2012—2013学年第二学期《线性代数》期末考试卷(A卷)

队别__________
教学班次___________ 学号___________
姓名____________
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
武汉大学数学与统计学院 2012‐2013 学年第二学期《线性代数》期末考试试卷
1．设有三个不共面的向量α = (a1, a2 , a3 ) , β = (b1,b2 ,b3 ) ,γ = (c1, c2 , c3 )
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
姓名____________
教学班次___________ 学号___________
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
x4 x4
= =
1 2
⎪⎩ x1 + x2 + 2x3 + x4 = 3
2 1 41
12．计算 D = 3 −1 2 1
1 2 32 5 0 62
队别__________
评卷人
试卷 第 1 页 （共 2 页）
得分
二、证明（1 小题，共 6 分）
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
证明：存在唯一一个向量 x ，使 x ⋅α = 1, x ⋅ β = 2, x ⋅γ = 3.
试卷 第 2 页 （共 2 页）
2⎞

2012 至 2013 学年第二学期 试题答案及评分标准课程名称： 线性代数 （B ）卷 考试形式：（ 闭 卷 ）年级： 2011 专业： ； 层次：（本）一. 选择题(每题4分,共20分)1.(A);2. (D) ;3.（B ）；4.（A ）5. （A ）二. 填空题(每题4分,共20分)1.1≠x 且2≠y ；2. 3；3. 0； (4) 12-； (5)14k k =-=或。

三、综合题1．解：11213141112131411234143111321432-+++=-+-=-M M M M A A A A ………………(2分)1234066501020666--………………………………………………………………(6分)6656651021026666001--=--= ……………………………………(8分)2.解 由2AB =A +B ，得()2-=A E B A …………………………（2分）101211010012-=-=-≠ A E 2∴-A E 可逆()12-=-B A E A ………………………（5分）()1013012110110012014⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭ A E A 213210*********1001223r r r r ⎛⎫- ⎪---- ⎪+ ⎪-⎝⎭100522010*********--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭即 522432223--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭B …………………………（10分）3.解：1121112112101423110464a a b b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A …………………………（2分） 1121014202220a a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪++⎝⎭…………………………（4分） 由于()2R =A ，所以1,2a b =-=-。

…………………………（6分）4.解 1231110(,,,)1113111λλλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭αααβ r 1110300(3)(1)(3)λλλλλλλλλ+⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭………………………（.6分） （1）当0λ≠且3λ≠-时，()123123,,(,,,)3R R ==ααααααβ，β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一； …………………………….（8分）（2）当3λ=-时，()123123,,(,,,)2R R ==ααααααβ，β可由123,,ααα线性表示且表达式不唯一； …………………………….（10分）（3）当0λ=时，()123,,1R =ααα，123(,,,)2R =αααβ，β不能由123,,ααα线性表示且表达式不唯一 …………………………….. （12分）5.解: 记()12345,,,,=αααααA ，对矩阵A 施行初等行变换12102032210003100000r --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ， ………………………………（4分） （1）()R A 3= ……………………（6分）（2）A 的列向量组的最大无关组含3个向量，124,,ααα就是A 的列向量组的一个最大线性无关组。

