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复变函数复习课

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第一章复数及其表示，运算，几何意义，点集与区域，复变函数，极限与连续性复数及其表示 实部，虚部 z=x +iy 复数的模任意两个复数不能比较大小。

共轭复数复数的表示方法 1. 点的表示2. 向量表示法.},{)(iy x z y x y x P iy x z +=∴=↔↔+=表示可用向量，点3. 三角表示法zy x r OP z Arg 记作辐角模：=+===θ:,||||224. 指数表示法2||z z z =),,(y x iy x z 一对有序实数易见，↔+=)sin (cos θθi r z +=幅角主值如下：复数的乘幂与方根 1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根区域1. 区域的概念2. 简单曲线（或Jordan 曲线)3. 单连通域与多连通域习题：请依次写出z 的代数、几何、三角、指数表达式和z 的3次方nk in n er z πθω2+==)2sin2(cosnk i nk r n πθπθ+++=)1,,2,1,0(-=n k θi re z =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=<<><±<>=±∈>=0,00,0arctan 0,02,0arctan arg y x y x x y y x R y x x y z πππ根。

(cos sin )i z x iy re r i θθθ=+==+23k iz reθπ+=z ：,r Argz复变函数的极限与连续性 1. 函数的极限定义中0z z →的方式是任意的 与一元实变函数相比较要求更高.2. 运算性质3. 函数的连续性;)()()(lim 000处连续在，则称若z z f z f z f z z =→第二章 解析函数 复变函数的导数定义Az f z z Az f z z z f A A z f z z A z U z z f w z z →→=→<-<-<∃>∀∈=→≤<)()(lim )(,)(,0,,0),,(),( 000)000时，或当时的极限，记作当为则称有时当）（，若存在数设（εδεδερρδ 定义zz f z z f dz dwz f z z z ∆-∆+==→∆=)()(lim)('00000 (1) Δz →0是在平面区域上以任意方式趋于零。

(2) z=x+iy,Δz=Δx+i Δy, Δf=f(z+Δz)-f(z)(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz →0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。

(2) 在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。

解析函数的概念如果函数w =f (z )在z 0及z 0的某个邻域内处处可导，则称f (z )在z 0解析；如果f (z )在区域D 内每一点都解析，则称f (z )在D 内解析，或称f (z )是D 内的解析函数(全纯函数或正则函数）。

如果f (z )在点z 0不解析，就称z 0是f (z )的奇点。

定理1 设 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y )在 D 内有定义， 则 f (z )在点 z =x +iy ∈D 处可导的充要条件是 u (x , y ) 和 v (x , y ) 在点 (x , y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann 方程yu x v yv x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 上述条件满足时,有x y y y y x x x iv v iu v iu u iv u z f +=-=-=+=)('答案：初等函数1. 指数函数)sin (cos exp )(y i y e z z f x +==2. 三角函数和双曲函数的正弦与余弦函数称为z e e z i e e z zizi zi zi --+=-=--2cos 2sin22zz zz e e chz e e shz --+=-=—称为双曲正弦和双曲余弦函数3. 对数函数 Lnz w =),2,1,0()2(arg ln ln ±±=++=+=k k z i z z i z Lnz πArg4. 乘幂与幂函数.bLna b e a =定义乘幂)2(ln πk i a b bLna b e e a +==∴—一般为多值称为幂函数。

