用字母表示数及整式(提高)知识讲解

字母的前面.
知识讲解
探究1 用字母表示数
问题1 2021年1月29日11时23分，我国空间站天和核心舱在海
南文昌航天发射场发射升空.天和核心舱在轨飞行速度约为
7.68km/s,绕行地球一周约需90 min.天和核心舱绕行地球
一周,约飞行多少千米？天和核心舱绕行地球n周,约飞行多
少千米？
解：绕行地球一周，约飞行7.68× × ＝41472（千米）.
____
奇数
…
-7
-5
-3
-1 1
3
5
…
2k-1 …
____
…
知识讲解
问题3
如图，用长方形任意框出某月份月历中的3个数
.
（1）若a=k,则b,c分别可表示为 b=k+7,c=k+14 （用含k的式子表示）.
（2） a，b，c
存在的等量关系是为
a+c=2b 或b-a=c-b
从上述例子可以看出：
用字母表示数，可以把一些数量关系抽象化，使它具有一般性.
名称
用字母表示公式
图形
长方形
周长（ C ）
a
b
三角形
b
h c
a
a
梯形
c h
d
b
圆
r
面积（S )
C 2(a b)
S ab
C a bc
1
S ah
2
1
C a b c d S ( a b) h
2
C 2 r
S r
2
知识讲解
试一试
1.(1)小明步行上学,速度为v m/s,亮亮骑自行车上学,速度是
.

苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习用字母表示数及整式（提高）知识讲解【学习目标】1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系. 【要点梳理】要点一、字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．乘法交换律可以用字母表示为：ab ＝ba 要点二、代数式1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，2n ，2)(b a +等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式. 要点诠释：带等号或不等号的式子不是代数式，如33x =，33x >，33x ≠等都不是代数式. 2.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性． 要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. 要点三、整式 1.单项式（1）单项式的定义：如22xy -，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 要点诠释：①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数． ②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数． ③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写． ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254x y ． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏． 2．多项式(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式． 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：①多项式的每一项包括它前面的符号．②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627x x --是一个三项式．(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 要点诠释：①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．如:多项式2x 3y 2-xy 3+21x 2y 4-5x 4-6是六次五项式,按x 的降幂排列为-5x 4+2x 3y 2+21x 2y 4-xy 3-6,在这里只考虑x 的指数,而不考虑其它字母;按y 的升幂排列为-6-5x 4+2x 3y 2-xy 3+21x 2y 4．要点诠释：①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 3.整式：单项式与多项式统称为整式． 要点诠释：（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式． 【典型例题】 类型一、字母表示数1．填空：(1)某商场将一种商品A 按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A 的标价为a 元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．（2）有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块．这a 名男生和b 名女生一共搬了 块砖（用含a ．b 的代数式表示）．【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来. 【答案】(1)90%10%1a+；(2)（40a +30b ）【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝-售价进价进价．举一反三：【变式】（2015•自贡）为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a 元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（ ） A ．a ﹣10% B ． a•10% C ． a （1﹣10%） D ． a （1+10%）【答案】C ．类型二、代数式2．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费． （1）若某用户10月份用去a 度电，则他应缴多少电费？ （2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？【思路点拨】当a ﹥140，应付费用分为两部分，一部分为0.43×140元， 另一部分为0.57×（a-140）元.【答案与解析】 解：（1）当a ≤140时，电费为0.43a 元；当a ＞140时，电费为：0.431400.57(140)(0.5719.6)a a ⨯+⨯-=-元.（2）因为用电量为150度，大于140度，因此把a ＝150代入代数式0.5719.6a -，得 0.5715019.665.9⨯-=（元）. 因此，该缴电费65.9元.【总结升华】根据a 的不同取值，分别对应不同的代数式． 举一反三：【变式1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a 块，往下每层多铺一块，最下面一层铺了b 块，共铺了n 层，共铺石块 块？当a ＝20，b ＝40，n ＝17时，堤坝的这个截面铺石块 块？【答案】12（a ＋b ）n ，510块. 【变式2】代数式12（a ＋b ）n 的意义.【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为a b 、，则()a b n +12表示“这两个数平均数的n 倍.类型三、整式3．（2015•杭州模拟）整式﹣0.3x 2y ，0，，，，﹣2a 2b 3c 中是单项式的个数有（ ） A ．2个 B ． 3个 C ． 4个 D ． 5个【答案】C ． 【解析】解：整式﹣0.3x 2y ，0，，，，﹣2a 2b 3c 中，单项式有：﹣0.3x 2y ，0，，﹣2a 2b 3c ，共4个．【总结升华】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，即可得出答案． 举一反三：【整式的概念 例1】【变式】下列代数式：322332111;;;;2;-232a x y ab x x y x y y x+--++π①②③④⑤⑥，其中单项式是_______________，多项式是_______________. 【答案】①②③，④⑥4．已知多项式32312246753m x xy xy y x y ---+--．(1)求多项式各项的系数和次数．(2)如果多项式是七次五项式，求m 的值．【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项26xy -的系数是-6，次数是3；第二项3127m xy --的系数是-7，次数是3m+1；第三项343x y 的系数是43，次数是4；第四项2x y-系数是-l ，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．(2)由多项式是七次五项式，可得3127m x y --的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m ＝2．【总结升华】对于单项式3127m xy --的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识． 举一反三：【整式的概念 ------练习题---3】【变式】多项式()34ba x x xb --+-是关于x 的二次三项式，求a 与b 的差的相反数．【答案】()()4042242 2.a ab b a b -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩∴--=--=-解：由题意得5．（2016•延庆县一模）已知：x 2﹣5x=6，请你求出代数式10x ﹣2x 2+5的值．【思路点拨】先把10x ﹣2x 2+5变形为﹣2（x 2﹣5x ）+5，然后把x 2﹣5x=6整体代入进行计算即可．【答案与解析】解：10x ﹣2x 2+5=﹣2（x 2﹣5x ）+5， ∵x 2﹣5x=6，∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．。

