2009-2010学年第二学期线性代数(A卷)考试

x 2+ y 2AA ⎩S S⎫ 安徽大学 2009--2010 高等数学 A(二)试题与答案一、填空题(2×5=10 分)1. 点(2,1,1) 到平面 x + y - z + 1 = 0⎛ 2. 极限 lim x 2 xy = 0. x →+∞x 2 + y 2 ⎪y →+∞⎝ ⎭ πsin x23. 交换积分次序⎰dx ⎰0 f (x , y )dy⎧ 2, - 1 < x < 04. 设 f (x ) 是周期为 2 的函数, 它在区间(-1,1] 上的定义为f (x ) = ⎨x 3 ,则 0 < x < 1f (x ) 的 Fourier 级数在x=1 5. 函数u=xyz 在点(1,1,1) 处沿方向(2,2,1) 的方向导数为二、选择题(2×5=10 分)6. 二元函数 f (x , y ) = 在点(0,0) 处 ( )A. 连续, 但偏导数不存在;B. 不连续; 且偏导数不存在;C. 不连续; 但偏导数存在;D. 连续, 且偏导数存在.7. 设第二类曲面积分 I 1 =⎰⎰ xyzdzdx , I 2 = ⎰⎰ xy 2 zdzdx ,其中 S 为 x 2 + y 2 + z 2= 1 的上半部分, 方向取上侧, 若S 1 为 S 在第一卦限部分, 且与 S 方向一致, 则( )A. I 1 = I 2 = 0 ;B. I 1 = 0, I 2 = 2⎰⎰Sxy 2 zdzdx ;C. I 1 = 2⎰⎰Sxyzdzdx , I 2 = 2⎰⎰S xy 2zdzdx D. I 1 = 2⎰⎰S xyzdzdx , I 2 = 08. 设Ω 为 R 3 中开区域，且Ω 内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于Ω 的曲面，函数 P,Q,R 在Ω 内连续可导，若曲线积分 ⎰LPdx + Qdy + Rdz 只依赖于曲线 L 的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是（ D ）A . 对Ω 内任意光滑闭曲线 C ，曲线积分 ⎰CPdx + Qdy + Rdz = 0 ；B . 存在Ω 上某个三元函数 u(x,y,z), 使得 du = Pdx + Qdy + Rdz ;∂P ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂RC . 等式 ∂y = ∂x , ∂x = ∂z , ∂z = ∂y在开区域Ω 内恒成立;1111A A yy 0 00 0 yy 0 0 0 0 yy 0 0 0 0 yy 0 0 0 0 解: 设 F (x , y , z ) = x 2 + y 2- z 则曲面 S 在点(1,1,2) 处的法向量为:( F x , F y , F z )(1,1,2) = (2x ,2 y ,-1)( 2,2,1) = (2,2,-1) 由题设可知平面∏通过法线L, 故:∂P ∂Q ∂RD . 等 式 ∂x + ∂y + ∂z= 0 在开区域Ω 内恒成立.9. 设函数 f (x , y ) 在开区域 D 内有二阶连续偏导数, 且 f x (x 0 , y 0 ) = f y (x 0 , y 0 ) =0. 则下列为 f (x , y ) 在点(x 0 , y 0 ) 处取极小值的充分条件的是( )A. f xx (x 0 , y 0 ) >0,B. f xx (x 0 , y 0 ) >0,C. f xx (x 0 , y 0 ) <0,D. f xx (x 0 , y 0 ) <0, f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f (x , y ) - f 2xy(x , y ) >0;f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) <0; f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) >0;f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) <0. 10. 设函数u = f (x , y , z ) 具有二阶连续偏导数, 则div grad f = ( )A .f xx + f yy + f zz ; B. f x + f y + f z ; C. ( f x , f y , f z );D. ( f xx , f yy , f zz ).三、计算题(10×3+12×2=54 分)11. 设平面∏ : x + ay - z + b = 0 通过曲面 z = x 2 + y 2在点(1,1,2)处的法线 L,求 a , b 的值.12. 计算第二类曲线积分⎰Lydx - xdyx 2 + y 2, 其中 L 为正方形边界 x + y = 1 ,取顺时针方向.⎰⎰ 222n =013. 计算第一类曲面积分zdS ,其中∑为圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 (R > 0) 介于平∑x + y + z面z = 0 与 z= h (h>0) 之间的部分.∞(-1)n14. 将函数 f (x ) = arctan x 展开成 x 的幂级数, 并求级数∑ 2n + 1 的和.15. 设函数 f (u ) 具有二阶连续导数, 且 z = f (e xsin y ) ,解法(一): 设x=Rcosu, y=Rsinu, z=v, 则∑对应于 D: 0 ≤ u ≤ 2π ,0 ≤ v ≤ h .v v v u u u 2x = -R sin u , y = R cos u , z = 0, x = 0, y = 0, z = 1故E = R ,F = 0,G = 1,∂ 2 z ∂ 2 z (1) 求 ∂x 2 , ∂y2 ;(2) 若函数 z = f (e xsin y ) 满足方程 ∂ 2 z ∂x 2 + ∂ 2 z ∂y 2= e 2 xz, 求函数 f (u )四、应用题(10×1+6×1=16 分)16. 将一根长为l 的铁丝分割成两段, 一段围成一个圆, 另一段围成一个长方形. 求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法.17. 已知一条非均匀金属线 L 放置于平面 Oxy 上, 刚好为抛物线 y = x 2对应于0 ≤ x ≤ 1 的那一段, 且它在点(x,y) 处的线密度 ρ (x , y ) = x ,求该金属丝的质量.五、证明题(6×1+4×1=10 分)18. 证明级数∑(-1)n n =1lnn + 1 n 条件收敛. ∞ 解: 将(1) 中结果代入方程, 得 f ' (u )e2 x= e 2 x z 即: f ' (u ) - f (u ) = 0 这是一个二阶常 2 1特征根为λ = 1, λ = -1 2系数线性齐次微分方程, 相应的特征方程为λ - 1 = 0 1 22 1 故 f (u ) = C e u + C e -u,其中C , C 为任意常数。

