且与轴交于点（0，5），求此抛物线的解析式．例4、把抛物线2(0)y ax bx c a =++ 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的关系式是235y x x =-+，则a = ，b = ，c = ．x【跟踪练习】一、选择题1．下列函数中，不是二次函数的是（ ）A ．232y x =-； B ．()2211y x =-+；C ．()12(3)2y x x =-+； D ．()222y x x =--． 2．已知函数221y x x =--+，那么下列四个点不在这个函数图象上的是（ ） A ．（1，2-）； B ．（0，1）； C ．（1-，4）； D ．（1-，0）． 3．抛物线()21323y x =-++的顶点坐标是（ ） A ．（3，2）； B ．（3-，2）； C ．（3，2-）； D ．（3-，2-）．4．要得到函数22(3)2y x =+-的图象，可将函数22y x =的图象下列哪种方式平移而得到（ ）A ．向左平移3个单位，再向下平移2个单位；B ．向右平移3个单位，再向下平移2个单位；C ．向左平移3个单位，再向上平移2个单位；D ．向右平移3个单位，再向上平移2个单位．5．将二次函数242y x x =--+化为()2y a x h k =-+的形式，则（ ）A ．1a =-， 2h =， 6k =；B ．1a =-， 2h =-， 6k =；C ．1a =， 2h =， 6k =-；D ．1a =-， 2h =-， 2k =；二、填空题6．抛物线()2232y x =--+的开口方向为 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 7．将抛物线()22313y x =-+-可由抛物线 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到． 8．二次函数()2112y x =-+的图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ． 9．如图，有一个抛物线形拱桥，其桥拱的最大高度为 16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐 标系中，则此抛物线的函数关系式为_______________．10．已知抛物线的顶点为（3，1-），且过点（0，4-）， 则它的解析式为 ．第9题图三、解答题11．在同一坐标系内画出下列二次函数的图象： （1）212y x =-； （2）21(1)2y x =--； （3）21(1)32y x =--+．12．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++ 经过点A （1-，0）、B （3，0）和C （0，4）． （1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标．13． 已知抛物线21522y x x =+-． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．11．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++ 经过A ，B ，C 三点，当0x ³时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线2(0)y ax bx c a =++ 当0x <时的图象； （3）根据图象写出x 为何值时，0y >．12．如图，P 为抛物线2331424y x x =-+上对称轴右侧的一点，且点P 在x 轴上方，过点P 作PA 垂直x 轴于点A ，PB 垂直y 轴于点B ，得到矩形PAOB ．若AP=1，求矩形PAOB的面积．（二）二次函数的应用【知识要点】1、二次函数与一元二次方程的关系：在二次函数2(0)y ax bx c a =++ 中，令0y =，便得到一元二次方程20(0)ax bx c a ++= ，因此，抛物线20(0)ax bx c a ++= 与x 轴有无交点，取决于方程20(0)ax bx c a ++= 有无实根，（1）当△240b ac =->时，图像与x 轴有两个交点，交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0） 其1x ，2x 就是方程20(0)ax bx c a ++= 的两个根； （2）当△240b ac =-=，图象与轴有一个交点，交点坐标为,02b a 骣÷ç-÷ç÷ç桫； （3）当△240b ac =-<，图象与轴没有交点．2、()()12y a x x x x =--叫做二次函数的“交点式”，如果知道抛物线与轴的交点，利用交点式求其解析式很方便．3、二次函数的最大值和最小值：若0a >，则二次函数2(0)y ax bx c a =++ 在2bx a=- 时有最小值，最小值为244ac b a-；若0a <，则二次函数2(0)y ax bx c a =++ 在x =2ba-时有最大值，最大值为244ac b a -． 4、二次函数在实际问题中有着广泛的应用．解答实际问题的步骤如下： （1）设元，用字母表示变量； （2）列式，列出二次函数关系式；（3）求二次函数的最值或顶点坐标，将实际问题转化为二次函数的问题； （4）作答．