初中定值问题的思路

1/3 《定值问题》专题精讲

1.定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.

(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.

(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.

2.探索圆锥曲线定值问题的两种方法

(1)从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

解答的关键是认真审题,理清问题与题设的关系,建立合理的方程或函数,利用等量关系统一变量,最后消元得出定值.

典例1 如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.

(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;

(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明:|FP|−|FP|cos2α为定值,并求此定值.

思路:理解抛物线与直线位置关系的定值问题,求|FP|−|FP|cos2α定值,属于求代数式为定值.依题意设条件,推测、分析、计算得到与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.

解析:(1)焦点F(2,0),准线l:x=−2.

(2)直线AB:y=tanα(x−2),①

将28yx代入①,

整理得y2tanα−8y−16tanα=0,②

2/3 设方程②的两根为y1,y2,则12128,tan16.yyyy

设AB中点为M(x0,y0),则120004,2tan2,tanyyyyx

AB的垂直平分线方程是

21144(2)tantantanyx.

第6讲 圆锥曲线定值问题（先构造函数，再消去参数）

一、考情分析

在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作用．

探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值

二、经验分享

1.定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；

(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；

(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

2.【知识拓展】

1.设点,Pmn是椭圆C：222210xyabab上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若PAPBkk，则0时直线AB斜率为定值220bmnan，若0，则直线AB过定点2222,nbmmna；

2. 设点,Pmn是双曲线C：222210,0xyabab一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若PAPBkk，则0时直线AB斜率为定值220bmnan，若0，则直线AB过定点

2222,nbmmna；

3. 设点,Pmn是抛物线C：220ypxp一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若PAPBkk，则0时直线AB斜率为定值0pnn，若0，则直线AB过定点22,npmn；

相似三角形与定值问题

1、如图，已知平面直角坐标系中，A（4，0），P为y轴负半轴上一动点，OM⊥AP于点M，C为OA上一点，且AO=2OC，过点A和点M分别作x轴和CM的垂线相交于点E，则当P点在y轴负半轴上运动时，OP•ME的值是否发生变化，若不变，求出值；若变化，求出变化范围。

2、如图，已知平面直角坐标系中，直线3xy交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段OA的中点，F为BC上一点，且CF=21OB，连AF并延长交y轴于点E，则OEBF的值是否发生变化，证明你的结论.

3、已知平面直角坐标系中，直线kkxy1经过一定点A，直线2x21y2交x轴于点B，交y轴于点C。

（1）如图1，过B点作BD⊥X轴，且BD=OC，取OB,AD,OC的中点F,E,H，判断△EFH的形状并证明。

（2）如图2，以O1（3，4）为圆心，2为半径作⊙O1交直线y1于点P,Q，且直线y1交线段BC于点N，M为线段PQ的中点，探究：AM•AN的值是否发生变化？若不变，求其值。

4、如图，平面直角坐标系中，直线52x21y交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为直角边做Rt△ABD，其中∠ABD=90o，BD交x轴于点C，AD交y轴于点E，P为线段BC上一动点，过P点作直线与x轴平行，交AB和DA的延长线分别于点M,N，现给出条件：①BC=CD;②DE=CD.请你从中挑选一个条件证明：当P点运动时，PM+PN是定值，并求出这个值。

5、已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，直线是y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A和点B，曲线是函数y=2x1的图象在第一象限内的分支，点P（a，b）是这条曲线上任意一点，由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN分别与直线AB相交于点E和点F。 EACMPOxyCFEOBAxy图1DHFECBAOxyO1MQPN图2CBAOxyEDOCPBMANxy （1）设点E和F都在线段AB上（如图），分别求点E、F的坐标（分别用a、b的代数式表示点E、F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）；

一次函数定值问题

（考查内容：一次函数、全等、定值）

题1：如图①所示，直线L：5ymxm与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。

(1)当OA=OB时，试确定直线L的解析式；

(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。

(3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。

问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

第2题图①

第2题图②

第2题图③

2、

①∵直线L：y=mx+5m，

∴A（-5，0），B（0，5m），

由OA=OB得5m=5，m=1，

∴直线解析式为：y=x+5

②∵AM垂直OQ，BN垂直OQ,所以角AMO=角BNQ=9O°

∴BN平行AM（同位角相等，两直线平行）

∴角ABN=角BAM=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵角BAO+角ABO=9O°（互余）

∴角MAO+角OBN=90°

又∵角MAO+角AOM=90°

∴角AOM=角OBN

∴△AOM≌△BON

最后得到BN=3

③过E作EM垂直于OP的延长线，

可证EMB全等于AOB,（至于怎么证明，请自己想）

因此EM=OB,而OB=BF,

∴EM=BF，

而EM平行于BF,

∴EMP全等于OBF，MP=BP，

令外Y=0，X=-5,

∴AO=ME=5,PB=MP=5/2=2.5 是定值