创新设计(全国通用)高考数学二轮复习 专题七 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程训练 文

第1讲 坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析](1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.[例1] (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A(4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. [解] (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. [解题方略]1.直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可. (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.[跟踪训练](2019·安徽省考试试题)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积.解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，ρ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ρ2，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×()1＋22×sin π4＝1＋324.[例2] (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值. [解] (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π).C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7. [解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：①t ·1t＝1；②⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1.[跟踪训练](2019·南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程；(2)设点M (2，1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值.解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α得普通方程(x －4)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－6ρsin θ＋21＝0.(2)设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)代入(x －4)2＋(y －3)2＝4，得t 2－()3＋1t ＋1＝0，所以t 1t 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12（2t ），y ＝1＋32（2t ），所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4.[例3] (2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.[解] (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1).(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫841，－341.所以|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫841－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－44412＝5541.[解题方略]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解. (2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.[跟踪训练]1.(2019·东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcosθ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q 两点，求|AP |·|AQ |的值.解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos30°，y ＝1＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数).设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ·3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0).(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t 2＋t －3＝0，Δ＝13＞0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2.(2019·贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42消去t 得y ＝x ＋42， 由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝2cos θ－2sin θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，即C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22为圆心，1为半径的圆，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5＞1，所以直线l 与曲线C 相离.(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数)，则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又由θ∈R 可得－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，则－2≤x ＋y ≤2，所以x ＋y 的取值范围为[－2，2]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求半圆C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标.解：(1)半圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，0≤t ≤π).(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6， 即(2＋3，1).2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标.解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数，α为l 的倾斜角)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋π3，θ＝β－π3(ρ∈R )与曲线E 分别交于不同于极点O 的三点A ，B ，C .(1)若π3＜β＜2π3，求证：|OB |＋|OC |＝|OA |；(2)当β＝5π6时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值.解：(1)证明：依题意，|OA |＝|4sin β|，|OB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3，|OC |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， ∵π3＜β＜2π3， ∴|OB |＋|OC |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝4sin β＝|OA |.(2)当β＝5π6时，直线θ＝β＋π3与曲线E 的交点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线θ＝β－π3与曲线E 的交点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，从而，B ，C 两点的直角坐标分别为B (3，1)，C (0，4)， ∴直线l 的方程为y ＝－3x ＋4， ∴y 0＝1，α＝2π3.4.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上.(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积.解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6，则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2·sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.5.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值. 解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M (－2，－4)，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数).因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，所以ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .(2)把直线的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t 1，t 2为方程t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0的两根，则t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线参数方程的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，故α＝π4或α＝3π4，又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α＞0，所以α＝π4.6.(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋2(t是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)过直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 解：(1)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2－x ＋y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12.