【题型讲解】例1、某商店将进价为8元／件的某种商品按10元／件出售，每天能卖出100件，他想利用提高价格的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件提价1元，每天的销售量就会减少10件，（1）写出每天所得利润y （元）与售价x （元／件）之间的函数关系式； （2）每件售价定为多少元时，才能使每天的利润最大？例2、某种商品的进价是120元，在试销阶段发现每件售价与产品的日销售量始终存在下表中的数量关系：每件售价（元） 130 150 165 每日销售量（件）705035（1）请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系；（2）在不改变上述关系的前提下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日赢利最大，最大赢利是多少？例3、如图是抛物线形状的拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽46m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽43m ，若洪水到来时，水面以每小时0.25m 的速度上涨，求过警戒线后几小时，洪水淹到拱桥顶．例4、如图，一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面213米，铅球落地点距出手时的地点10米，铅球运动中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式．ABDC M ON x y O【跟踪练习】1．若抛物线28y x x c =-+的顶点在x 轴上，则c 的值为 ． 2．当__________x =时，函数22y x x =--的值为03．抛物线223y x x =-++与x 轴的交点坐标是 ． 4．二次函数247y x x =+-当x = 时有最 值，最 值为 ． 5．某化工厂在1月份生产某种产品100吨，3月份生产y 吨，则y 与月平均增长率x 之间的函数关系式是 ．6．如图，用60m 长的篱笆围成一面靠墙并且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为 ．7．如图，截面是等腰梯形的拦水坝，两腰与上底的和为8m ，底角为60º，当上底AD 为 时，水坝的截面积最大．8．如图，有一个抛物线形拱桥，当水位线在AB 位置时，桥拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水面上升1m 后，水面宽为 ．9．某种商品当售价为15元╱个时，能卖出500个，该商品每个每上涨1元，卖出的个数就要减少20个，问：要使销售金额最大，每个商品的价格应定为多少元？10．某旅社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满．旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间房的日租金每增加5元，则客房每天出租就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金的总收入增加多少元？6题图 第7题图AB C D A A BO x y第8题图11．某商场以30元／件的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件） 与每间的销售价x （元）满足一次函数关系式：1623m x =-．（1）写出商场买这种商品的每天的销售利润y （元）与x 之间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的销售价定为多少时最合适？最大销售利润是多少？12．用6m 长的铝合金做一个如图所示的矩形窗框，当矩形的长、宽为多少时，窗框的透光面积最大？最大面积是多少？13．隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 组成，矩形的长BC=8m ，宽AB=2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m ， （1）求抛物线的解析式；（2）如果隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m ，宽 2.4m ，这两货运卡车能否通过该隧道，通过计算说明理由．A B O C D Ey x14．如图，一篮球运动员在离篮圈4m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确投入篮筐内．已知篮筐中心距离地面3.05m ， （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；（2）若该运动员身高1.8m ，这次跳投时，球在他头顶上方0.25m 处出手，问：球出手时，它跳离地面多高？15．二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（-1，0）， 点C （0，5）、D （1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB 的面积．