高一数学待定系数法复习

课堂例选
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交 桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现 把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的 解析式．
解： 设抛物线为y=a(x-x1)(x-x2） 由题意可知:抛物线交x轴于点(0,0), (40,0),且经过点(20，16).
16 a ( 20 0) ( 20 40) 1 解得 : a 25
得： y 0 x x 4 1 2 1 解得 : a 2
y
x1 o x2 x
交点式： 代数法较繁 1 y=a(x-x1)(x-x2因此，所求二次函数是 ) y ( x 1) 2 2
2
练习3
一般式： y=ax2+bx+c 顶点式： y=a(x-h)2+k 交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
引例 已知一个正比例函数的图像通过点（－3，4）， 求这个函数的解析式
解：设所求的正比例函数为 y=kx 将点（-3，4）代入可得 4=-3k 解得 4 k =3
4 所以要求的函数为y - x 3
其中的k为待定系数.如果是二次函数，则可设所 求的函数为y=ax2+bx+c，其中a、b、c待定
课堂小结
待定系数法的解题思路

设函数的一般形式 布列方程，解得系数

得到函数关系式
求解二次函数的解析式时，应该根据条件 的特点，选用恰当的一种函数解析式。
设抛物线为y=a(x-h)2＋k 解： 由题意可知:抛物线的顶点为(20,16), 且经过点(0，0). 2 0 a ( 0 20) 16
1 即: a 25 ∴ 所求抛物线解析式为
1 2 y ( x 20) 16 25

