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立体几何综合试题

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立体几何综合试题1.如图，在正三棱柱 ABC — A i B i C i 中，各棱长都相等，D 、 (i )求证：DE //平面 A i B i C i ； (2)求二面角 A i — DE — B i E 分别为AC i , BB i 的中点。

的大小。

4.在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，CA=CB=CC i =2, / ACB=90 ° , E 、F 分别是 BA 、BC 的中点，G 是 AA i 上一点，且AC i 丄EG.(I)确定点 (n)求直线 G 的位置；AC 1与平面EFG 所成角0的大小.5 .已知四棱锥 2.如图：已知直二棱柱 ABC — A i B i C i , AB = AC , F 为棱 BB i 上一点，BF: FB i = 2: I , BF = BC =2a 。

(I )若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明 EF 丄FC i ; (II )试问：若 AB = 2a ,在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB i C i C 成60°角, 的结论 为什么？证明你3. / ADC (I )P —ABCD ，底面ABCD 是菱形,点E 为AB 中点，点F 为PD 中点.(1) 证明平面 PED 丄平面PAB ;(2) 求二面角P —AB — F 的平面角的余弦值如图，在底面是直角梯形的四棱锥P — ABCD 中，AD // BC , / ABC = 90。

，且= arcsi 』，又 PA 丄平面 ABCD , AD = 3AB = 3PA = 3a 。

5求二面角P — CD — A 的正切值；(II )求点A 到平面PBC的距离。

-D6.在棱长为4的正方体ABCD-A i B i C i D i 中，0是正方形A i B i C i D i 的中心，点P 在棱CC i 上,且CC i =4CP. (I )求直线AP 与平面BCC i B i 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示) ； (n )设0点在平面D i AP 上的射影是H ，求证： (川)求点P 到平面ABD 1的距离. C iP C7、如图，在四棱锥P - ASCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDi底面ABCD，PD- DC，E 是PC 的中点，作EFLPB交PB于点F。

(I)证明F盘II平面EDB； (II)证明PBi 平面EFD ;(Ill)求二面角BP氏D 的大小。

9、如图，直四棱柱ABCD-A i B i C i D i的底面是梯形，AB // CD，AD 丄DC，CD=2，DD i=AB=i，P、Q 分别是CC i、C i D i 的中点。

点P 到直线AD i 的距离为迟2⑴求证：AC //平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小&如图，在棱长为1的正方体ABCD —A i B i C i D i中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点.(I)试确定点F的位置，使得D i E丄平面AB i F;(II )当D i E丄平面AB i F时，求二面角C i —EF —A的余弦值. io (本题满分i3分)已知长方体ABCD —A i B i C i D i中，AB=BC=4，AA i=8，E、F分别为AD和CC i的中点，O i为下底面正方形的中心。

(I)证明：AF丄平面FD i B i；(n)求异面直线EB与O i F所成角的余弦值；D1立体几何1、(1)取 A i C i 中点 F ，连结 B i F , DF ,••• D i E 分别为 AC i 和 BB i 的中点，DF // AA i ,DF= (1/2) AA i , B I E / AA i , B i E= (1/2) AA i ,： DF // B i E , DF=B i E ,.・. DEB i F 为平行四边形，二 DE // B i F ,又 B i F 在平面 A i B i C i 内，DE 不在平面 A i B i C i ,： DE //平面 A i B i C i (2)连结A i D , A i E ,在正棱柱ABC — A i B i C i 中，因为平面A i B i C i 丄平面ACC i A i , A i C i 是平面A i B i C i 与平面ACC i A i 的交线，又因为 B i F 在平面A i B i C i 内，且B i F 丄A i C i ,，所以B i F 丄平面ACC i A i ,又DE // B i F ,所以DE 丄平面ACC i A i 所以/ FDA i 为二面角设正三棱柱 42DCi =——,AiD 2 2. (I )连结DF , DC •••三棱柱 ABC — A i B i C i 是直三棱柱， 的棱长为 1 ,因为/42=——,N A i DC i =900「Z FDA i 2A i — DE —B i 的平面角。

