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1.1 认识三角形(二)

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1．1 认识三角形(二)
1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠B ＝45°，AD 是△ABC 的一条角平分线，则∠ADB ＝105°．
(第2题)
2．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线． (1)若BC ＝6 cm ，则CD ＝3cm ； (2)若CD ＝a ，则BC ＝2a ；
(3)若S △ABD ＝8 cm 2，则S △ACD ＝8cm 2.
(第3题)
3．(1)如图，在锐角△ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高线，且CD ，BE 交于点P.若∠A ＝70°，则∠BPC ＝110°；若∠BPC ＝100°，则∠A ＝80°；
(2)在△ABC 中，AD ，CE 分别是BC ，AB 边上的高线，且BC ＝5 cm ，AD ＝3 cm ，CE ＝4 cm ，则AB ＝15
4
cm ；
(3)在△ABC 中，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，已知AB ＝7 cm ，AC ＝5 cm ，则△ABD 与△ACD 的周长之差为2cm.
4．(1)一定可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是(A ) A ．三角形的中线 B ．三角形的角平分线 C ．三角形的高线 D ．以上说法均不正确 (2)直角三角形的三条高线所在的直线交于(C ) A ．三角形内部 B ．三角形外部 C ．三角形的边上 D ．不能确定
5．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC 上的两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形有(A )
A ．4对
B ．5对
C ．6对
D ．7对
(第5题) (第6题)
6．如图，在△ABC 中，AB>AC ，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，BE 是△ABD 的角平分线，有下列结论：①∠ABE ＝∠DBE ；②BC ＝2BD ＝2CD ；③△ABD 的周长等于△ACD 的周长．其中正确的个数有(C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
(第7题)
7．如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠B ，∠CAD ＝40°，∠ACE ＝120°，请判断AD 是否是△ABC 的角平分线，并说明理由．
【解】 AD 是△ABC 的角平分线．理由如下： ∵∠ACE ＋∠ACB ＝180°， ∠B ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°， ∴∠B ＋∠BAC ＝∠ACE ＝120°， 即∠B ＋∠BAD ＋∠CAD ＝120°. ∵∠CAD ＝40°， ∴∠B ＋∠BAD ＝120°－40°＝80°. 又∵∠B ＝∠BAD ， ∴2∠BAD ＝80°， ∴∠BAD ＝40°， ∴∠BAD ＝∠CAD ，
∴AD 是△ABC 的角平分线．
(第8题)
8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，连结BE.若S △ABC ＝16 cm 2，求S △ABE . 【解】 ∵D 是BC 的中点， ∴S △ABD ＝S △ACD ＝1
2S △ABC ＝8 cm 2.
∵E 是AD 的中点，
∴S △ABE ＝S △BDE ＝1
2
S △ABD ＝4 cm 2.
9．如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 是BC 边上的中线，已知△ABD 与△ACD 的周长之差为8，求AB －AC 的值．
(第9题)
【解】∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
∵C△ABD＝AB＋BD＋AD，
C△ACD＝AC＋CD＋AD，
∴AB＝C△ABD－BD－AD，
AC＝C△ACD－CD－AD.
∴AB－AC＝(C△ABD－BD－AD)－(C△ACD－CD－AD)＝C△ABD－C△ACD＝8.
10．已知在△ABC中，∠A＝45°，高线BD和高线CE所在的直线交于点H，求∠BHC的度数．
【解】(1)当△ABC为锐角三角形时，如解图①.
∵BD，CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠BEH＝90°.
又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴∠BHE＝45°，
∴∠BHC＝180°－∠BHE＝135°.
(第10题解)
(2)当△ABC为钝角三角形时，如解图②.
∵BD，CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠BEH＝90°.
又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，
∴∠BHC＝180°－∠ABD－∠BEH＝45°.
综上所述，可知∠BHC＝135°或45°.
11．在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点．
(1)如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，请探求PE，PF与BD之间的数量关系；
(第11题)
(2)如图②，若P是BC的延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD是△ABC的
高线，请探求PE ，PF 与CD 之间的数量关系． 【解】 (1)连结PA.∵S △ABC ＝S △APB ＋S △APC ， ∴12AC ·BD ＝12AB ·PF ＋1
2AC ·PE. ∵AB ＝AC ，∴BD ＝PE ＋PF.
(2)连结PA.∵S △PAB ＝S △ABC ＋S △ACP ， ∴12AB ·PF ＝12AB ·CD ＋1
2
AC ·PE. ∵AB ＝AC ，∴PF ＝CD ＋PE ，即PF －PE ＝CD.
12．(1)如图①所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BO 与∠ACB 的平分线CO 交于点O ，试探求∠A 与∠BOC 的数量关系；
(第12题)
(2)如图②，在△ABC 中，D 是边AB 延长线上一点，E 是边AC 延长线上一点，∠CBD 的平分线BO 与∠BCE 的平分线CO 交于点O.试探求： ①∠A 与∠BOC 的数量关系；
②按角的大小来判断△BOC 的形状．
【解】 (1)∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ， ∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝1
2∠ACB ，
∴∠OBC ＋∠OCB ＝1
2
(∠ABC ＋∠ACB)．
∵∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ，∴∠OBC ＋∠OCB ＝90°－1
2∠A .
又∵∠OBC ＋∠OCB ＝180°－∠BOC ， ∴180°－∠BOC ＝90°－12∠A ，
∴∠BOC ＝90°＋1
2
∠A .
(2)①∵BO 平分∠CBD ，CO 平分∠BCE ， ∴∠CBO ＝12∠CBD ，∠BCO ＝1
2∠BCE ，
∴∠CBO ＋∠BCO ＝1
2
(∠CBD ＋∠BCE )．
∵∠ABC ＋∠CBD ＝180°，∠ACB ＋∠BCE ＝180°，∴∠CBD ＋∠BCE ＝360°－(∠ABC ＋∠ACB )．
∵∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ，∴∠CBD ＋∠BCE ＝180°＋∠A ，∴∠CBO ＋∠BCO ＝1
2(180°
＋∠A )＝90°＋1
2
∠A .
∵∠BOC ＝180°－(∠CBO ＋∠BCO )， ∴∠BOC ＝180°－90°－12∠A ＝90°－12
∠A .
②∵∠CBO ＝12∠CBD ，∠BCO ＝1
2∠BCE ，且∠CBD <180°，∠BCE <180°，
∴∠CBO <90°，∠BCO <90°.
又∵∠BOC ＝90°－1
2∠A ，∴∠BOC <90°.
∴∠BOC ，∠CBO ，∠BCO 都是锐角， ∴△BOC 为锐角三角形．。