高中数学思想方法专题八待定系数法慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学401326)一、知识要点概述在解决某些数学问题时，按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，然后根据所给条件来确定这些未知系数，从而得到问题的解的方法.这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如数列求和、求函数式、求解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.利用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 二、解题方法指导待定系数法是根据两个多项式恒等的条件而产生的一种方法，因此，从恒等变形的意义来看，它不过是把一个代数式从一种形式变换为另一种形式，并且确保变形前后的两个代数式是恒等的，也就是形变而值不变.利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的方程（组），即a 0x n +a 1x n －1+…+a n ≡b 0x n +b 1x n －1+…+b n 的充分必要条件是a 0=b 0，a 1=b 1，…，a n =b n ，….②由恒等的概念用数值代入法列方程；指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的方程(组)，由此求得待定系数的值.③利用定义本身的属性列方程；是指根据所涉及的数学概念、公式、定理等建立方程(组).④利用几何条件列方程.是指根据图形、图象、曲线间的量的关系建立关于待定系数的方程(组). 三、范例剖析 例1设二次函数满足f(x -2)=f(-x -2)，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得线段长为22，求f(x)的表达式.解析：设所求f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，且与x 轴交点横坐标为x 1，x 2，则c=1 ①， f(x -2)=ax 2-(4a-b)x+4a-2b+c ，f(-x -2)=ax 2+(4a-b)x+4a-2b+c ，由f(x -2)=f(-x -2)得b=4a ②（或由二次函数的对称性可知对称轴x=-2，即﹣b2a=-2，得b=4a)又在x 轴上的截距为22，∴|x 1-x 2|=22，∴(x 1+x 2)2﹣4x 1x 2=22，∴b 2-4ac|a|=2 2③由①得b 2-4a=8a 2，∴b 2-b=b 22，∴b=2或b ＝0（舍去因b=0，a=0），∴a=12，∴f(x)=12x 2+2x+1(x ∈R).点拨：待定系数法是求函数的解析式的一种重要方法之一，解题时要熟悉基本函数，基本曲线的表达式，才能正确设立参数.例2若lim n →∞(2a n +3b n )=5，lim n →∞(4a n ﹣3b n )=3，求limn →∞(7a n +b n ).解析：设7a n +b n ＝λ(2a n +3b n )+μ(3a n ﹣5b n )，即7a n +b n ＝(2λ+3μ)a n +(3λ﹣5μ)b n . 因此式恒成立，故比较两边a n 、b n 的系数，得⎩⎨⎧ 7=2λ+3μ1=3λ﹣5μ，解之，得⎩⎨⎧ λ=2μ=1 .∴lim n →∞(7a n +b n )= lim n →∞[2(2a n +3b n )+(3a n ﹣5b n )]=2lim n →∞(2a n +3b n )+ limn →∞(4a n ﹣3b n )=2×5+3=13.点拨：因为lim n →∞a n 与limn →∞b n 不一定存在，因此利用待定系数法解决此类问题是最有效的方法，其做法是将2a n +3b n 与4a n ﹣3b n 视为两个基本量，用待定系数法求得用这两个基本量表示7a n +b n 的两个系数，即可获解.例3已知f(x)=ax 2+bx ，且1≢f(-1)≢2,2≢f(1)≢4,求f(-2)的取值范围. 解：因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b.令f(-2)=λf(-1)+μf(1)， 即4a-2b=λ(a-b)+μ(a+b)，整理，得4a-2b=(λ+μ)a+(﹣λ+μ)b,∴⎩⎨⎧ λ+μ=4﹣λ+μ=-2，解得 ⎩⎨⎧ λ=3μ=1，∴f(-2)=3f(-1)+f(1)， 而⎩⎨⎧ 1≢f(-1)≢2⇒3≢3f(-1)≢62≢f(1)≢4，两式相加，得5≢3f(-1)+f(1)≢10, 即f(-2)的取值范围是[5,10].点拨：本题是一类典型题，对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，利用待定系数法将f(-2)用f(-1)与f(1)的表达式来表达，求出待定系数，然后利用不等式的基本性质即可获得解答.例4求过直线l 1:2x ﹣3y+2=0与l 2:3x ﹣4y ﹣2=0的交点且与直线4x+y ﹣4=0平行的直线方程. 解：设所求直线的方程为(2x-3y+2)+λ(3x-4y-2)=0 (*),即(2+3λ)x-(3+4λ)y+2-2λ=0.∵所求与4x+y-4=0平行,∴有2+3λ=4(-3-4λ),∴λ=﹣1419.代入(*)式有4x+y-66=0.点拨：待定系数法是解决过两条直线交点的直线系的基本方法之一.过已知两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0和A 2x+B 2y+C 2=0的交点的直线系一般有三种设法：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)+λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0(λ1,λ2是不同时为0的参数)；②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0(不含直线A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，λ为参数)；③A 2x ＋B 2y ＋C 2＋λ(A 1x ＋B 1y ＋C 1)=0(不含直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，λ为参数).例5是否存在a 、b 、c ，使得等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=n(n+1)12(an 2＋bn ＋c )对一切自然数n 都成立？并证明你的结论.解析：假设存在a 、b 、c 使得等式成立，令：n ＝1，得4＝16(a ＋b ＋c)；n ＝2，得22＝12(4a ＋2b ＋c)；n ＝3，得70＝9a ＋3b ＋c.整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c=244a ＋2b ＋c=449a ＋3b ＋c=70，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a=3b=11c=10，于是对n ＝1、2、3，等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1) 2＝n(n+1)12(3n 2＋11n ＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n ，该等式都成立：假设对n ＝k 时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1)2＝k(k+1)12(3k 2＋11k ＋10)，当n ＝k ＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1) 2＋(k ＋1)(k ＋2) 2 ＝k(k+1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k(k+1)12(k ＋2)（3k ＋5）＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝(k+1)(k+2)123k 2＋5k ＋12k ＋24）＝(k+1)(k+2)12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]， 也就是说，等式对n ＝k ＋1也成立.综上所述，当a ＝8、b ＝11、c ＝10时，题设的等式对一切自然数n 都成立.点拨：建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.例6求焦点F(0,52),截直线y=2x-1所得弦中点的横坐标是27的椭圆标准方程.解析：设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∴c=52,即a 2-b 2=50…①,将y=2x-1代入椭圆方程中得x 2a 2+(2x-1)2b 2=1,∴(4b 2+a 2)x 2-4b 2x+b 2(1-a 2)=0, ∵x 1+x 22=27=2b 24b 2+a 2,∴a 2=75,b 2=25,∴所求椭圆方程为x 275+y 225=1.点拨：圆锥曲线中，参数（a 、b 、c 、e 、p ）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.例8已知A(1，2)、B(2，1)、C(3，2)和D(-2，3)，以→AB、→AC 为一组基底来表示→AD +→BD +→CD . 解析：→AB=(1，3)，→AC =(2，4)，→AD =(-3，5)，→BD =(-4，2)，→CD =(-5，1)， ∴→AD+→BD +→CD =(-3，5)+(-4，2)+(-5，1)=(-12，8)， 根据平面向量基本定理，一定存在实数m,n ，使得 →AD+→BD +→CD =m ·→AB +n ·→AC ， ∴(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)=(m+2n,3m+4n),∴{m+2n=-123m+4n=8,解得 {m=32n=﹣22，∴→AD+→BD +→CD =32·→AB ﹣22·→AC . 点拨：本题主要考查向量的坐标表示，向量的坐标运算、平面向量基本定理，求解时根据平面向量基本定理，利用待定系数法设等式→AD+→BD +→CD =m ·→AB +n ·→AC ，再列出关于m,n 的方程组，进而解方程求出所表示的系数.作 者：慕泽刚通信地址：重庆市九龙坡区西彭镇：重庆市渝西中学 邮 编：401326电 话：(023)65816009（宅） E -mail ：m uzega n g123@163.c om发表在《数理报》第42期2005.4.19。

