人教B版高中数学必修2精品学案：1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
- 格式：doc
- 大小：653.00 KB
- 文档页数：9
1.1.空间几何体
1.1.1.构成空间几何体的基本元素
1.1.
2.棱柱、棱锥和棱台的结构特征
[学习目标].1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，同时在运动变化的观点下，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系.2.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法.3.能根据棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法.
[知识链接]
观察下列图片，你知道这些图片所表示的物体在几何中分别叫什么名称吗？
答.(1)、(8)为圆柱；(2)为长方体；(3)、(6)为圆锥；(4)、(10)为圆台；(5)、(7)、(9)为棱柱；
(11)、(12)为球；(13)、(16)为棱台；(14)、(15)为棱锥.
[预习导引]
1.几何体
只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体.
2.构成空间几何体的基本元素
(1)点、线、面是构成几何体的基本元素.线有直线(段)和曲线(段)之分，面有平面(部分)和曲面(部分)之分.
(2)在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面；平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名. 3.空间点、线、面的位置关系
(1)空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面.
(2)直线和平面的位置关系：平行、相交、在平面内.
(3)两个平面的位置关系：平行、相交.
4.多面体
(1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.
(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体.
5.几种常见的多面体
要点一.长方体中基本元素间的位置关系
例1.如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延伸为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：
(1)与直线B ′C ′平行的平面有哪几个？ (2)与直线B ′C ′垂直的平面有哪几个？ (3)与平面BC ′平行的平面有哪几个？ (4)与平面BC ′垂直的平面有哪几个？
解.(1)与直线B ′C ′平行的平面有：平面AD ′，平面AC . (2)与直线B ′C ′垂直的平面有：平面AB ′，平面CD ′. (3)与平面BC ′平行的平面有：平面AD ′.
(4)与平面BC ′垂直的平面有：平面AB ′，平面A ′C ′，平面CD ′，平面AC .
规律方法.1.解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直.
2.长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系.
跟踪演练1.若本例中的题干不变，将问题(1)(2)中的“直线B ′C ′”改为“直线BC ′”，再去解答前两个小题.
解.(1)与直线BC ′平行的平面有：平面AD ′.
(2)所给6个平面中，与直线BC′垂直的平面不存在.
要点二.棱柱的结构特征
例2.下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.
答案.(3)(4)
解析.(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4).
规律方法.棱柱的结构特征：
(1)两个面互相平行；
(2)其余各面是四边形；
(3)相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.
跟踪演练2.下列关于棱柱的说法错误的是(..)
A.所有的棱柱两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行
C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
答案.C
解析.
对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.所以C错误.
要点三.棱锥、棱台的结构特征
例3.下列关于棱锥、棱台的说法：
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱锥的侧面只能是三角形；
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________.
答案.(2)(3)(4)
解析.(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)
错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
规律方法.判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法：
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等
D.侧棱延长后相交于一点
答案.C
解析.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.
要点四.多面体的表面展开图
例4.画出如图所示的几何体的表面展开图.
解.表面展开图如图所示：
规律方法.多面体表面展开图问题的解题策略：
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.
跟踪演练4.
一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
答案.60°
解析.将平面图形翻折，折成空间图形，如图.
1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有(..)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案.D
解析.由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.
2.棱柱的侧面都是(..)
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.矩形
答案.B
解析.由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形.
3.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(..)
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②
答案.C
解析.可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
4.下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号).
答案.①③④.⑥.⑤
解析.结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.
5.线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′.
(1)该长方体的高为________；
(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________；
(3)点A到平面BCC′B′的距离为________.
答案.(1)3 cm.(2)4 cm.(3)5 cm
解析.如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝5 cm ，BC ＝4 cm ，CC ′＝3 cm ，∴长方体的高为3 cm ；平面A ′B ′BA 与平面CDD ′C ′之间的距离为4 cm ；点A 到平面BCC ′B ′的距离为5 cm.
1.空间几何体的本质
(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分，如长方体形的盒子外表面不是长方体，而外表面加上它所占据的空间才是长方体.
(2)数学上的几何体是一个抽象概念，只需考虑它的形状和大小，研究它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等. 2.两个特殊的空间位置关系
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形； (2)平面和平面垂直是两个平面相交的特殊情形.
3.(1)点到平面的距离：点与平面内任一点连线中最短的一条线段的长度.特别地，当点在平面内时，点到平面的距离为0.
(2)两个平行平面间的距离，可转化为其中一个平面内任一点到另一个平面的距离. 4.棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).
5.各种棱柱之间的关系 (1)棱柱的分类
棱柱⎩⎨⎧
直棱柱⎩
⎪⎨
⎪⎧
正棱柱
一般的直棱柱斜棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
6.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：。
