有限元资料讲解

材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。

有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。

本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。

1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。

它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。

1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。

1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。

根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。

1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。

1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。

2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。

它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。

2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。

这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。

有限元分析计算机辅助工程（CAE）作为一门新兴的学科已经逐渐的走下神坛，成为了各大企业中设计新产品过程中不可缺少的一环。

传统的CAE 技术是指工程设计中的分析计算与分析仿真，具体包括工程数值分析、结构与过程优化设计、强度与寿命评估、运动/动力学仿真，验证未来工程/产品的可用性与可靠性。

如今，随着企业信息化技术的不断发展，CAE 软件与CAD/CAM/CAPP/PDM/ERP 一起，已经成为支持工程行业和制造企业信息化的主导技术，在提高工程/产品的设计质量，降低研究开发成本，缩短开发周期方面都发挥了重要作用。

而CAE 技术出现则是要归功于有限元分析的诞生，在有限元法诞生的早期，几乎所有的CAE 软件都是使用有限元法来进行计算求解。

因此，可以说有限元法的发展也间接反映了CAE 软件在这半个世纪的发展历史。

1 有限元法的诞生每一项新技术的推出都是由于时代的迫切需要，而新技术的出现后也需要经历历史的重重考验。

在上个世纪40 年代，由于航空事业的快速发展，对飞机内部结构设计提出了越来越高的要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算。

正是在这一背景下，有限元分析的方法逐渐的发展起来。

早期的一些成功的实验求解方法与专题论文，完全或部分的内容对有限元技术的产生做出的贡献，首先在应用数学界第一篇有限元论文是1943 年Courant R 发表的《Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration 》一文，文中描述了他使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解，由于当时计算机尚未出现，这篇论文并没有引起应有的注意。

1956 年，M.J.Turner （波音公司工程师），R.W.Clough （土木工程教授），H.C.Martin （航空工程教授）及L.J.Topp （波音公司工程师）等四位共同在航空科技期刊上发表一篇采用有限元技术计算飞机机翼的强?的论文，名为《Stiffnessand Deflection Analysis of Complex Structures 》，文中把这种解法称为刚性法（Stiffness），一般认为这是工程学界上有限元法的开端。

有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。

可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。

4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。

即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。

称前者为母单元，后者为子单元。

还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。

如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。

5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。

每个部分称为一个单元，连接点称为结点。

对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。

这种单元称为常应变三角形单元。

常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。

1. 什么是等参数单元？（教材）坐标变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数，这种变换方法是等参数变换，这种变换方式能满足坐标变换的相容性，采用等参数变换的单元称之为等参数单元。

2. 等参数单元的特点、基本条件、划分单元应注意的问题（教材习题）3.应用等参数单元时为什么要采用高斯积分，高斯积分点的数目如何确定？（教材习题）4.薄板弯曲问题的基本假设是什么？（其他参考书）（1）板弯曲钱垂直于中面的法线，在板弯曲后保持为直线，并垂直于弯曲后的中面。

（2）板面各水平层之间相互挤压（3）薄板受垂直于中面的载荷时可以为中间层各点设有平行于板面的位移.5.位移插值必须满足的三个条件：（教材）（1）位移插值函数应能满足单元的刚体位移（2）位移插值函数应能反映常量应变——常应变准则（3）位移插值函数应能保证单元内及相邻单元间位移的连续性——变形协调准则6.什么是轴对称问题？（其他参考书）：轴对称物体的形变及应力分布不一定是轴对称的，只有当约束和载荷都对称于旋转轴时，轴对称物体的变形及应力分布才是轴对称的。

我们把满足上述条件的系统应力分析问题称为轴对称问题。

（教材）：如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外力，都是绕某一轴对称的，则弹性体的应力、应变和位移也就对称于这一轴，这种问题称为轴对称问题。

7.刚度矩阵性质(总刚)：（1）对称性，关于正对角线对称（2）稀疏性，矩阵中有大量的零元素（3）带状分布，矩阵中非零元素在主对角线两侧呈带状分布 10.形函数的性质。

(教材) （1）单元内任一点的三个形函数之和恒等于1，即Ni+Nj+Nm=1. (2)在节点i:Ni=1,Nj=0,Nm=0 在节点j:Ni=0,Nj=1,Nm=0 在节点 m:Ni=0,Nj=0,Nm=1 11. 有限元法的特点（其他参考书）（1）概念清楚，容易理解（2）适应性强，应用范围广。