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第二章 函 数
解：因为已知函数 f(x)的顶点为(1，4)，故设二次函数的解析 式为 f(x)＝a(x－1)2＋4(a≠0)， 又经过(－1，0)， 所以 0＝a(－1－1)2＋4，所以 a＝－1， 所以 f(x)＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3， 所以 f(x)＝－x2＋2x＋3．
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第二章 函 数
由函数图象求函数的解析式，关键在于分析图象由哪几种函 数组成，然后就每一类函数利用待定系数法求相应解析式．
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第二章 函 数
在体育测试时，高一的一名高个男同学推铅球， 已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图 所示．
如果这个男同学出手处 A 点的坐标是(0，2)，铅球路线的最 高处 B 点的坐标是(6，5)．
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第二章 函 数
二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式， 选择合适的表达式能起到事半功倍的效果． (1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式； (2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们 可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与 x 轴的交点或二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0 的两根，可设函数的两根式．
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第二章 函 数
3．已知抛物线 y＝ax2(a≠0)与直线 y＝kx＋1(k≠0)交于两点， 其中一交点为(1，4)，则另一交点为________． 解析：将(1，4)的坐标分别代入 y＝ax2 与 y＝kx＋1， 得44＝＝ak，＋1，解得ak＝＝43，. 再联立yy＝ ＝43xx2＋，1，解得xy＝＝41，，或xy＝＝14－. 14， 答案：－14，14
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第二章 函 数
求二次函数的解析式 已知二次函数的图象过点(1，4)，且与 x 轴的交点为 (－1，0)和(3，0)，求函数的解析式．

一、待定系数法：1、已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .2、已知二次函数()x f 满足()()2--2-x f x f =，且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数()x f 的解析式。

3、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

4、求一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1；二、配凑法：5、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式6、已知函数()11-23+=-x -x x x f ，求()x f 的解析式。

7、（1）已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0． （2）若x x x f 2)1(+=+,求)(x f8、（1）已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f （2）已知 ()211xf x x =++,求()f x .9、已知x ≠0，函数f （x ）满足f （x x 1-）=x 2+21x ，求f （x ）四、代入法：10、已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式11、已知函数()x x x f 22+=，求函数()1-x f y =的解析式。

已知)3(41)(,2)(2+=+=x x g a x x f ，若g[f(x)]=x 2+x+1，则a=_____________.12、已知f(1－cosx)=sin 2x ，则f(x)=______________.已知f(cosx)=cos5x ，则f(sinx)=______________.13、已知)3(41)(,2)(2+=+=x x g a x x f ，若g[f(x)]=x 2+x+1，则a=_____________.五、构造方程组法：14、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 15、已知3f(x)+f(x 1)=x ，求f(x)16、已知函数()x f 满足2()x x f x f 31=⎪⎭⎫⎝⎛+，求函数()x f 的解析式。