2012级线性代数考试试题（A 卷）2012－2013学年第2学期5小题，每小题4分，总计20分）1、设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（ ）. (A) ACB E =； (B) CBA E =； （C ）BAC E =； （D ）BCA E =.2、设A 、B 均是3阶矩阵，且2, 2A B ==-，则112A B *-=（ ） （A ）2-； （B ）1-； （C ）21-； （D ）41-. 3、设向量组321,,ααα线性无关，向量1β能由321,,ααα线性表出，向量2β不能由321,,ααα线性表出，则必有（ ）（A ）121,,βαα线性相关； （B ）121,,βαα线性无关； （C ）221,,βαα线性相关； （D ）221,,βαα线性无关. 4、设线性方程组(Ⅰ) b Ax =,其导出组(Ⅱ) 0=Ax ,则必有( ).（A ）(Ⅰ)有无穷多解,则(Ⅱ)仅有零解； （B ）(Ⅰ)仅有唯一解,则(Ⅱ)仅有零解； （C ）若(Ⅱ)有非零解,则(Ⅰ)有无穷多解；（D ）若(Ⅱ)仅有零解,则(Ⅰ)有唯一解.5、设1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，4000000000000000B ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A 与B （ ）.(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似；(C) 不合同但相似； (D) 不合同且不相似. 5小题，每小题4分，总计20分）1. 已知414243123452221127, 312451112243150D A A A ==++=则 ，=+4544A A ;2. 已知A 21401134⎛⎫= ⎪-⎝⎭，131012131402B ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，则()TAB =___________; 3. 设01000010********A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为______; 4. 设三阶方阵A 的特征值分别为1, 2, 3-，则2A A E +-= ____; 5. 已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++为正定的，则参数t 的取值范围是 .三、（12分）设423110,123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭且2,AX A X =+ 求X ．四、（10分）求向量组()T3,0,1,21-=α，()T4,2,3,12-=α，()T 1,2,0,33-=α，()T 6,4,2,24-=α的秩及一个极大无关组，并将其余的向量（如果有的话）.用此极大无关组线性表出.五、（12分）求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++=++++2275532155432722543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解.六、（14分）设211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，判断A 能否对角化，若能，求可逆阵P ，使1P AP -为对角阵，并求20A .12分，其中（1）题5分，（2）题7分)（1）设B A ,是n 阶方阵，且B 可逆，满足O B AB A =++22，证明：A 和AB +都是可逆矩阵； (5分)（2）设向量组,,αβγ线性无关,证明: 向量组,,αββγγα+++也线性无关. (7分)2012~2013学年第2学期期末考试《线性代数》试卷（A ）标准答案和评分标准一、选 择 题（5二、填 空 题（5×4分）1. 9, 18-;2. 6207586⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭; 3. 1 ; 4. 11 ; 5. 22<<-t三、解：由2AX A X =+，得(2)A E X A -=…………………………………1分由于2232110,210,121A E A E ⎛⎫ ⎪-=--=-≠ ⎪ ⎪-⎝⎭所以2A E -可逆；于是1(2)X A E A -=-………………………………………………………4分()132231001210012110010110010121001223100~r r A E E ↔-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因为211123132(1)226121001121001101021~011011~011011~011011065102065102001164r r r r r r r r r+⨯-++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭13233(1)100143~010*********r r r r r ++⨯---⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭，1143(2)153164A E ---⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭…………………8分 1143423386(2)1531102961641232129X A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 ………12分四、解：以每个向量作为列构造一个矩阵，对该矩阵施以初等行变换.设()432,,,αααα=A 2132130202243416-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦……………………..…………2分 1302011200110000⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦行变换－－⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−→−0000110010101001行变换…………………………4分 故()3=A r ……………………………………………………………………6分321,ααα，为向量组4321,αα,α,α的一个极大无关组…………………………………8分3214αααα++=……………………………………………………………10分五、解：将该方程组表示为：Ax b =，其中112121234523557A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12345x x x x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，71522b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3132112127112127123451512345152355722000000r r r r A A b --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112112127101211011338011338000000000000r r r r -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………4分 得同解方程组⎩⎨⎧=+++-=--+8331254325431x x x x x x x x移项得 ⎩⎨⎧+---=-++-=8331254325431x x x x x x x x …………………………………………6分取3450x x x ===，得线性方程组的一个特解：0(18000)T η=-……………………………………………………8分在对应的齐次线性方程组134********x x x x x x x x =-++⎧⎨=---⎩中，取345100x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭得基础解系为：111100ξ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，223010ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，313001ξ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………………………10分于是所求的通解为：1231234512111338100001000010x x x x k k k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（123,,k k k ∈ℜ）. ………………………………………………………………………………………12分六、解：令()()2211121410112A E λλλλλλ--=-=---=-得的特征值为14λ=，231λλ==………………………………..…….3分1 对应14λ=，解方程组()40A E x -=由2111014121011112000r A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系 1111p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ………………….………………………………5分2 对应132==λλ，解方程组()0=-X E A由111111111000111000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得基础解系 2110p -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ……………………………………7分因此，三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量，所以它可相似对角化…………..8分.令()123111,,110101P p p p --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1411P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是1411A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 20201411A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………10分计算得 111111213112P -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭………………………………………………12分所以2020202020120202020202044241411141424131414142A P P -⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪==-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭…………….……14分七、(1) 证明: 由O B AB A =++22,得2)(B B A A -=+, ………………1分 两边取行列式,由方阵行列式性质及B 可逆,有()012≠-=+B B A A n, ………………………………………3分从而 0,0≠+≠B A A 且.故 B A A +和都是可逆矩阵 …………………………………… 5分（2）证明：方法一（定义法）设 123()()()0k k k αββγγα+++++=，……………………………1分 必有 131232()()()0k k k k k k αβγ+++++= （*） …………… 2分 已知,,αβγ线性无关，所以（*）式的系数全为零，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.0,0,0232131k k k k k k ……………4分其系数行列式02110011101≠=， ……………5分 所以上述关于321,,k k k 的方程组只有零解，即0321===k k k ， ………6分故向量组,,αββγγα+++也线性无关 …………………………………7分方法二（利用矩阵的秩）因为()()101,,,,110011αββγγααβγ⎛⎫ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭…………2分由于10111020011=≠，故101110011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，………………………………4分所以()(),,,,3R R αββγγααβγ+++==，…………………………6分 故,,αββγγα+++线性无关………………………………………7分编辑：张永锋2013/6/9。