得为复变数中，取在乘幂,,b b z w z a =5. 反三角函数与反双曲函数习题:答案：第三章复变函数的积分§3.1 复变函数积分的概念⎰⎰⎰++-=CCCudy vdx i vdy udx dz z f )(⎰++=Cidy dx iv u ))((记忆⎰⎰=βαdt t z t z f dz z f C)(')]([)(§3.2 柯西-古萨基本定理.0)(,)(=⇒⎰Cdz z f B C B z z f 内任一条闭曲线为内解析平面上单连通区域在设§3.3 基本定理的推广)2()()()1(0)(,)(,.121∑⎰⎰⎰=Γ---==⊂++++=Γni c cn idz z f dz z f dz z f D z f D B C C C C B 或则内解析在②且有界多连通区域所围成的是由设①§3.4 原函数与不定积分⎰=zz d f z F 0)()(ςς),()()()(10011B z z z F z F dz z f z z ∈∀-=⎰§3.5 柯西积分公式 ⇒内任意一点为它的内部完全含于曲线内任意一条正向简单闭是内处处解析在设C z D D C D z f 0)3,,)2,)()1⎰-=C dz z z z f i z f 00)(21)(π§3.6 解析函数的高阶导数.,)(),2,1()()(2!)(,)(000)(1D z D z f C n dzz z z f i n z f n z f C n n ⊂=-=⎰+而且它的内部任意正向简单闭曲线的内围绕的解析区域为在其中阶导数为它的的导数仍为解析函数解析函数 π§3.7 解析函数与调和函数的关系内的调和函数。

是，内解析在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()(==⇒+=.),()00:),(2222内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数D y x y x Laplace D y x ϕϕϕϕϕ=∆=∂∂+∂∂习题1：答案：习题2：答案：第四章 级 数1.复数列的极限定理1 .lim ,lim lim b b a a n n n n n n ==⇔=∞→∞→∞→αα性质：收敛的必要条件级数∑∞=1n n α，.0lim :=∞→nn α定理2 都收敛。

和收敛级数∑∑∑∞=∞=∞=⇔111n nn nn nb a α定理3 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=≤⇒1111n n n n n n n nαααα收敛，且收敛若定理4 都收敛和收敛级数∑∑∑∞=∞=∞=⇔111n n n n n nb a α2. 幂级数∑+∞=⇒=000n n n z c z 当称为幂级数定理1 (阿贝尔(Able)定理）.,,)0(000级数必绝对收敛的 则对满足收敛在⑴若级数z z z z z z c n n n <≠=∑+∞=.,,00　级数必发散　的则对满足发散⑵若级数在z z z z z >=收敛半径的求法定理2 (比值法)⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞++∞<<==+∞→λλλλλ000/1lim1R c c nn n ，则若定理3 (根值法)⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞++∞<<==∞→μμμμμ000/1lim R c n n n ，则若定理（泰勒展开定理）,2,1,0)(!1:)1()()(,,,)(0)(00000==-=<-⇒∈∑∞=n z f n c z z c z f R z z D z R D z D z f n n n nn 其中时当上各点的最短距离的边界到为内解析在区域设罗朗(Laurent )级数∑+∞=-00)(n nn z zc.)'5(),2,1,0()()(21:)5()()(,:)(0100201的任何一条简单闭曲线内绕是其中则内解析在设z D c n dz z z z f i c z z cz f R z z R D z f c n n n nn±±=-=-=<-<⎰∑+∞+-∞=π习题：答案第五章 留数定义 设 z 0 为 f (z ) 的孤立奇点， f (z ) 在 z 0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z - z 0)–1 的系数 c –1 称为f (z )在 z 0 的留数，记作 Res [f (z ), z 0] 或 Res f (z 0)。

dz z f i c z z f s c⎰==-)(21]),([Re 10π留数定理∑⎰==nk kcn zz f s i dz z f c c z f z z z c z f c 121]),([Re 2)(,)(,,,,,)(,π则上解析内及在除此以外有限个孤立奇点内有在函数是一条简单闭曲线设规则I)()(l i m ]),([Re ,)(0000z f z z z z f s z f z z z -=⇒→的一级极点是若规则II ⇒级极点的是若m z f z )(0[])()(lim )!1(1]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=--→规则III )(')(]),([Re ,)(0)(',0)(,0)(,)(),()()()(00000000z Q z P z z f s z f z z Q z Q z P z z Q z P z Q z P z f =⇒≠=≠=且的一级极点是处解析在设求下列各函数在其孤立奇点的留数。

