函数的单调性与导数导学案
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导数与函数的单调性（导学案）
学习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
学习过程
一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处） 复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个自变量x 1，x 2∈I ， 当x 1＜x 2时，都有12()()
f x f x <，那么函数f (x )在区间I 上单调递增。
当x 1＜x 2时，都有
12()()f x f x >，那么函数
f (x )在区间I 上单调递减。
复习2：导数的定义与几何意义是什么.
几何意义：函数 y=f(x) 在点 x 0 处的导数 f '(x 0), 就是曲线y =f (x ) 在点 P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率. 复习3：'0
C =
；1
()'n n x n x
-=；(sin
)'co s x x
=；(co s )'sin x x
=
-；1(ln
)'x x
=
；
1(lo g )'ln a x x a
=
；()'x x
e e
=
；()'ln x x
a a a
=
；
复习4：
2
()()()
()
g x g x f x g
x '-二、新课导学
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系： 问题：我们知道，曲线()
y
f x =在点0x 的切线的斜率就是函数()
y
f x =在该点的导数
0()
f x '。
从函数3
42
+-=x x y 的图像来观察其关系：
()()
'()=lim
lim
x x y f x x f x f x x
x
∆→∆→∆+∆-=∆∆
一般地，设函数()
y
f x =在某个区间内有导数， 如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增； 如果在这个区间内0
y '<
，那么函数()
y
f x =在这个区间内单调递减。
三、典型例题
例1：求出下列函数的单调区间： （1）
3
2
()233616
f x x x
x =--+（2）
()2ln f x x x
=-
解：（1）
（2）
反思与归纳：
1、第（1）小题提醒我们注意： 第（2）小题提醒我们注意：
2、用导数求函数单调区间的三个步骤： ①求定义域 ②求函数f (x )的导数()
f x '.
③令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. 令
()0
f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.
例2. 已知函数1()2f x a x x
=-
，(0,1]x ∈，若
()
f x 在(0,1]x ∈为增函数，求实数a 的取值
范围。
反思与归纳：
四、拓展提升
探究任务二：如果在某个区间内恒有()0
f x '=，那么函数
()
f x 有什么特性？
探究任务三：如果函数()
y f x =在某个区间上单调递增，那么在该区间上必有
()0
f x '>吗？如函数3
()f x x =
的单调性如何？导数
()
f x '一定大于0吗？
新知2；
如果函数()y f x =在某个区间上单调递增（递减），那么在该区间上必有
()0
f x '≥（()0
f x '≤）且()
f x '在任何子区间内不恒等于0.
五、当堂检测（限时：10分钟 满分：10分）
1.函数
3
()f x x x
=-的增区间是 ，减区间是
2.函数y ＝12
x 2
－ln x 的单调减区间是 ( )．
A ．(0,1)
B ．(0,1)∪(－∞，－1)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，＋∞) 3.若在区间(,)a b 内有
()0
f x '>，且
()0
f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）
A ．
()0
f x > B ．
()0
f x < C ．()0
f x = D ．不能确定
4.若函数f (x )＝3
x －a 2
x －x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ≥1 B ．a ＝1 C ．a ≤1 D ．0<a <1
5.若
3
2
()(0)
f x a x b x c x d a =+++>为增函数，则一定有（ ）
A ．240b a c -<
B ．230b a c -<
C ．2
40
b a
c -> D ．2
30
b a
c ->
六、课后作业
1.求出下列函数的单调区间：（1）
32
()f x x x
x
=+-；（2）
()x
f x e
x
=-；
2.已知函数
1()2
a x f x x +=
+在区间(2,)-+∞上单调递减，求实数a 的取值范围。