并且/ FDA 1 = ( 1/2)/ A i DC i , 点，所以 AA i C i =900, D 是 AC i 的中 =45°,即为所求的二面角的度数。

3/ ••• CC i 丄平面ABC,...平面BB i C i C 丄平面ABC•/ AB = AC , D 为 BC 的中点，••• AD 丄 BC , AD 丄平面 BB iC iC••• DF 为EF 在平面BB i C i C 上的射影,在^ DFC i 中，••• DF 2= BF 2+ BD 2= 5a 2, DC ； = CC-2 + DC 2= 10a 2,2 2 0 2FC i = B i F + B iG = 5a ,• DC i2 = DF 2 + FC i 2,• DF 丄 FC iFC 」EF (II ) •/ AD 丄平面BB i C i C , ••• / DFE 是 EF 与平面 BB i C i C所成的角在^ EDF 中，若/ EFD = 60 ，贝U ED = DFtg60 °= • 75a = V isa ,•••勺T5a >, ••• E 在DA 的延长线上，而不在线段AD 故线段AD 上的E 点不能使EF 与平面BB i C i C成60°角。

12/3.解：(1)在底面ABCD 内，过A 作AE 丄CD ，垂足为E ，连结PEPHrA 「■ 」 ;.\ 一E C-D•/ PA 丄平面ABCD ，由三垂线定理知： PE 丄CD •••/ PEA 是二面角 P — CD — A 的平面角 .......在 RUAED 中，AD = 3a , N ADE = arcsinPA 在 R U PAE 中，tan N PEA =—AE■ pn 坐”•. AE = AD rsin N AD^^-5a 5 5面角P —CD — A 的正切值为 V !3(II )在平面 APB 中，过 A 作AH 丄PB ,又AB 丄BC ,• BC 丄平面 PAB.••平面PBC 丄平面PAB••• AH 丄平面PBC 故AH 的长即为点 A 到平面PBC 的距离 垂足为 H •/ PA 丄平面 ABCD ,••• PA 丄BC10分4,在等腰直角三角形 PAB 中, 14分)解法一：(I)以C 为原点，分别以0), E (1, 1, 0), A (0, 2,AC i = (0-2,2)J 2AH = —— a ，所以点 A 到平面PBC 的距离为2a 4.(本小题满分 2CB 、CA 、CC i 为X 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 F ( 1 , 0, 0), C i (0, 0, 2),设 G (0, 2, h )，则 EG = (—i,i,h)匚 •••— ix 0+1 X(— 2) +2h=0. ••• h=i ,AC i 丄 EG,「. EG-AC i = 0.即G 是AA i 的中点. (n)设m=(X, y,z)是平面EFG 的法向量，则 m 丄FE,ml EG.所以* 0x X 中1X y + 0x z - 0,平面EFG 的一个法向量 m = (1, 0, 1) _ X + y+ z = 0.|m 'AC 1| ••• sin e =二■，二= 2L = 1|m|・|AC i |2 2兀 为一6• 8 =—,即AC i 与平面EFG 所成角06解法二：(I)取 AC 的中点D ，连结DE 、DG ，贝U ED//BC •/ BC 丄 AC ,• ED 丄 AC.又 CC i±平面 ABC ，而 EDU 平面 ABC , • CC i±ED. •••CC i QAC=C ,• ED 丄平面 A i ACC i . ……3 分又••• AC i±EG ,• AC i± DG. ......... 4 分连结 A i C,v AC i 丄A i C ,.・. A i C//DG.•/ D是AC 的中点，••• G 是AA 1的中点 .. ........ 6分(n)取 CC i 的中点 M ，连结 GM 、FM ，贝U EF//GM , ••• E 、F 、M 、G 共面作C i H 丄FM ，交FM 的延长线于H ,14分10分1分C1器 ........ ”A••• AC 丄平面 BB i C i C ,%iC 1H U 平面 BB 1C 1C ,A AC 丄 G 1H ，又 AC//GM , A GM 丄 GH. •/ GM n FM=M ,二C 1H 丄平面EFG ,设AC 1与MG 相交于N 点，所以/ G N H 为直线AC 1与平面EFG 所成角0 . .............. 12 分.5.本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空 间想象能力和推理能力.满分12分.(1)证明：连接BD.DE [PC ① 同样由 PDi 底面ABCD ，得T 底面ABCD 是正方形， 有DC 丄船鳥C 丄平面PDC而DE 匚平面PDC ,.',BC VDE.②2分丄面 ABCD , AB U 面 ABCD ，二 AB 丄 PD.匸面 PED , PD U 面 PED , DE n PD=D,”・. AB 丄面 PED.由①和②推得 Q&丄平面PBC 而PB C 平面PBC , :,DSLPB又EFiPB 且DEHEZE ，所以丹丄平面EFD因为GH ¥,C 1N=H si心梟寺14分(II)证明:、：PD 丄底在ABCD 且DC 匚底面ABCD ，二 PD i DC.AB U 面 PAB 面 PED 丄面 PAB.(III)解：由(II)知，PB LDF 故 ZSFD 是二面角C~ PB ~D 的平面角(2)解： 连接EF ，二 NPEF 丁 AB 丄平面 PED ，PE U 面 PED ，二 AB 丄 PE. EF U PED ，二 AB 丄 EF •为二面角P — AB — F 的平面角. 设 AD=2，那么 PF=FD=1，DE= J 3 . 在 APEF 中，PE = J7,EF =2, PF =1,•••cos N P EF ”)2节-52X 2J 7 145" 即二面角P — AB — F 的平面角的余弦值为 5—146、解(1) N APB =arctan 土17(2 )略 (3) 37227方法一：证明：连结 AC ，AC 交BD 于0。