(1) 3sin )(z z z z f -=; (2) zz z f sin 1)(2=; (3) 11e )(-=z z zf . 解：（1） 0 =z 为)(z f 的可去奇点,0]0 ),(Res[ =∴z f ; （2） 0 =z 为)(z f 的三阶极点, πk z =) 2 1( ,,k ±±=为)(z f 的一阶极点,61')'sin 1(lim !21]0 ),(Res[ 230=⋅=∴→zz z z f z ,2π2)π()1(cos sin 21]π ),(Res[ k zz z z k z f kk z -=+=∴=; （3） 1 =z 为)(z f 的本性奇点, ∑∞=--+-=011)1(!1)11(en nz z n z z , 23]1 ),(Res[ 1==∴-c z f 。

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复变函数 复习讲义

复变函数 复习讲义


1
( r cos θ + ir sin θ )n = r n ( cos nθ + i sin nθ ) .
在几何上 , n z的n个值就是以原点为中心 , n r为半径 的圆的内接正 n边形的n个顶点.
五、区域及相关概念* 四、复平面与复球面
1. 用复数方程表示平面曲线 （给出平面曲线要求用复数方程表示，给出方程 要求描述曲线）
6
三、Cauchy积分定理及其应用 １.Thm（柯西－古萨基本定理）
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 , 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零 :
∫
z1 z0
f (ζ )dζ = G ( z1 ) − G ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.
要求：会计算各初等函数，掌握其基本性质 注意：与实函数的区别
2、多值函数
第三章
a b = e bLna
复变函数的积分
Lnz=ln|z|+iArgz = lnz+2kπi
一、积分的计算法与性质 Thm 如果 f ( z ) 是连续函数而 C ：z = z( t )=x( t ) + iy( t )
(t ∈ （α，β ）α 为起点，β 为终点)是光滑曲线, 则积分
一、求Laplce变换
Laplace变换
+∞
1 +∞ f ( t ) = F −1 [ F (ω )] = F (ω )e jω t d ω (1.9) 2π ∫−∞ 2）、Fourier变换的性质
4、单位脉冲函数（狄拉克函数）的性质
1）、用Lapce变换式
F(s)= ℒ [f(t)] = ∫
【精品】复变函数总复习PPT课件

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其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z
复变函数-总复习