（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以充分利用数字计算机的优势。

有限元基础讲解
有限元分析是一种工程数值分析方法，用于解决复杂结构的力学问题。

它将结构划分为有限数量的小单元，通过对这些小单元进行数值计算，得到整个结构的力学行为。

有限元分析的基本步骤包括：
1. 离散化：将结构划分为有限数量的小单元，如三角形、四边形、六面体等。

每个小单元具有一些自由度，用于描述该单元的位移、应力等信息。

2. 建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，计算每个小单元的刚度矩阵。

刚度矩阵描述了小单元受力和位移之间的关系。

3. 组装全局刚度矩阵：将所有小单元的刚度矩阵组装成整个结构的全局刚度矩阵。

这个过程涉及到将小单元的自由度与整个结构的自由度进行匹配。

4. 施加边界条件：确定结构的边界条件，如固支、受力等。

将这些边界条件转化为对应的约束条件，将其应用于全局刚度矩阵中。

5. 求解方程：将约束条件应用于全局刚度矩阵，得到未知位移的方程。

通过求解这些方程，可以得到结构的位移、应力等信息。

6. 后处理：根据求解结果，进行后处理分析。

可以计算结构的应力、变形、位移等，并进行可视化展示。

有限元分析的优点包括可以处理复杂的几何形状和边界条件，具有较高的计算精度和灵活性。

但也存在一些限制，如需要对结构进行合理的离散化、需要大量的计算资源等。

有限元基本原理与概念有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续体力学中的边界值问题。

它是通过将连续体划分为有限数量的离散单元，然后在每个单元内进行力学行为的近似计算来实现的。

有限元基本原理和概念是进行有限元分析的关键。

有限元方法的基本原理包括以下几个方面：1.连续体离散化：连续体被分割为许多有限数量的小单元，例如三角形或四边形，这些小单元被称为有限元。

离散化的目的是将大问题转化为小问题，简化求解过程。

2.描述形函数：在每个有限元内，通过选择适当的形函数来描述位移、应力和应变之间的关系。

它们通常是基于其中一种插值函数，用于近似描述连续体内的位移场。

3.线性方程系统：通过应力和位移之间的平衡关系，可以得到与每个有限元相关的线性方程系统。

该方程系统可以通过组装所有单元的贡献来得到，其中每个单元内的节点位移被认为是未知数。

4.边界条件：为了解决线性方程系统，必须定义适当的边界条件。

这些条件通常包括位移或力的给定值，并且用于将无法由方程系统唯一解决的自由度限制为已知值。

5.求解方程系统：通过解决线性方程系统，可以得到每个节点的位移。

这可以使用各种求解线性方程系统的方法，如直接法（例如高斯消元法）或迭代法（例如共轭梯度法）来实现。

有限元方法的基本概念包括以下几个方面：1.单元：连续体被划分为有限数量的单元，在每个单元内进行近似计算。

常见的单元类型包括一维线元、二维三角形和四边形元，以及三维四面体和六面体元。

2.节点：单元的连接点被称为节点，每个节点在有限元分析中是一个自由度。

节点的数量与单元的选择密切相关，节点的位置和数量会影响结果的精确度。

3.局部坐标系：为了描述单元内的位移和应力，通常引入局部坐标系。

在局部坐标系中，单元的尺寸和形状可以更容易地进行描述和计算。

4.材料特性：有限元分析中需要定义材料的特性参数，例如弹性模量、泊松比、屈服强度等。

这些参数用于描述材料的力学行为和应力-应变关系。

5.后处理：通过有限元分析所得到的结果通常以节点或单元的形式给出，这些结果还需要进行后处理以得到更有意义的结果，如应变、应力分布或变形情况。

通俗易懂的有限元基础原理
有限元分析是一种数值计算方法，用于解决结构力学和其他工程领域的问题。

以下是通俗易懂的有限元基础原理解释：
1. 分割结构：有限元分析中的第一步是将要分析的结构分割成许多小的、简单的部分，称为有限元。

类似于拼图，每个有限元代表结构中的一小部分。

2. 建立本构关系：针对每个有限元，需要建立材料的本构关系，即材料的应力-应变关系。

这是通过材料力学性质的实验测试或理论公式来确定的。

3. 建立单元方程：对于每个有限元，根据其几何形状和材料本构关系建立方程。

这些方程描述了有限元内部的应力和变形之间的关系。

4. 组装全局方程：将所有有限元的方程组装在一起，形成整个结构的全局方程。

这些方程联结了各个有限元之间的边界条件和相互作用。

5. 求解方程：通过数值解法，例如迭代方法或直接求解方法，求解全局方程。

这个过程会得到结构的应力、应变分布以及其他感兴趣的结果。

6. 分析结果：最后，分析人员可以根据求解结果，评估结构的性能，例如应力、变形、位移、振动或热分布等。

这些结果可以帮助工程师优化结构设计、评估结构安全性、指导修复或改进结构性能。

总体来说，有限元分析将大型、复杂的结构问题简化为许多小的、简单的部分，通过数值方法求解其力学行为。

这种方法广泛应用于工程领域，以实现更准确、高效的结构设计和分析。