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(浙教版)八年级数学上册课件：1.1 认识三角形 第2课时

(浙教版)八年级数学上册课件：1.1 认识三角形 第2课时

A
8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点， 那么这个三角形是( )
C
A．锐角三角形 C．直角三角形
B．钝角三角形 D．不能确定
9．如图所示．
(1)在△ABC中，BC边上的高是______；
(2)在△AEC中，AE边上的高是______； AB
(3)若AB＝CD＝3 cm，AE＝5 cm，则△AEC的面积S＝
1 解：(1)∠DAE＝20°.(2)∠DAE＝2(β －α )．(3)∠EFG ＝20°.(4)∠EFG 的大小不发生改变．理由：∵AD⊥BC，
1 FG⊥BC，∴∠GFE＝∠EAD.∵∠EAD＝2(β －α )，∴∠EFG 的大小不发生改变．
5．如图，AD是△ABC的中线2 ，且AB＝6 cm，AC＝4 cm，则△ABD 与△ACD的周长之差是_______cm.
第5题图
第6题图
6．如图，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AC 的中点．若 S△ADE＝1， 则 S△ABC＝_____4___.
知识点3：三角形的高线 7．(义乌市期中)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法 正确的是( )
18．(浦江县月考)(例2变式)已知：在△ABC中，∠C＞∠B，AE平 分∠BAC. (1)如图①，AD⊥BC于点D，若∠C＝70°，∠B＝30°，请你用量 角器直接量出∠DAE的度数； (2)若△ABC中，∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，根据(1)中的结果大胆猜 想∠DAE与α，β间的等量关系，不必说明理由；
(3)如图②所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，点 F是AE上的任意一点，过点F作FG⊥BC于点G，且∠B＝ 40°，∠C＝80°，请你运用(2)中结论求出∠EFG的度数；
1.1认识三角形(2)

1.1认识三角形(2)

A
“＞”、“＜”或“=”号填空： = （1）BE___EC
1 =― （2）∠CAF___ 2 ∠BAC B E F C
A
已知△ABC中，BC＝3，要求
△ABC的面积，还需添加什么条件？
B
D
C
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的高。 如图，AD⊥BC于点D，AD就是△ABC的BC边上的高。 ∵AD就是△ABC的BC边上的高。 ∴AD⊥BC
（2）当∠A=40 时，求∠BOC的度数 （3）当∠A= x 时，求∠BOC的度数 (用含 x 代数式表示）
B
如图，三角形ABC的角平分线可 以画三条，它们交于一点。 A
B
D
C
在三角形中，连接一个顶点与它对边 中点的线段，叫做三角形的中线。
A
如图，D为BC的中点， 线段AD就是ΔABC的 BC边上的中线。 B
D
C
在三角形中，连接一个顶点与它对边 中点的线段，叫做三角形的中线。
A 如图，三角形ABC的中线 可以画三条，它们交于 一点。 B
例1：
在△ABC中,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分 线. 已知∠BAC=80°,∠C=40°, 求∠DAE.
A
B
40°
DE
C
如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是
△ABC的两条角平分线，相交于点O。
O O
（1）当∠ABC=60 ,∠ACB=80 时，求∠BOC的度数
O
A E O D C
1.1(2) 认识三角形
1、什么是角平分线？ 2、如何画一个角的平分线？ 所用的工具是什么？
在三角形中，一个内角的角平分线与 它的对边相交，这个角的顶点与交点 之间的线段叫做三角形的角平分线。
初中数学精品试题：认识三角形(二)

