2.1.2 函数的表示方法整体设计教材分析在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数，理解同一个函数可以用不同的方法表示.第2.1.2节仍然以第2.1.1节开头的三个问题为背景，引入函数的表示方法，体现知识情境呈现的一致性.列表法、解析法和图象法是三种常用的函数表示方法.在教学中除了书中的例子外，还应引导学生多举一些社会生活或其他学科中的例子，以加深对函数表示法的理解.列表法简洁明了，函数的“输入值”与“输出值”一目了然.解析法表示函数时，函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数性质.图象法的优点是能直观地反映函数值的变化随自变量值变化的趋势.函数的三种表示方法具有内在的联系，在一定条件下，是可以相互转化的，在讲解例题的时候应给予示范和讲解.教材也通过例题3介绍了解简单的分段函数的特点及应用.分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数.分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一样.教学过程中，可让学生收集一些实例，诸如邮资、出租车费、电话费等资料.根据实例，使学生感受到函数就在身边，体会到数学知识的广泛应用性，培养学生的抽象概括能力和解决问题的能力.三维目标1.明确函数的三种表示方法.2.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.4.让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法.重点难点教学重点：1.函数的三种表示方法.2.分段函数的概念.教学难点：1.根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？2.分段函数的表示及其图象.3.求函数的解析式(特别是应用题).课时安排1课时教学过程复习1.函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2.在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3.用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？导入新课设计思路一(复习导入)让我们再来看第2.1.1节开头的三个函数问题.在第一个问题中，只要知道了某个年份，就能从此表中查得相应的人口数.这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.在第二个问题中，物体落下时间x与下落距离y的函数关系为y＝4.9x2(x≥０).这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫做函数的解析式.在第三个问题中，我们用图象表示了时刻与气温的关系.这种用图象来表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.列表法、解析法、图象法是表示函数关系的三种常用方法.设计思路二(情境导入)播放一个关于股票的视频(视频是关于上证指数的各种各样的图象——毫无规则的曲线、折线)，由此提出生活中类似这样的函数关系还很多.师：在播放视频的同时，证明现实生活当中会有各种各样的函数关系.问题：那么我们如何表示现实生活中多姿多彩的函数关系呢？推进新课新知探究函数的定义是什么？如何判断两个函数是同一个函数呢?如何来表示一个函数呢？请根据条件使用适当的方法来表示函数y=2x2+2x.(1)求f(1),f(2),f(-1).(2)不通过求f(1),f(2),f(-1)比较它们的大小.分析：通过解析式来求函数的值和数形结合的初步接触.解：(1)由函数的解析式可以解得：f(1)=4,f(2)=12,f(-1)=0，故可用解析式来表示函数. 由题意列表得：由上表可知：f(1)=4,f(2)=12,f(-1)=0.故可用列表来表示函数.(2)画出函数y=2x2+2x的图象如右图所示.由函数y=2x2+2x的图象可知，f(-1)＜f(1)＜f(2).表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.1.解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.2.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 3.图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 点评：对于(1)可选用解析法和列表法.对于(2)通过函数的图象来作比较比较简捷.通过两个问题的解答，归纳出表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.并让学生体会到各种方法的优越性. 应用示例思路1例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x(x ∈{1,2,3,4})的函数，并指出该函数的值域. 