(2)设l 上任意一点P (t ，t ＋2)，过P 向圆C 引切线，切点为Q ，连接PC ，CQ ， ∵圆C 的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径r ＝22，∴|PQ |＝|PC |2－|CQ |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2（t ＋1）2＋4≥2， 即切线长的最小值为2.7.(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0＜r ＜2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围. 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)＞0，结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)＞0结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1＞0，t 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 8.(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)设曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C 3，M (x ，y )是曲线C 3上任意一点，求点M 到曲线C 1的距离的最大值.解：(1)根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t 消参可得曲线C 1的普通方程为x －2y －5＝0，∵ρ2＝41＋3sin 2θ，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入可得：x 2＋4y 2＝4.故曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.(2)曲线C 2：x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C 3的方程为x ′216＋y ′2＝1，∴曲线C 3的方程为x 216＋y 2＝1.设M (4cos α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得 点M 到曲线C 1的距离d ＝|4cos α－2sin α－5|12＋（－2）2＝|2sin α－4cos α＋5|5＝|25sin （α－φ）＋5|5≤25＋55＝2＋5(其中tan φ＝2)，∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2＋ 5.。

第1节 坐标系与参数方程第1课时 坐标系最新考纲 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．知 识 梳 理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ,自点O 引一条射线Ox ,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.点O 称为极点,射线Ox 称为极轴.平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径ρ＝0,极角θ可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点,它的直角坐标为(x ,y ),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面的关系式成立:⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)， 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程[微点提醒] 关于极坐标系1.极坐标系的四要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系,约定极点的极坐标是极径ρ＝0,极角可取任意角.3.极坐标与直角坐标的重要区别:多值性.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1,－3),则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )【试题解析】(1)一般认为ρ≥0,当θ∈[0,2π)时,平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系;(4)极坐标θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线． 【参考答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(选修4－4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ,0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ,0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ,0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ,0≤θ≤π4 【试题解析】∵y ＝1－x (0≤x ≤1), ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1); ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2. 【参考答案】A3.(选修4－4P15T4改编)在极坐标系中,圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1,0)D.(1,π)【试题解析】法一 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ,化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ,即x 2＋(y ＋1)2＝1,圆心坐标为(0,－1),其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2,知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2,故选B.【参考答案】B4.(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ,则曲线C 的直角坐标方程为________.【试题解析】由ρ＝2sin θ,得ρ2＝2ρsin θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0,即x 2＋(y －1)2＝1. 【参考答案】x 2＋(y －1)2＝15.(2014·广东卷)在极坐标系中,曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.【试题解析】将2ρcos 2 θ＝sin θ两边同乘以ρ,得2(ρcos θ)2＝ρsin θ,化为直角坐标方程为2x 2＝y ①,C 2:ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＝1②,联立①②可解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1,2)． 【参考答案】(1,2)6.(2014·陕西卷)在极坐标系中,点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________.【试题解析】将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为(3,1)．极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1转化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0,则点(3,1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|1＋（－3）2＝1.【参考答案】1考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换易错警示【例1】 在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0;(2)x 2＋y 2＝1.解伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0,则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0,所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0,为一条直线. (2)若x 2＋y 2＝1,则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1,则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1,为椭圆. 【规律方法】伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ:⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x ),得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ,整理之后得到y ′＝h (x ′),即为所求变换之后的方程．易错警示 应用伸缩变换时,要分清变换前的点坐标(x ,y )与变换后的点坐标(x ′,y ′)． 【训练1】 在同一坐标系中,求将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换公式.解 将曲线y ＝12sin 3x ①经过伸缩变换变为y ＝sin x ,即y ′＝sin x ′②, 设伸缩变换公式是⎩⎨⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ>0,μ>0),把伸缩变换关系式代入②式得:μy ＝sin λx 与①式的系数对应相等得到⎩⎨⎧μ＝2，λ＝3，所以,变换公式为⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .考点二 极坐标与直角坐标的互化【例2】 (2019·德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点,极轴为x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数),直线l 过点(－1,0),且斜率为12,射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程;(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O ,P ,与直线l 的交点为Q ,则线段PQ 的长. 