2.5m4m 3.05m Ox y3. 5m OABC •M yxD（一）图形的相似【知识要点】1、形状相同，大小不同的图形叫做相似形，用符号“∽”表示．2、边数相同，各角相等并且对应边的比也相等的多边形是相似多边形．3、四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或a cb d=），则称这四条线段成比例，其中a 、d 叫做比例外项，b 、c 叫做比例內项，特别的，如果::a b b c =，则称b 为a 、c的比例中项． 4、比例的性质： （1）a cad bc b d=?；（2）a c ab b dcd =?；（3）a c a bc db d bd北=?；（4）(0)a c e ma c e m ab d n b d f ncd f n b++++===+++观=++++L L L L ．【题型讲解】例1、如图，已知梯形ABCD ∽梯形A ′B ′C ′D ′,求未知的边长x 、y 、z 和未知的角a 、b 的度数．例2、如图，已知矩形ABCD 与矩形DEFC 相似，且AB=2，BC=5，求AE 的长．DA B C9.6 x9 y 62ºb D ′ A ′ B ′ C ′ 6.4 z4 8 a 100º A B FC D E例3、在比例尺为1:500 000的地图上，量得A 、B 两地的距离为46cm ，则A 、B 两地的实际距离为 ．例4、已知线段a 、b ，且23a b =，求2a bb-的值．例5、在△ABC 中，AB=12，AE=6，EC=4，且AD AE=DB EC，求AD 的长．【跟踪练习】1．已知线段a 、b 、c 、d 满足ac bd =，则下列各式中不正确的是（ ）A ．a c b d =；B ．a b d c = ；C ．d a c b =；D ．c b d a=．2．某地图的比例尺为1:100 000，甲、乙两地的实际距离为2500m ，则在地图上甲乙两地的距离是（ ）A ．4cm ；B ．3cm ；C ．2.5cm ；D ．2cm ； 3．如图所示的两个五边形，它们不重合的边都平行，那么 这两个五边形的关系是（ ） A ．相似； B ．不相似； C ．不一定相似； D ．以上都不对． 4．若:2:5a b =，4a =，则______b =．5．已知线段64 3.6 2.4a cm b cm c cm d cm ====，，，， 这四条线段是成比例的线段吗？，请说明理由．AD B C,EA G E DC F B H6．在比例尺为1:400 000的地图上，量得甲乙、两地的距离为5cm ，求甲乙两地的实际距离7．如图，已知四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，根据图中条件，求出A ′B ′、 BC 的长及∠D 的大小．8．已知235x y z ==，求x y zx+-的值．9．如图，△ABC 中，∠B=90º，D 为AC 上的一点，AD=15，CD=20，若AB AD=BC CD,求 AB 、BC 的长．C A BD ╮ 60º1518D ′A ′B ′C ′ 140º 10 14 •D ABC（二）相似三角形判定【知识要点】1、对应角相等，对应边成比例（对应边的相等）的三角形叫做相似三角形．2、平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，截得的三角形和原三角形相似．如图（1）和（2），在△ABC 中，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ．3、相似三角形的判定定理：（1）三条边对应成比例的两个三角形相似；（2）两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）有两个角对应相等的两个三角形相似4、熟悉两种特殊情况：如图（3），P 、Q 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，若∠AQP=∠B ，则△AQP ∽△ABC ，如图（4），CD 是Rt △ABC 的斜边上的高，则△ACD ∽△CBD ∽△ABC ．【题型讲解】例1、如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，BE 交AC 于F ，则AF ∶CF= ．例2、如图，已知△ABC ，DE ∥BC ，且AD=3，DB=2，CE=3，求AC 的长．例3、如图是一个边长为1的小正方形组成的正方形网格，△ABC 和△A ′B ′C ′都是格点三角形（即顶点在网格交点处），请判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，如果相似，相似比是多少？如果不相似，请说明理由．A B C E D （1） A E D B C （2） AB C PQ（3） （4） A D B CA B C D E F A D B C EB ′A CB A ′C ′例4、如图，AC 平分∠BAC ，AB=4，AD=5，当AC= 时，△ABC ∽△ACD ．例5、如图，CD 是直角三角形ABC 的斜边上的高，AD=6，BD=4，求CD 的长．