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文科立体几何综合测试题

文科立体几何综合测试题

高三文科数学《立体几何》作业（20091121）一、 选择题(每道小题 5分，共 40分 )1. 如果平面α外一条直线 l 与α内的两条直线垂直，那么l 与α的位置关系是（ ）A ．l ⊥αB ． l ∥αC ．l 与α斜交D ．不能确定2. 如果a 、b 是异面直线，则a,b 的公垂线 ( )A ．不一定存在B ．有且只有一条C ．可能有一条也可能有无数条D ．一定有无数条3. 设a 、b 是异面直线，那么 （ ）A ．必然存在唯一的平面同时平行于直线a 和bB ．必然存在唯一的平面同时垂直于直线a 和bC ．过直线a 存在唯一的一个平面平行于直线bD ．过直线a 存在唯一的一个平面垂直于直线b4. 如图，已知点A 在直线a 上，AB ， AC 分别在平面βα,内，AB a AC a ⊥⊥,则以下结论不正确的（ ）A ．BA 是AC 在α内的射影B ．AC 是AB 在内的射影C ．a ⊥平面ABCD ．AB ⊥AC5. 若圆锥侧面展开图是半径为1的半圆，这个圆锥的体积是（ ）A B C D ．．．．ππππ12243123246. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与直线A 1C 的位置关系是（ ） A ．相交且垂直 B ．相交但不垂直 C ．异面且垂直 D ．异面但不垂直7 一个空间几何体的三视图，其中主视图和左视图的高为2，俯视图是边长为1的正六边形，那么这个几何体的体积为（ ）2361D C B A8 过圆锥顶点的一个截面与底面成60°的角，这截面截圆锥底面的圆所得劣弧是120°，底面圆心到截面距离是3cm ，则圆锥的侧面积是 （ ）A 247cmB 12cmC 421cmD 821cm 222．．．．ππππ72二、 填空(每题5分, 共20分)9. 过四条平行直线，最多可确定_______________个平面．10. 如果直线a ∥平面β，a ⊥平面α，则平面α与β的位置关系为________________．11 长方体ABCD -A'B'C'D'中棱AA'=5，AB=12，直线B'C'与平面A'BCD'的距离为___________ 12 E ，F 分别是边长为a 的正方形ABCD 的边BC 与CD 的中点，AC 交EF 于H ，现在沿AE ，EF ，AF 将正方形折成四面体，使D ，B ，C 重合，记重合后的点为G ，那么在四面体A-EFG中有：（1）AH 垂直平面EFG ；（2）AG 垂直平面EFG ；（3）四面体A-EFG 的体积为324a ；（4）四面体A-EFG 的体积为3232a 。