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复变函数Complex Function⚫第一章复数与复变函数⚫第二章解析函数⚫第三章复变函数积分⚫第四章复变函数项级数⚫第五章留数及其应用主要内容复数形如 z = x+iy , 其中x 和y 是任意两个实数.=x z Re(), =y z Im()z 的共轭复数记作: ，z =+⇒z x iy =−z x iy共轭复数的性质:+=−=z z z z z i z 2Re(); 2Im()⎝⎭+ ⎪⎛⎫−i i 1117)(()()+−=−i i i 1117714)(=⎣⎦−⎡⎤i 21727)(=−i 2277)(=i .−+−i i i i 121)(()()−+⋅=++−i i i ii i i i 1111)()(−=+−+i i 2111=−−i 2231复数的四则运算: 和 差 积 商复数的几何表示向量的长度==+z r x y22复数的模=z rei θ指数表示式三角表示式=+z r i cos sin θθ)(其中r = |z |, = Arg zθ复数的表示方法幅角的主值：满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.θ=z arg 0)Arg arg 2 0,1,2,.π=+=±±z z k k (复数的幅角θθθθθθ⋅=⋅+++=⋅+ez z r r i r r i [cos()sin()](12212)1212112θθθπ=⎝⎭ ⎪==+⎛⎫+++r e n n w z r i k k n ni k k nncos sin 22121ππ)(复数的方根=θ−θ+θ−θ=θ−θe z r r i z r r i [cos()sin()]21)22121211(12复数乘积和商θθθ=+=r e z r n i n n n n i n [cos()sin()]()θθθ=+=ei r z r i (cos sin )+=z 1604例1: 解方程ππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 4416cos sin 2241ππππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 442cos sin22ππ=k (0,1,2,3)复数的乘幂=−z 164解:幅角的主值).=+=±±πz z k k ,Arg arg 2 0,1,2(满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.记做:=z arg 0θ例2: 的幅角主值=−+z i 13ππππ−−+=+=−+=i 133arg 13arctan 32)(的幅角主值=−z 3π−=arg(3)例3: 证明+=++z z z z z z 2Re ,121212222)(并由此证明+≤+z z z z .1212证明：+=++z z z z z z ()1212122)(=+++z z z z z z z z 11221212+=++z z z z z z 2Re 121212222)(≤++z z z z 2121222=++=+z z z z z z 2121212222)(+=z z z z z z ()2Re 121212)(≤x z=z zz2⇒+≤+z z z z .1212例4: 映射 ,求圆周的象.=+z w z 1=z 2令=+=+z x iy w u iv ,,映射=+1w z z⇒+=++−+u iv x iy x iyx y22,解：于是=++u x x x y 22 ,=−+v y y x y 22,=z 2⇒==u x v y 44,53⇒==x u y v53,44+=u v 25914422+=x y 422映射=w f z (), w 称为z 的象，z 称为w 的原象两个特殊的映射==w zw z (2)(1)2复变函数的极限与连续性定理2: 设 =+f z u x y iv x y ()(,)(,),则 f (z )在处连续 =+z x iy 000的充分必要条件是 u x y (,),v x y (,)都在x y (,)00点连续.结论：arg z 在原点与负实轴上不连续.=→f z f z z z lim ()()00复变函数连续复变函数的极限=→f z A z z lim ()0定理1:=+=+=+f z u x y iv x y A u iv z x iy ,(,),,00000)()(设函数=⇔==→→→→→f z A u x y u v x y v y y y y z z x x x x lim lim ,,lim ,000)()()(−+=+x yi x y f z x x x yi ()= ()22++==x y x y u v x xy , 22222=y kx方法1: 沿++==→→→→x k x k u x y x y y x x 1lim ,lim 1000022222 )(依赖于k ，故极限不存在。

数学物理方法-复变函数复习31页PPT

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u d xz
1
2 y d x ？
0 x 0 2 x x 2 y 22x 2 y 2
极坐标
v x x 2 y 2c o s( 1 c o s)
2 sin 2 2
u1v,v1u
u 1 v 1 (2 sin 2)2 1 co s 2 u v (2 sin 2) 2sin 2
a0a1z1a2z2a3z3L1 2a0z21 2a1z31 2a2z41 2a3z5L 4 1!a0z44 1!a1z54 1!a2z64 1!a3z7L1
a 0 a 1 z 1 ( a 2 1 2 a 0 ) z 2 ( a 3 1 2 a 1 ) z 3 ( a 4 1 2 a 2 4 1 ! a 0 ) z 4 L 1
例
1111
4 7 10
解
绝对一致收敛
t 1 a1 a0,b0
01tbdt n0
1ta1(tb)nd
0
t
t1 anb1(1)ndt
0 n0
(1)n
1 dtanb
( 1) n
n0 anb0
n0 a nb
1 1 1 1 1 1 ( 1 )3 1 1 1 dt
4710 1 3
例：在z=0展开 1
cos z
1 1 cos 0
在z=0解析
待定系数法
待定系数法：设
1 cos z
k 0
ak zk
又
cosz
(1)k z2k
k0 (2k)!
a k 为待定系数
则
akzk
k0
k0
(1)k z2k 1 (2k)!
[ a k a k z k a k z k a k z k L ] [ 1 1 2 z 2 4 1 ! z 4 6 1 ! z 6 L ] 1