解 (1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数),∴曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2,将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0, 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵直线l 过点(－1,0),且斜率为12,∴直线l 的方程为y ＝12(x ＋1),∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0. (2)当θ＝3π4时,|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22,|OQ |＝12×22＋22＝23, 故线段PQ 的长为22－23＝523.【规律方法】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式;x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,ρ2＝x 2＋y 2,tan θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意ρ,θ的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等技巧.【训练2】 (1)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4,直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ,且点A 在直线上,求a 的值及直线的直角坐标方程.(2)把曲线C 1:x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程. 解 (1)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上, ∴a ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝2,所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2, 从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0,得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0,所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 考点三 曲线极坐标方程的应用【例3－1】 (2019·太原二模)点P 是曲线C 1:(x －2)2＋y 2＝4上的动点,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O 为中点,将点P 逆时针旋转90°得到点Q ,设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)射线θ＝π3(ρ>0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,定点M (2,0),求△MAB 的面积. 解 (1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ,θ),则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2,则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)M 到射线θ＝π3(ρ>0)的距离d ＝2sin π3＝3, |AB |＝ρB －ρA ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－cos π3＝2(3－1),所以S △MAB ＝12|AB |×d ＝12×2(3－1)×3＝3－ 3.【例3－2】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且|OM |·|OP |＝16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.解 (1)设点P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0). 由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α, 于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时,S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.【规律方法】求线段的长度有两种方法．方法一,先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后求线段的长度．方法二,直接在极坐标系下求解,设A (ρ1,θ1),B (ρ2,θ2),则|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ2－θ1）;如果直线过极点且与另一曲线相交,求交点之间的距离时,求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标,则|ρ1－ρ2|即为所求．【训练3】 (1)在极坐标系中,求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长.(2)(2019·衡阳二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,A ,B 为C 上两点,且OA ⊥OB ,设射线OA :θ＝α,其中0<α<π2. (ⅰ)求曲线C 的极坐标方程; (ⅱ)求|OA |·|OB |的最小值.解 (1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2,得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2,可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16,圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|22|2＝2,由圆中的弦长公式,得弦长 l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3. 故所求弦长为4 3.(2)(ⅰ)将曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)化为普通坐标方程为x 22＋y2＝1.因为x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ.(ⅱ)根据题意:射线OB 的极坐标方程为θ＝α＋π2或θ＝α－π2, 所以|OA |＝21＋sin 2 α,|OB |＝21＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2＝21＋cos 2 α,所以|OA |·|OB |＝21＋sin 2 α·21＋cos 2 α＝4(1＋sin 2α)(1＋cos 2 α)≥21＋sin 2 α＋1＋cos 2 α2＝43. 当且仅当sin 2 α＝cos 2 α,即α＝π4时,|OA |·|OB |取得最小值为43.[思维升华]1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程:对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ,ρsin θ＝y ,ρ2＝x 2＋y 2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以ρ等．2.直角坐标(x ,y )化为极坐标(ρ,θ)的步骤: (1)运用ρ＝x 2＋y 2,tan θ＝yx (x ≠0);(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)． [易错防范]1.确定极坐标方程,极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可． 2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的,但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定ρ≥0,0≤θ＜2π,使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点．3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点: (1)注意ρ,θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.基础巩固题组 (建议用时:60分钟)1.求双曲线C :x 2－y 264＝1经过φ:⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标.解 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′,y ′), 由上述可知,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1, 得x ′29－4y ′264＝1,化简得x ′29－y ′216＝1, 即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程,可见仍是双曲线,则焦点F 1(－5,0),F 2(5,0)为所求.2.(2018·武汉模拟)在极坐标系下,已知圆O :ρ＝cos θ＋sin θ和直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.解 (1)圆O :ρ＝cos θ＋sin θ,即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ,圆O 的直角坐标方程为:x 2＋y 2＝x ＋y ,即x 2＋y 2－x －y ＝0,直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22, 即ρsin θ－ρcos θ＝1,则直线l 的直角坐标方程为:y －x ＝1,即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 3.