系别_______ ____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 理 工 科 专业 线性代数 课2009——2010学年度第二学期期末考试试卷(A 卷)填空题（每题2分,共20分）1．四阶行列式中的一项34124321a a a a 应取的符号是_______。

2．排列138492576的逆序数是_____________。

3. 设A 为3阶方阵，若3A =，则3________A -=。

4．设12113215631A λ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且A 的秩等于2，则λ=________。

5．设m n ⨯矩阵A 的秩()R A r =，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集的秩S R =________。

6．三阶方阵A 的特征值为6,1,9-，则A 的行列式等于____________。

7．矩阵方程组AX B =有解的充分必要条件是_________________。

8．设向量(1,2,1)T a =-，则||||a =________。

9．若n 阶矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得__________________成立。

10．矩阵500031021A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。

判断题（每题2分,共20分）（ ） 1、如果行列式等于零，则行列式中必有两行完全相同。

（ ） 2．若,A B 为同阶可逆矩阵，则111()A B A B ---+=+。

（ ） 3．设A 的秩等于r ，则A 的r 阶子式全不等于零。

（ ） 4．A 为m n ⨯矩阵，若线性方程组Ax b =有无穷多解，则0Ax =有非零解。

（ ） 5．若向量组中有一部分线性无关，则该向量组必线性无关。

（ ） 6．设A 为m n ⨯矩阵，若0Ax =只有零解，则A 的列向量组线性无关。

） 。
(A) 0 (B) 6 (C) -6 (D) 4 3、已知 α 1 , α 2 , α 3 是非齐次线性方程组 Ax = b 的三个不同的解，那么下列向量 2 α1 − α 2 , α1 + α 2 − 2α 3 , (α 2 − α1 ), α1 − 3α 2 + 2α 3 3 中是导出组 Ax = 0 的解共有（ ） 。 (A) 4 个； (B) 3 个； (C) 2 个； (D) 1 个 1 −1 1 4、设 A = 2 4 a 的特征值为 λ1 = 6, λ2 = λ3 = 2 。若 A 相似于对角矩阵，则 a =（ −3 −3 5 (A) 2 (B) -2 (C) 4 (D) -4
p1 = (1, 0, 0)T , p2 = (1,1, 0)T , p3 = (1,1,1)T
求矩阵 A 及 A100 ；
2 2 （ 2、 15 分） 已知实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x2 + x3 + 2ax1 x2 + 2 x1 x3 经正交变换 X = PY 2 2 变为标准形 f = y2 + 2 y3 ，求参数 a 和正交矩阵 P 。
2 2 5、如果实二次型 f = x12 + 2 x2 + tx3 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 4 x2 x3 为正定的,则 k >
二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 单项选择题（ 1、设矩阵 Am×n 的秩为 r ，则非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分条件是（ (A) m = n ； (B) r = m ； (C) r = n ； (D) m < n ； 1 0 2011 2010 0 1 1 2 3 1 1 ） 。 2、设 A = 0 1 ，则行列式 A ＝（ 1 0 4 5 6 1 1 0 1

a0b6c6d43已知321???是非齐次线性方程组axb?的三个不同的解那么下列向量121232112322323????????????????中是导出组0ax?的解共有
武汉理工大学考试试题纸（A 卷） A
课程名称 线 性 代 数 题号 题分 一 10 二 10 三 24 四 21 五 25 专业班级 全校 09 级本科 六 10 七 八 九 十 总分 100
） 。
(A) 0 (B) 6 (C) -6 (D) 4 3、已知 α 1 , α 2 , α 3 是非齐次线性方程组 Ax = b 的三个不同的解，那么下列向量 2 α1 − α 2 , α1 + α 2 − 2α 3 , (α 2 − α1 ), α1 − 3α 2 + 2α 3 3 中是导出组 Ax = 0 的解共有（ ） 。 (A) 4 个； (B) 3 个； (C) 2 个； (D) 1 个 1 −1 1 4、设 A = 2 4 a 的特征值为 λ1 = 6, λ2 = λ3 = 2 。若 A 相似于对角矩阵，则 a =（ −3 −3 5 (A) 2 (B) -2 (C) 4 (D) -4
p1 = (1, 0, 0)T , p2 = (1,1, 0)T , p3 = (1,1,1)T
求矩阵 A 及 A100 ；
2 2 （ 2、 15 分） 已知实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x2 + x3 + 2ax1 x2 + 2 x1 x3 经正交变换 X = PY 2 2 变为标准形 f = y2 + 2 y3 ，求参数 a 和正交矩阵 P 。
2 2 5、如果实二次型 f = x12 + 2 x2 + tx3 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 4 x2 x3 为正定的,则 k >