立体几何试题及解析

立体几何试题及解析

立体几何试题及解析第一题：求长方体的体积已知长方体的长为6cm，宽为4cm，高为3cm，求长方体的体积。

解析：长方体的体积公式为：体积 = 长 ×宽 ×高代入已知数据：体积 = 6cm × 4cm × 3cm = 72cm³所以长方体的体积为72立方厘米。

第二题：求正方体的表面积已知正方体的边长为5cm，求正方体的表面积。

解析：正方体的表面积公式为：表面积 = 6 ×边长²代入已知数据：表面积 = 6 × (5cm)² = 6 × 25cm² = 150cm²所以正方体的表面积为150平方厘米。

第三题：求圆柱体的体积已知圆柱体的底面半径为2cm，高度为8cm，求圆柱体的体积。

解析：圆柱体的体积公式为：体积= π × 半径² ×高度代入已知数据：体积= 3.14 × (2cm)² × 8cm ≈ 100.48cm³所以圆柱体的体积约为100.48立方厘米。

第四题：求球体的表面积已知球体的半径为3cm，求球体的表面积。

解析：球体的表面积公式为：表面积= 4π × 半径²代入已知数据：表面积= 4 × 3.14 × (3cm)² ≈ 113.04cm²所以球体的表面积约为113.04平方厘米。

总结：在几何学中，立体几何是其中的一个重要部分。

通过对不同类型立体的题目进行解析，可以加深对其体积、表面积等概念的理解。

掌握了基本的立体几何公式和计算方法，能够更好地解决与立体几何相关的问题。

在实际生活中，立体几何的应用广泛，例如建筑、工程、制造等领域。

因此，对立体几何的学习和理解具有重要的意义。

高一数学立体几何综合试题

高一数学立体几何综合试题

高一数学立体几何综合试题1.正方体的棱长为1，为的中点，为线段的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是①当时，为四边形②当时，为等腰梯形③当时，与的交点满足④当时，为六边形⑤当时，的面积为【答案】①②③⑤【解析】如图，当时，，即Q为CC1中点，此时可得，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③时，如图，延长DD1至N，使，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证，由1，可得，故可、得，故正确；④由③可知当时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为，故正确．【考点】空间图形与平面图形的关系2.下列说法正确的是( )A．三点确定一个平面B．平面和有不同在一条直线上的三个交点C．梯形一定是平面图形D．四边形一定是平面图形【答案】C【解析】A中应为不共线的三点确定一个平面,B与公理2矛盾，D中有空间四边形，而C中梯形有一组对边平行，是平面图形，所以选C.【考点】平面的基本性质.3.等腰梯形，上底，腰，下底，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为_______．【答案】【解析】如上图，，，，因为，所以，所以，在直观图中，【考点】斜二测画法4.如图，在五面体中，四边形是正方形，平面∥（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明：平面；（3）求二面角的正切值。

【答案】（1）；（2）略；（3）。

【解析】（1）因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．在Rt△CDE中，CD=1，ED=2， CE==3，故cos∠CED==．所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为。

立体几何高考综合试题(含答案)

立体几何高考综合试题(含答案)

