初中几何定值问题

1 专题13 几何中的最值与定值问题

【类型综述】

线段和差的最值问题，常见的有两类：

第一类问题是“两点之间，线段最短”．

两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．

【方法揭秘】

两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．

三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．

两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．

解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．

图1 图2 图3

如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB上，那么△BPQ周长的最小值是多少呢？

如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊．

第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ．

第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH．

这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的．

2 图4 图5 图6

【典例分析】

例1 如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．

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圆中最值域定值问题研究

类型一：

例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。求MP+NP的最小值。

例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。求PC+CD的最小值。

例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。求PE+PF的最小值。

类型二：折叠隐圆

基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.

例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。

例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？

例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？

类型三：随动位似隐圆

例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？

分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。

方法归纳：

1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。则点M运动轨迹为圆O2，且O2为AO1的中垂线与O1的交点。

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第二十四讲 几何的定值与最值

几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.

几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:

1.特殊位置与极端位置法;

2.几何定理(公理)法;

3.数形结合法等.

注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中,由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.

【例题就解】

【例1】 如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为

.

思路点拨 如图,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,DQ⊥CC′,CD2=DQ2+CQ2,DQ=21AB一常数,当CQ越小,CD越小,本例也可设AP=x,则PB=x10,从代数角度探求CD的最小值.

注:从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:

(1)中点处、垂直位置关系等;

(2)端点处、临界位置等.

【例2】 如图,圆的半径等于正三角形ABC的高,此圆在沿底边AB滚动,切点为T,圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而言, MTN为的度数( )

A.从30°到60°变动 B.从60°到90°变动

C.保持30°不变 D.保持60°不变

思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时,其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断.

叶１号数学商分之路　《数　天地》书Ｕ巾版　

“定值型”　向题　动态几何题之二　

袁亚平　丁玉兰（浙江省嵊州市城关中学　３１２４００）　

１．长度定值　例１　如图１，点Ｐ是矩形　

ＡＢＣＤ的边ＡＤ上的一个动　

点，ＡＢ一３，ＢＣ－一４，求点Ｐ到　矩形的两条对角线ＡＣ和ＢＤ　

的距离之和．（２Ｏｌｏ年山东聊城）　图１　在ＲｔＡＯＡＦ中，　

解　因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，　

所以由勾股定理得ＡＣ—ＢＤ一５．　过点Ｐ分别作ＡＣ、ＢＤ的垂线ＰＥ、ＰＦ，　易得　△ＰＤＦ∽ＡＢＤＡ，　

所以　器一　一譬，　

所以　ＰＦ一导ＰＤ，同理ＰＥ一导ＰＡ，　

所以ＰＥ＋ＰＦ一善（ＰＡ＋ＰＤ）一萼．　

故所求距离之和为萼．　

注本题是动点定值问题，若出现在选择　题中，则可用特殊点法求解，譬如Ｐ与Ａ重合、　

Ｐ与Ｄ重合或Ｐ为ＡＤ的中点等．　

２．角度定值　Ｃ　

例２　如图２，ｏ０的半径为　１，点Ｐ是ｏ０上一点，弦ＡＢ垂直　‘、、　平分线段（）Ｐ，点Ｄ是ＡＰＢ上任一　

点（与端点Ａ、Ｂ不重合），Ｄ　ｌ　ＡＢ　

于点Ｅ，以点Ｄ为圆心、ＤＥ长为半　径作（三）Ｄ，分别过点Ａ、Ｂ作（三）Ｄ　

的切线，两条切线相交于点Ｃ．　

（１）求弦ＡＢ的长；　图２　

（２）判断　ＡＣＢ是否为定值？若是，求出　

ＡＣＢ的大小；否则，请说明理由；　

（３）略．　（２０１０年广东广州）　解　（１）连接ＯＡ，设ＯＰ与ＡＢ的交点为　

Ｆ，则Ｃ　一１．　

因为　弦ＡＢ垂直平分线段ＯＰ，　

１　１　所以（）Ｆ一寺０Ｐ一寺，ＡＦ—ＢＦ．　ＡＦ一、　Ｆ＝＝＿　一　厂——　—　√　一（专）　，／３　一　’　

所以　ＡＢ一２ＡＦ＝＝：、／３．　（２）　ＡＣＢ是定值．　理由：由（１）易知　Ａ０Ｂ—ｌ２０。．　

因为　点Ｄ为△ＡＢＣ的内心．　所以连接ＡＤ、ＢＤ，则　

ＣＡＢ一２　ＤＡＥ，　ＣＢＡ一２　ＤＢＡ，　１　因为　ＤｌＡＥ＋　ＤＢＡ一÷ＺＡＯＢ＝＝＝６０。，　厶　所以　ＣＡＢ＋　ｃＢＡ＝＝＝１２Ｏ。，　

所以　ＡＣＢ一６０。．　（３）略．