某校组织学生到距离学校8 km的科技馆参观，学生小宇因 事没能赶上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去科 技馆，出租车的收费标准如下：
里程 3 km以下(含3 km) 3 km以上，每增加1 km
收费(元) 7.00 1.20
4
阶段综合测试三(期中二)
(1)设出租车行驶的里程数为x(x≥3) km，付给出租车的费 用为________ 元(请用含x的式子表示)；
怎样分析数量关系,并用含有字母 的式子表示数量关系呢？
我们用字母t表示时间，列车在冻土地 段的行驶速度是100km/h,t小时行驶的 总路程为多少?
分 因温为馨行提驶示的：总1路、程数＝和速字度母×相时乘间，，通常省 析：所略把以乘数t小号字时或写行用在驶“ 字的母·总的”路前表程面示为，。1在00省xt略，乘即号10时0tkm。
用含字母的式子表示数量关系的步骤:
1.找出数量之间的关系
2.确定研究对象,再用字母表示.
3.规范的写出字母表达式
例 用含有字母的式子表示数量关系.
（2）苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用 式子表示现价；
（3）某产品前年的产量是n件，去年的产量是前 年的m倍，用式子表示去年的产量；
（4）一个长方体包装盒的长和宽都是acm，高是 hcm,用式子表示它的体积；
(v-2.5) km/h.
顺水速度=船静水航行的速度+水流速度
逆水速度=船静水航行的速度-水流速度
例2： 用含有字母的式子表示数量关系.
（3）如图（长度单位：cm），
则三角尺的面积为
(1 2
ab

r2 )cm2
a
r b
（4）如图是一所住宅的建筑平面图，

人教版初中数学知识关键点第二章整式1、用字母表示数。

一般用加号（+）、减号（-）、乘号（x ）、除号（÷）等运算号连接成式子。

如x+y ，2ab 2，-6，t ，s 等。

在写由字母和数字组成的式子时，要注意书写的格式：（1）字母与字母相乘，乘号可以写成“.”或省略不写；如x.y 或xy（2）数字与字母相乘，数字一定要写在字母的前面；如2πr（3）除法算式一般写成分数的形式；如x ÷y=y x（4）带分数写成假分数的形式，如果后面有字母必须写成假分数；如35a 不能写成132a 。

2、用式子简明地表示数量关系。

速度×时间＝路程（表示：vt=s ）正方体的体积=长×宽×高（表示：v=abh 或a 2h ）水流速度是2.5km/h ，则顺水速度=V+2.5，逆水速度=V —2.5。

3、整式：单项式与多式统称为整式。

（1）单项式：数字和字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。

如100t ，0.8p ，mn ，a 2h ，-n ，36等。

单项式的系数：单项式有数字和字母因数两部分组成，其中的数字因数叫做单项式的系数。

单项式的次数：所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

注：单项式里没有加减运算，系数包括前面的符号，次数不包括系数的次数。

如：-5x 2y 是积的形式，系数是-5不是5，次数是3次不是4次。

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

如x 2+2x+18。

多项式的项：每个单项式叫做多项式的项。

如x 2+2x+18是一个三项式。

多项式的常数项：不含字母的项叫做常数项。

如上式中的18。

π也是一个常量，不能把它当作字母。

多项式的次数：次数最高项的次数叫做多项式的次数。

如x 2+2x+18的最高次数的项是x 2，这个多项式的次数是二次，它是一个二次三项式。

注：多项式是有加减运算，它的次数不是有项的次数。

4、整式的加减（合并同类项）。

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。