分析：本题一定要注意函数的定义域. 解：(1)解析法：y ＝2x ， (x ∈{1,2,3,4}).函数的值域是｛2，4，6，8｝. 点评：函数三种表示方法的应用.例2 画函数f(x)=|x|的图象，并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值. 分析：要画函数f(x)=|x|的图象，先去绝对值. 解：因为f(x)=|x|=⎩⎨⎧≥<-,0,,0,x x x x 所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、第二象限的一条折线，如图所示.其中f(-3)=3,f(3)=3,f(-1)=1,f(1)=1.点评：遇到含有绝对值符号的问题时，根据绝对值符号内的代数式去绝对值是常用的方法.例3 某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价7元收费，超过3 km 以外的路程按2.4元/km ，收费,试写出收费额关于路程的函数解析式.解：设路程为x km 时,收费额为y 元,则由题意得：当x≤3时,y=7；当x ＞3时,按2.4元/km ，所收费用为2.4×(x-3),那么有y=7+2.4×(x-3). 于是,收费额关于路程的函数解析式为y=⎩⎨⎧>-⨯+≤<,3),3(4.27,30,7x x x即y=⎩⎨⎧>-≤<.3,2.04.2,30,7x x x点评：①从例2和例3看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.含绝对值的函数实质上就是分段函数.②注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷(Dirichlet)函数D(x)=⎩⎨⎧,,0,,1是无理数是有理数x x 我们就作不出它的图象.例4 求函数解析式：(1)已知一次函数f(x)满足f(0)=5，图象过点(-2,1)，求f(x)；(2)已知二次函数g(x)满足g(1)=1，g(-1)=5，图象过原点，求g(x)；(3)已知二次函数h(x)与x 轴的两交点为(-2,0)，(3,0)，且h(0)=-3,求h(x)； (4)已知二次函数F(x)，其图象的顶点是(-1,2)，且经过原点，求F(x). 分析：通过本题的训练，使学生加深对待定系数法的理解和运用. 解：(1)由题意设f(x)=ax+b ，∵f(0)=5且图象过点(-2,1)，∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=.5,2125b a b a b ∴f(x)=2x+5.(2)由题意设g(x)=ax 2+bx+c ，∵g(1)=1,g(-1)=5，且图象过原点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++,0,5,1c c b a c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==,0,2,3c b a∴g(x)=3x 2-2x.(3)由题意设h(x)=a(x+2)(x-3),又∵h(0)=-3,∴-6a=-3,得a=21, ∴h(x)=21x 221-x-3. (4)由题意设F(x)=a(x+1)2+2，又∵图象经过原点，∴F(0)=0,∴a+2=0,得a=-2, ∴F(x)=-2x 2-4x.点评：①已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法； ②基本步骤：设出函数的一般式(或顶点式等)，代入已知条件，通过解方程(组)确定未知系数.思路2例1 某种笔记本每个5元，买x(x ∈{1,2,3,4})个笔记本的钱数记为y(元)，试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图象. 分析：本题一定要注意函数的定义域.解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A(1，5)、B(2，10)、C(3，15)、D(4，20)组成，如下图所示：点评：使学生初步感受函数的图象可以是离散的点.例2 国内投寄信函(外埠)，每封信函不超过20 g 付邮资80分，超过20 g 而不超过40 g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0＜x≤100)的信函应付邮资为(单位：分)，试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图象. 分析：这是一道生活中函数的实际熟悉的例子，在不同的定义域中函数的表达方式是不同的，因而在书写解析式的时候一定要仔细认真.解：这个函数的定义域集合是{x|0＜x≤100}，函数的解析式为:y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x这个函数的图象是5条线段(不包括左端点)，都平行于x 轴，如图所示.例3 画出函数y=|x|，(-1≤x≤1)的图象.