例6、如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，（1）求证：△PAC ∽C △PDB ；（2）若P 为AB 的中点，PC=2，PD=9，求弦AB 的长．【跟踪练习】1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AF 交DE 于G ，图中相似的三角形有 对． 2．一个三角形的三边依次为2，5，6，与它相似的另一个三角形的最大边为24，则它的最小边为 ．3．如图，已知点D 是AC 的中点、E 在 AB 上，且∠AED=∠C ，AC=6，AE=2，则AB 的长为 ．A BC D A B DC ABC D • OP A B C F D G E 第1题图 BAE DC 第3题图 O A B CD 第4题图4．如图，AC 与BD 相交于点O ，已知DO CO 1==DB CA 4，则CDAB等于 ． 5．如图，△ABC 中，AB=2AC ，D 是AB 上一点，且1AD =BD 3，则CD ∶BC= ．6．如图，已知AB BC AC==AD DE AE，∠AED=55º，∠ABC=50º，则∠BAC= ．7．如图，DE ∥BC ，AD=2，DB=3，DE=4，则BC=( ) A ．5； B ．6； C ．9； D ．10．8．如图，过圆外一点P 引圆的两条割线PAB 和PCD ，连接AC 、AD 、BC 、BD ，AD 与BC 相交于M ，则图中相似三角形有（ ）A ．4对；B ．5对；C ．6对；D ．7对．9．如图，DE ∥BC ，AD=3，DE=2，BC=6，CE=4，求DB 和AE 的长．10．在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1，AE=4，BC=5，求DE 的长．A C BD 第5题图 A B CE D第6题图 A D E BC 第7题图 PAB C DM第8题图A D EBC ADE B C11．如图，已知AB BC AC==AD DE AE，求证： （1）BAD =CAE 行；（2）ABD V ∽ACE V ．12．正方形ABCD 中，P 是BC 边上一点，BP=3PC ， Q 是CD 的中点，求证：AQ=2QP ．13．如图，△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，连接DE ，求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；（3）AE •AB=AD •AC14．如图，△ABC 是等边三角形，DE 是直线BC 上的两点，且∠DAE=120º，求证： （1）△ADB ∽△EAC ；（2）BC 2=BD •CE ．A B C D QP AB C D EAB C DE A D EB C（三）相似三角形的性质及应用【知识要点】1、相似三角形的对应角相等，对应边的比（相似比）相等；2、相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【题型讲解】例1、已知两个相似三角形的面积比是4∶9，周长的和是26cm ，则这两个三角形的周长是（ ）A ．8cm 和18cm ；B ．10.4cm 和15.6cm ；C ．10cm 和16cm ；D ．10.6cm 和15.4cm ．例2、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB=3∶2， ADE 9S =V ，则S =梯形DBCE ．例3、花丛中有一路灯杆AB ，在灯光下，小明在D 处的影长DE=3m ，沿BD 方向行走到达G 点，DG=5m ，这时小明的影长GH=5m ，如果小明的身高为1.7m ，求路灯杆AB 的高度（精确到0.1m ）例4、如图，△ABC 中，BC=8cm ，高AD=6cm ，矩形EFGH 内接于△ABC ，其中E 、F 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，且GH ∶GF=2∶1，求矩形EFGH 的面积．AB C D E AB C D F G H AB C G HE F D M【跟踪练习】1．如图，身高1.6m 的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶的影子正好与旗杆顶端的影子重合，测得AC=2m ，BC=8m ，则旗杆的高度为 m ．2．某一天的同一时刻，某大楼的影长是50m ，同时测得高1.5m 的杆子的影长是2.5m ，则大楼高为 m ，3．如图是用平面镜测量建筑物高度的示意图，根据图中所给尺寸（单位：米），可求得建筑物的高度是 米．4．把一个三角形的面积扩大到原来的10倍，则它的边长扩大（ ） A ．10倍； B ．10倍； C ．100倍； D ．20倍．5．如图，有一块三角形的材料ABC ，它的一边BC=120cm ，高AD=80cm ，现要把它加工成正方形零件，使正方形PQRS 的一边QR 在BC 上，其余两个顶点P 、S 分别在AB 、AC 上，求这个正方形零件的边长．6．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点P ，过P 作平行于底边的直线交AB 于M ，交DC 于N ，求证：PM=PNA CB E D第1题图1.5 1.25180 第3题图 AB C SP Q R D E A BC DPM N。