以直角坐标系中的原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ,Q ,若|OP |＝3|OQ |,求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2,ρsin θ＝y ,∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2,得ρ2＝(2＋ρsin θ)2, ∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R ),根据题意21－sin θ0＝3·21－sin(θ0＋π), 解得θ0＝π6或θ0＝5π6,直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2019·安阳二模)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :x ＋3y ＝53,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程;(2)射线OP :θ＝π6与圆C 的交点为O ,A ,与直线l 的交点为B ,求线段AB 的长.解 (1)因为x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,直线l :x ＋3y ＝53,所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝53,化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53,即为直线l 的极坐标方程. 由ρ＝4sin θ,得ρ2＝4ρsin θ,所以x 2＋y 2＝4y ,即x 2＋(y －2)2＝4,即为圆C 的直角坐标方程.(2)由题意得ρA ＝4sin π6＝2,ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5, 所以|AB |＝|ρA －ρB |＝3.5.(2019·福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数),直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程;(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ,B 两点,求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数),得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1,则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0,由于直线C 2过原点,且倾斜角为π3,故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0,设A ,B 对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ1＋ρ2＝23＋2,ρ1ρ2＝7,∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.6.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数),曲线C 2:x 2＋y 2－2y ＝0.以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l :θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1,C 2分别交于点A ,B (均异于原点O ).(1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)当0<α<π2时,求|OA |2＋|OB |2的取值范围.解 (1)∵⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 22＋y 2＝1,由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ; ∵x 2＋y 2－2y ＝0,∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)设A ,B 对应的极径分别为ρ1,ρ2,则由(1)得|OA |2＝ρ21＝21＋sin 2α,|OB |2＝ρ22＝4sin 2 α, ∴|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2 α＝21＋sin 2 α＋4(1＋sin 2α)－4, ∵0<α<π2,∴1<1＋sin 2α<2,∴6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9, ∴|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2,5).能力提升题组(建议用时:20分钟)7.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)过原点O 的直线l 1,l 2分别与曲线C 交于除原点外的A ,B 两点,若∠AOB ＝π3,求△AOB 的面积的最大值.解 (1)曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4,即x 2＋y 2－23x －2y ＝0,所以,曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0,即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (2)不妨设A (ρ1,θ),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π3,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 则ρ1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3,ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3, △AOB 的面积S ＝12|OA |·|OB |sin π3＝12ρ1ρ2sin π3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3 ＝23cos 2θ＋3≤3 3.所以,当θ＝0时,△AOB 的面积取最大值3 3.8.(2018·厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数);在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2 θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)若射线l :y ＝kx (x ≥0)与曲线C 1,C 2的交点分别为A ,B (A ,B 异于原点),当斜率k ∈(1,3]时,求|OA |·|OB |的取值范围.解 (1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2－2x ＋y 2＝0,将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.由ρcos 2 θ＝sin θ两边同时乘ρ,得ρ2cos 2θ＝ρsin θ,结合⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)设射线l :y ＝kx (x ≥0)的倾斜角为φ,则射线的极坐标方程为θ＝φ,且k ＝tan φ∈(1,3].联立⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝φ，得|OA |＝ρA ＝2cos φ,联立⎩⎨⎧ρcos 2 θ＝sin θ，θ＝φ，得|OB |＝ρB ＝sin φcos 2 φ, 所以|OA |·|OB |＝ρA ·ρB ＝2cos φ·sin φcos 2 φ＝2tan φ＝2k ∈(2,23],即|OA |·|OB |的取值范围是(2,23].。

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(2)求椭圆x42＋y2＝1
经过伸缩变换x′＝12x， y′＝y
后的曲线方程．
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选修4－4 第1节
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解：由x′＝21x， y′＝y
得到xy＝ ＝2y′x′. ， ①
将①代入x42＋y2＝1，得4x4′2＋y′2＝1，
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解：(1)C1 的普通方程为x22＋y2＝1， C1 的极坐标方程为 ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ－2＝0， C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ. (2)联立 θ＝α(ρ≥0)与 C1 的极坐标方程得|OA|2＝1＋2sin2α， 联立 θ＝α(ρ≥0)与 C2 的极坐标方程得|OB|2＝4sin2α， 则|OA|2＋|OB|2＝1＋2sin2α＋4sin2α ＝1＋2sin2α＋4(1＋sin2α)－4. 令 t＝1＋sin2α，
由x2′y′＝＝3xy， ，
得x＝x′3 ， y＝2y′，
代入曲线 C：x2－6y42 ＝1，得x′9 2－y1′62＝1， 即曲线 C′的方程为x92－1y62 ＝1， 因此曲线 C′的焦点 F1(－5,0)，F2(5,0)．
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选修4－4 第1节
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在极坐标系下，已知圆
O：ρ＝cosθ＋sinθ
和直线
l：ρsinθ－π4＝
2 2.
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；

34
典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂 直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
19
1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ＝4sin θ，曲线 C2：ρ ＝4cos θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π3(ρ∈R)，设 C3 与 C1 和 C2 的交点 分别为 M，N，求|MN|.
25
典例2 (2020·河南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的
参
数
方
程
为
x＝2cos α y＝ 3sin α
(α
为参数)，直线
l 的参数方程为
x＝1＋tcos α y＝tsin α
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程；
(2)已知点 P(1,0)，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若|PA|·|PB|＝152，
14
典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
方程为
ρ＝2acosθ，曲线
C2
的极坐标方程为