立体几何1．【云南省昆明市2019届高三高考5月模拟数学试题】已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是A ．l β∥或l β⊄B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥ 【答案】A【解析】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β∥或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；对于C ，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或m α∥，∴C 错误； 对于D ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误．故选A ．【名师点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．2．【陕西省2019届高三年级第三次联考数学试题】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A B ．34C D ．54 【答案】B【解析】如图，设BC 的中点为D ，连接1A D 、AD 、1A B ，易知1A AB ∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角（或其补角）.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长均为1，则AD =112A D =，1A B =，由余弦定理，得2221111cos 2A A AB A B A AB A A AB +-∠=⋅111322114+-==⨯⨯. 故应选B.【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知1A AB ∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角（或其补角），进而通过计算1ABA △的各边长，利用余弦定理求解即可. 3．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13B ．23C ．34D ．1【答案】B 【解析】如图，由题意可知PA PE PF ，，两两垂直，∴PA ⊥平面PEF ，∴11111123323PEF A PEF V S PA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 设P 到平面AEF 的距离为h ， 又2111321212112222AEF S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△， ∴13322P AEF h V h -=⨯⨯=， ∴123h =，故23h =， 故选B .【名师点睛】本题考查了平面几何的折叠问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．折叠后，利用A PEF P AEF V V --=即可求得P 到平面AEF 的距离．4．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设等边三角形ABC 的中心为O ，连接PF ，CF ，OP .由6AB =，得23AO BO CO CF OF ===== PAB △是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面ABC ，PF OF ∴⊥，OP ==则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(24π48π⨯=，故答案为48π. 【名师点睛】本题主要考查四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径.求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直，则用22224R a b c =++（,,a b c 为三条棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC △外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 5．【2019北京市通州区三模数学试题】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面，AB AC ⊥，1AB =，12,5AC AA AD CD ，点E 为线段1AA 上的点，且12AE =．（1）求证：BE ⊥平面1ACB ；（2）求二面角11D AC B --的余弦值；（3）判断棱11A B 上是否存在点F ，使得直线DF ∥平面1ACB ，若存在，求线段1A F 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2；（3）见解析. 【解析】（1）因为1A A ABCD ⊥底面，所以1A A AC ⊥．又因为AB AC ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A ，又因为BE ⊂平面11ABB A ，所以AC ⊥BE ．因为112AE AB AB BB ==，∠EAB =∠ABB 1=90°， 所以1Rt Rt ABE BB A△∽△．所以1ABE AB B ∠=∠．因为1190BAB AB B ∠+∠=︒，所以190BAB ABE ∠+∠=︒．所以BE ⊥1AB ．又1AC AB A =，所以BE ⊥平面1ACB ．（2）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得111(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),A B C D A B C 11(1,2,2),(0,0,)2D E ．由（1）知，1(0,1,)2EB 为平面1ACB 的一个法向量， 设(,,)x y z =n 为平面1ACD 的法向量．因为1(1,2,2),(2,0,0)AD AC ，则10,0,AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即220,20,x y z x -+=⎧⎨=⎩ 不妨设1z =，可得(0,1,1)=n ． 因此10cos ,10||||EBEBEB n n n ． 因为二面角11D AC B --为锐角，所以二面角11D AC B ． （3）设1A F a ，则(0,,2)F a ，(1,2,2)DF a ． 1(1,2,2)(0,1,)2102DF EB a a ， 所以1a =-（舍）． 即直线DF 的方向向量与平面1ACB 的法向量不垂直，所以，棱11A B 上不存在点F ，使直线DF ∥平面1ACB ． 【名师点睛】本题主要考查线面垂直与平行、以及二面角的问题，熟记线面垂直的判定定理以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立； （2）以A 为原点建立空间直角坐标系，由（1）得到1(0,1,)2EB 为平面1ACB 的一个法向量，再求出平面1ACD 的一个法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果；（3）先设1A Fa ，用向量的方法，由0DF EB 求出a 的值，结合题意，即可判断出结论.。