8.2(1)向量的数量积

8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。

1 高中数学必修二8.1~8.2向量的线性运算与数量积-知识点 1、①单位向量： 模为1 的向量；②零向量： 模为0 的向量，规定零向量的方向可以是 任意 的；③相等向量：模 相等 且方向 相同 的向量；④相反向量：模 相等 且方向 相反 的向量； 2、平行向量：所在直线 平行或重合 的两个向量平行，方向 相同或相反 。

规定零向量 平行于 任意向量。

“A 、B 、C 三点共线”的充要条件：AC AB ∥。

3、向量加法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，将b 与a 首尾相接 ，那么以 a 的起点 为起点，b 的终点 为终点的向量，就是和向量a +b 。

4、向量加法的多边形法则，就是连续多次 使用三角形 法则。

比如：21A A +32A A +43A A +54A A +...+n 1-n A A =n 1A A 。

5、向量加法的平行四边形法则：已知a 与b 不平行 ，让a 与b 共起点 ，以这两个向量的邻边 作平行四边 形，则对角线向量 就是和向量a +b 。

6、向量减法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，让b 与a共起点 ，则差向量a -b 以 减向量b 的终点 为起点，指向被减向量a 的终点 。

7、向量的加法满足①交换律：a +b =b +a ；②结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ）。

8、减去一个向量，等于加上 这个向量的相反向量 。

a -b =a +（-b ）。

9、实数与向量的乘法满足下列运算律：①λ(μa ) = (λμ)a ；②(λ+μ)a = λa +μa ；③λ(a +b ) = λa +λb 。

10、0a 表示与a 同方向 的 单位 向量，a = a 0a ，0a = 0a a。

2 11、向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算。

12、三角形ABC 中，若AD 为中线，则AD =21AB +21AC 。

若动点P 在AD 所在直线上，则AP = λ（AB +AC ）。

向量的数量积与向量积向量是线性代数中的重要概念，在各个学科领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将讨论向量的数量积和向量积的概念、性质以及应用。

一、向量的数量积（内积）向量的数量积也被称为内积，可以用于计算向量之间的夹角、向量的投影以及向量的长度等。

设有向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1,b2, ..., bn)，则向量a和向量b的数量积（内积）为：a ·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：a · b = b · a2. 结合律：(ka) · b = k(a · b) = a · (kb)，其中k为任意实数3. 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c我们来看一个应用向量数量积的例子：计算向量的夹角。

设有向量a和向量b，它们的数量积为a · b，向量a的长度为|a|，向量b的长度为|b|，则向量a和向量b的夹角θ可以通过以下公式得到：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)其中，cosθ表示夹角θ的余弦值。

通过这个公式，我们可以方便地计算出向量之间的夹角。

二、向量的向量积（外积）向量的向量积也被称为外积，主要用于计算向量之间的垂直关系、面积及体积等。

设有向量a = (a1, a2, a3)和向量b = (b1, b2, b3)，则向量a和向量b的向量积（外积）为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)向量的向量积具有以下性质：1. 反交换律：a × b = -b × a2. 结合律：(ka) × b = k(a × b) = a × (kb)，其中k为任意实数3. 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c我们来看一个应用向量向量积的例子：计算平面上三角形的面积。

向量数量积与角度的关系
对于任意两个非零向量$vec{a}$和$vec{b}$，有$cos{langlevec{a}, vec{b}rangle} = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$。
证明
向量数量积的坐标表示的证明
利用向量的坐标表示和点积的定义，通过代数运算 证明。
向量数量积与模的关系的证明
利用向量的模的定义和点积的性质，通过代数运算 证明。
向量数量积与角度的关系的证明
利用向量的点积的性质和三角函数的性质，通过代 数运算证明。
04
向量数量积的应用
在物理中的应用
描述速度和加速度
向量数量积可以用来描述物理中 的速度和加速度，通过计算速度 和加速度的向量数量积，可以得 出物体运动的方向和速度变化的 快慢。
02
向量数量积的计算
计算公式
定义
两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积定义为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
几何意义
向量长度和夹角
向量的数量积可以用来计算向量的长度和夹角，从而确定两个向量 的相似性和关系。
向量投影
在数学中，向量的投影是一个重要的概念，可以通过向量的数量积 来计算，从而确定一个向量在另一个向量上的投影。
在其他领域的应用
计算机图形学
在计算机图形学中，向量的数量积可以用来描述二维图形和三维模型的方向和旋转，从而实现图形的旋转、缩 放和平移等变换。
定理
向量数量积的坐标表示