初中数学精品试题：认识三角形(二)

C B A （第6题） 1.1 认识三角形（二）A 组1．如图，CD ⊥AB ，则图中直角三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在△ABC 中，∠B=60°，AD 是△ABC 的角平分线，∠DAC=31°，则∠C 的度数为（ ）A ．58°B ．60°C ．62°D ．92°3．在△ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD =S △ACD ，则AD 为△ABC 的（ ）A ．高B ．角平分线C ．中线D ．不能确定4．如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∠A =50°，则∠BOC 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°5．下面四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在△ABC 中，AB =5厘米，BC =3厘米，BM 为中线，则△ABM 与 △BCM 的周长之差是 厘米．★7．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点．若S △BFC =1，则S △ABC = ． 8．如图, 在△ABC 中, 请作图：①画出△ABC 的一条角平分线CD ；②画出△ABC 中AC 边上的中线BE ；③画出△ABC 中BC 边上的高AF ．9.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15cm 和6cm 两部分，求三角形三边的长。

（第1题） （第2题） （第4题） （第7题）B 组★10.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是BC 边上任意一点，PF ⊥AB 于 点F ，PE ⊥AC 于点E ，BD 为△ABC 的高线，BD ＝8，求PF ＋PE 的值．11．如图，在△ABC 中，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=50°，求∠BOC 的度数．（2）若∠A=60°，求∠BOC 的度数．（3）若∠A =α，求∠BOC 的度数（用α的代数式表示）．★12.如图，在△ABC 中，E 为BC 上一点，EC =2BE ，D 为AC 的中点． 设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为,,,BEF ADF ABC S S S △△△若12=ABC S △，则BEF ADF S S △△-=_______．★13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，AE 是△ABC 的角平分线．若α=∠B ，)(βαβ<=∠C ，用含βα，的代数式表示∠EAD ．2。

1.1 认识三角形(2课时) 教案

1.1 认识三角形(2课时) 教案

1.1 认识三角形（1）【教学目标】1、通过实践活动，理解三角形三个内角的和等于180o2、理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、合适用三角形的内角和外角的性质简单的几何问题4、了解三角形的分类【教学重点、难点】1．本节教学的重点是三角形三个内角和等于180o的性质是本节重点。

2．例3是立体图形，涉及的角之间的关系不易辨认，是本节难点。

【教学过程】1，合作学习：①请每个学生利用手中的三角形（已备），把三角形的三个角撕（或剪）下来，然后把这三个角拼起来，然后观察这三个角拼成了一个什么角？②请学生归纳这一结论，教师板书：三角形的三个内角的和等于180O2、三角形内角和性质的应用①口答：△ABC中，∠A=45O，∠B=60O，求∠C②△ABC中，∠A=57O18，，∠B=46O49，。

求∠C③△ABC中，∠A=∠B，∠C=110O，求∠A，∠B④△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，求这个三角形的三个内角。

3、由上题得出图中三角形的形状①②得出的三角形的三个角都是锐角，这样的三角形称之为锐角三角形③得出的三角形有一个角是钝角，这样的三角形称之为钝角三角形④得出的三角形有一个角是直角，这样的三角形称之为直角的三角形若一个三角形为Rt△，那么它的其余两个锐角互余。

4、三角形的外角：①定义：三角形的一边和另一边相邻边组成的角，叫做三角形的外角。

由图得：∠BCE+∠ACB=180O而∠A+∠B+∠ACB=180O∴∠BCE=∠A+∠B从而得到定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和②外角也并不一定绝对，要会看一个角之是内角还是外角。

5、练习：1）△ABC中，∠ACD=120O∠A=50O ，求∠B、∠ACD2）如书本例题3），已知，在△ABC 中， ∠C=Rt ∠,D 是BC 上一点，已知∠1=∠2，∠B=25O ，求∠BAD 数。

6：小结：角形的内角和性质②认识三角形的外角的概念，并能准确寻找外角和内角 7，布置作业1.1 认识三角形(2)【教学目标】1、使学生知道三角形的角平分线和中线的定义，并能熟练地画出这两种线段 2、能应用三角形的角平分线和中线的性质解决简单的数学问题 【教学重点、难点】教学重点、难点：三角形的角平分线、中线的定义及画图是本节课的重点，利用三角形的角平分线和中线的性质解决有关的计算问题是本节难点。