分析：通过对分段函数图象的作法来感受函数图象的多样性.对于常见函数由于其特征学生很熟悉，故一般只要选几个关键点，但要注意人为限制的定义域对图象的影响.对分段函数可先处理为若干段常见函数，在转折点的取舍上格外注意.解：这个函数的图象是两条线段，分别是第一象限和第二象限的角平分线的一部分，如下图所示：例4 作出分段函数y=|x-1|+|x+2|的图象. 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即y=|x-1|+|x+2|=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<--≤+-.1,12,12,3,2),12(x x x x x作出图象如下:点评：注意函数图象的精细化.1.函数的图象通常是一些连续的曲线或直线，但有时它也可以是一段或几段光滑曲线，也可以由一些孤立点或几段线段组成，还可以由折线或射线构成，或者是点、线段、射线、折线、直线和曲线组合而成，甚至可以是一些无规则的曲线.2.有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数. 知能训练课本第31页练习1、2、3、4. 解答：1.y=1 852x,x ∈[0,+∞). 2.如图：3.S=x(15-x),x ∈(0,15)，图象如下：4.(1)、(4).点评：1.一次函数的简单应用.2.分段函数图象的作法.3.二次函数模型的正确建立并注意区间的限制.4.函数图象囊括了函数的一切性质，因而在图象上必须满足函数的性质.课堂小结1.函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.2.会画一些简单函数的图象.3.学习了用函数的知识解决实际问题，其关键是通过认真分析题意将实际问题抽象，转化成数学问题，再去求解数学问题，从而回答实际问题.这就是数学建模思想在实际问题中的具体应用.作业课本第32页习题2.1(2) 3、5.设计感想学生是教学的对象，又是教学活动的主体，因此学生主体性的发挥影响着学生对数学知识的理解和掌握，影响着学生的数学意识和数学能力的提高.对于导入的设计思路二，我是这样设计的：开始上课先复习函数的概念，紧接着插入一个关于股市股票指数的视频，视频中各种各样的图象——毫无规则的曲线、折线，由此提出生活中类似这样的函数关系还很多，那么我们如何表示呢？这样一开始就引人入胜，会激发学生浓厚的学习兴趣，使学生一下子变得非常专注.在学生观看了视频后，先引导学生学习熟悉的第一种表示方法——解析法.如果要表示1990—2000年国民生产总值用解析法就很不方便，由此引出第二种表示法——列表法，然后通过分析前述两种方法的优劣，提出生活中有的函数用解析法、列表法很不方便，由此引出图象法.新课程十分注重学生主体参与师生互动，注重知识的运用，注重学生思维能力和创新能力的培养，所以在讲完表示法之后的例题教学中，先由学生自我尝试解答，而后用实物投影展示学生尝试的成果.同时教师通过多媒体课件点评解法，让学生感受函数的三种表示法.习题详解课本第32页习题2.1(2)1.设下落距离为y m,下落时间为x s,且y=ax2(a≠0),由题意得：19.6=4 a,所以a=4.9.所以y=4.9x2 .当x=3时,y=44.1，故物体下落了44.1 m.2.设销售价上涨x元,则销售量为100-10x,销售利润为y=(x+10-8)(100-10x),即y=10(x+2)(10-x)，(x∈N且0≤x≤10).(1)销售价为13元时,x=3,y=350，即售价为13元时每天的销售利润为350元；(2)y=360时,x=4，即如果销售利润为360元,那么销售价上涨了4元. 3.由题意可知f(x)=⎩⎨⎧+∞∈-∈-),,11(,44],11,0[,622x x xf(3.5)=22-6×3.5=22-21=1,即高度为3.5 km 的气温是1 ℃； f(12)=-44,即高度为12 km 的气温是-44 ℃. 4.由题意可知y=480+320(x+x4),x ∈(0,+∞). 5.如图所示： y=-x 2+x+1， x ∈[-1,1].6.此题是开放性题目,答案不唯一.例如f(x)=x 0,g(x)=⎩⎨⎧==)4,3(,3),2,1(,1x x 等.7.f[f(-2)]=f(4)=4.8.图象是y=x 3(x ∈R )图象上9个离散的点.如图:9.D.y 必须随x 的增大而减小,因为跑步时的速度要比走路时快,所以该人离单位的距离y 的变化是“先快后慢”.10.不唯一.例如,y=x 2,y=3x-2,y=7x6-. 11.(1)4 000+50×1 000=54 000,即一天生产100双皮鞋的成本是54 000元； (2)由48 000=4 000+50n 得n=880,即这一天生产了880双皮鞋；(3)由P=40n-4 000≥0,得n≥100,即若每双皮鞋的售价为90元,且生产出的皮鞋全部售出,则这一天的利润P 关于这一天生产数量n 的函数关系是P=40n-4 000(n ∈N *),每天至少生产100双皮鞋才能不亏本. 12.略.13.无数个.如y=x 2,x ∈[1,2],y=x 2,x ∈(-2,23].。