河南理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《线性代数》试卷（A 卷）１．设()()()，，，，，，，，t 3,1321111321===βββ若321βββ,,线性相关，则t =．２．矩阵()nn ija ⨯=A 的全体特征值的和等于 , 全体特征值的积等于．３．设A 为4阶方阵，2-=A ，则A 3-= ．４．()234321,,B ,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则=AB．５．设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120350002A ，则A 的逆矩阵1-A =．６．设3阶方阵A 按列分块为()321ααα,,A =，且Ad e t =5，又设()231215432ααααα,,B ++=，则B =．7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221xA ，x 为某常数，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则x = ． 8．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21ηη,是它的两个解向量．且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42232121ηη,该方程组的通解为．1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中成立的为（）．(A) det(AB ) = 0，则0A =或0B =； (B) det(AB ) = 0，则det A = 0或det B = 0； (C) AB = 0，则0A =或0B =； (D) AB ≠ 0，则det A ≠ 0或det B ≠ 0．2. 设n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，则( ).(A) 2-=n *A A ; (B) 1+=n *A A ; (C) 1-=n *AA ;(D) 2+=n *AA ．3. 已知A 、B 均为3阶方阵，且A 与B 相似，若A 的特征值为1，2，3，则()12-B 的特征值为（ ）(A) 2312,,; (B) 614121,,; (C) 321,,;(D) 3212,,．４. 向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有 ．(A)1β可由324,,βββ线性表示; (B)3β可由42ββ,线性表示 ;(C)2β可由43ββ,线性表示;(D)4β可由32ββ,线性表示 .三、计算题1．（7分）计算行列式211112111121=n D ．一、填空题,每小题4分二、选择题，每小题5分2．（7分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=121011332A ，求1-A ．3．（7分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A 的列向量组的一个最大线性无关组．4．（12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ,,（１）有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多个解？5．（15分）已知二次型()322221321434x x x x x ,x ,x f ++=，求一个正交变换Py x =，把二次型()321x ,x ,x f 化为标准型．。