2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(84)
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加试模拟训练题（84）（附详细答案）
2.数列｛a n ｝由下列条件决定：a 1=1；n ≥1时，a n+1=a n +1/a n ．求a 100的整数部分[a 100]．
FDA
EDA F E AB AC CP BP AD P BC D ABC AD ∠∠∆＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设.
1
3.在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，我们考虑以这些点为顶点的所有可能的三角形，证明：其中至多有70%的三角形是锐角三角形．
4. 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求
122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++
+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
.
加试模拟训练题（84）
2. 数列｛a n ｝由下列条件决定：a 1=1；n ≥1时，a n+1=a n +1/a n ．求a 100的整数部分[a 100]．
【题说】1990年日本数学奥林匹克第一轮选拔赛题12． 【解】由题有
FDA
EDA F E AB AC CP BP AD P BC D ABC AD ∠∠∆＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设.1AN AM FDA EDA N M DF DE AD A =∠=∠可以转化为证明，。
欲证、交于的延长线分别、的垂线，与作证：过FDA
EDA AN AM BF BD AF CE CD AE FB
AF
EA CE DC BD P CF BE AD BF
BD
AF AN CE CD AE AM BF AF BD AN CE AE CD AM BDF
ANF CDE AME BC MN BC
AD ∠=∠∴=∴⋅=
⋅∴=⋅⋅⋅=⋅===∴
∆≅∆∆≅∆⊥1
,,,//，根据塞瓦定理可得：共点于、、于是，可得，故
因为a n+1-a n=1/a n＞0，所以a n递增．当≥2时，a n≥a2=2，于是
=200+98/4＜225
所以14＜a100＜15 故[a100]=14．
3.在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，我们考虑以这些点为顶点的所有可能的三角形，证明：其中至多有70%的三角形是锐角三角形．
【题说】第十二届(1970年)国际数学奥林匹克题6．本题由原苏联提供．
【证】任意五个点，其中没有三点共线，则一定可以找到以它们为顶点的三个非锐角三角形．这个结论可分三种情形讨论．
(1)若五个点组成一个凸五边形，则这个五边形中至少有两个内角为钝角，它们可能相邻(例如∠A、∠B)，也可能不相邻(例如∠A、∠C)，如图a、图b．再注意四边形ACDE中至少有一个内角非锐角，这样就找到了三个不同的非锐角，相应地得到三个非锐角三角形．
(2)若五个点中有四个点组成一个凸四边形ABCD(图C)，另一点E在ABCD内部，则EA、EB、EC、ED相互间的夹角至少有两个钝角．再加上ABCD中的非锐内角，至少也可找到三个非锐角三角形．
(3)若五个点中有三点组成一个三角形ABC(图d)，另外两点D和E均在△ABC内，由于∠ADB、∠BDC、∠CDA中至少有两个钝角，我们可以找到四个钝角三角形．
综合(1)、(2)、(3)可得结论．
数的比为
例2 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求
122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++
+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
.
讲解 题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清[]x 的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除：
（1）分子是哪些数相加，求出和来；
由36651830200421963666⨯=<<=⨯，知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几个
（2）除法谁除以366，求出商的整数部分.
原式()036536612345175366⨯+++++⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
1036687536614310236612.
⨯+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎡
⎤=++⎢⎥⎣⎦
=。
