傅里叶级数

傅里叶级数(Fourier Series )引言正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数y Asin( t )2就是一个以为周期的函数。

其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，为角频率，为初相。

但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。

2具体地说，将周期为T( )的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数A n sin(n t n)组成的级数来表示，记为f(t) A o A n Sin(n t n)n 1其中A0，A n，n(n 1,2,3,)都是常数。

将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。

在电工学上，这种展开称为谐波分析。

其中常数项A0称为f (t)的直流分量；A1sin( t 1)称为一次谐波(又叫做基波)；而A2 sin(2 t 2)，A3sin(3 t 3)依次称为二次谐波，三次谐波，等等。

为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数A n sin(n t n)按三角公式变形，得A n sin(n t n) A n sin n cos n t A n cos n sin n t，令-0A0 , a门A n si n n ,b n A n cos n, t x，则上式等号右端的级数就可以改写成a o 2(a n cosnx b n sin nx) n 1这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。

1•函数能展开成傅里叶级数的条件(1)函数f(x)须为周期函数；(2)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；(如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x o 0)及右极限f(x o 0)都存在，那么X0称为函数f (x)的第一类间断点)(3)在一个周期内至多只有有限个极值点。

若满足以上条件则f (x)能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x是f (x)的连续点时，级数收敛于f(x)，当x是f (x)的间断点时，级数收敛于12【f(x 0) f(x 0)］。

、以上也是收敛定理(狄利克雷( Dirichlet )充分条件)的内容。

2•函数展开成傅里叶级数(1 )首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：所谓三角函数1，cosx,sin x,cos2x,sin 2x, , cosnx,sin nx, ①在区间［,］上正交，就是指在三角函数系①中任何不同的两个函数的乘积在区间［,］上的积分等于零，即cosnxdx 0(n1,2,3)，sin n xdx 0(n1,2,3),sin kxcos nxdx0(k, n1,2,3),coskxcosnxdx0(k, n1,2,3,k n),sin kxsin n xdx0(k, n1,2,3,k n).(2)傅里叶系数的推导设f (x)是周期为2 的周期函数，且满足收敛定理的条件，贝y函数f(x)的傅里叶级数记f(x) a02(a n cos nx b n sin nx) n1那么傅里叶系数a0,a1,b1, 如何利用f (x)表达出来?先求a0，对②式从到逐项积分:f (x)dx a°dx2 a nn 1cosnxdx b n sin nxdx 根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则:f (x)dx 也22从而得出ao - f (x)dx其次求a n，用cos nx乘②式两端，再从逐项积分，可得a0f (x) cos nxdx cos nxdx a n2cos nxdx b n sin nxcosnxdx根据三角函数系①的正交性，可以得出:2f (x) cos nxdx a n cos nxdx a n 1 cos2nxa na n - f (x) cos nxdx (n 1,2,3 ).类似地，用sinnx乘②式两端，再从逐项积分，可得f (x)s inn xdx sin n xdx2a n sin nxcos nxdxb n sin 2nxdx 根据三角函数系①的正交性，可以得出:f (x)s inn xdx a n sin2n xdx an1 cos2nx , b n1b n f (x) s inn xdx (n 1,2,3 )由于当n 0时，a n的表达式正好给出a o，因此，已得结果可以合并写成a n - f (x) cos nxdx (n 0,1,2,3 )，1bnf (x)sin nxdx (1) s inn xdx0 sin nxdxcos nx 0cos nx[1 cosn n2—[1 ( 1)n ] ncosn1]4,n 1,3,5, n0, n 2,4,6,将求得的傅里叶系数代入，得出f(x)的傅里叶级数展开式为:x 0, f(x) 1,将f (x)展开成傅里叶级数。

它在点x k (k 0, 1, 2,)处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理可知f (x)的傅里叶级数收敛，且当 x k 时级数收敛于1 1 1 ( 1) 0，2 2当x k 时级数收敛于f(x)。

计算傅里叶系数如下:(n 0,1,2,3 )；bnf(x)sin nxdx (n 1,2,3),例：设f(x)是周期为的周期函数，它在)上的表达式为1, 所给函数满足收敛定理的条件,anf (x)cos nxdx 1(1) cos nxdx -cosnxdx11 0b nf (x)s in n xdx f (x)s in n xdx xsinn xdxf ( x)sin( nx)(dx)1xsinn xdx更换它的符号，得(n 0,1,2,).同理4 1 f (x) sin x sin3x31sin (2k 1)x2k 13•奇函数和偶函数的傅里叶级数0,,2 ,).定理：设f(x)是周期为2的函数，满足收敛定理的条件，则① 当f(x)为奇函数时，它的傅里叶系数为a n 0 (n 0,1,2,), 2f (x) s in nxdx (n 1,2,3,).b n② 当f(x)为偶函数时，它的傅里叶系数为a n - 0 f (x) cosnxdxb n 0 (n 1,2,3,(n 0,1,2,), F 面对这个定理加以证明 (1 )证设f(x)为奇函数，即f( an -f (x) cosnxdx 1 0f(x)cosnxdx)•x)f (x)。

按傅里叶系数公式有:0 f(x)cosnxdx利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以x 代替x ，然后对调积分的上下限同时an1f ( x) cos( nx)( dx) 一 0 f(x)cosnxdx o f (x) cos(nx)(dx)f (x) cos nxdx0 (n 0,1,2,).这个定理说明了 ：如果 f (x)为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数(2 )证anbnf (x) sin n xdx —q f(x)sinnxdx设f(x)为偶函数，即 (1)利用定积分换元法1f (x) cosnxdx 0f(x)cosnxdx f ( x) cos( nx)( f (x) cos(nx)(dx) f(x)cosnxdxf (x)s in n xdx f (x)s in n xdx f ( x)sin( nx)( 1-0 f(x)sinnxdx(n f( dx) (n dx)xsin nxdx 1,2,3,).x) f(x)。

f (x) cos nxdx 1-0 f(x)cosnxdx 0 f(x)cosnxdx0,1,2,3,).xsinn xdx10 xsinnxdxxsin n xdxb n sin nxn 1如果f (x)为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数4•傅里叶级数的复数形式傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。

设周期为2周期函数f (x)的傅里叶级数为00_2 a n cos nx.n 1其中系数a n ,b n 为利用欧拉公式it itit it, ee.,e eCCO Tcos t，sin t22i③式化为aan inx (e -inxibn e )inxinx、(ee )2n1 2 2a2(a n cosnx b n sin nx)n 1a2an ib n e inx2 an ib n e2inx )a。

2 c o , an ib n2 an ib n2(n 1,2,3,),则⑤式就表示为 ainxc n e24 nn 1cn einx).Ge inx )n 0ninxinx 、c n ecn e)•1inxc n e⑥式即为傅里叶级数的复数形式。

系数c n 的计算1anf (x) cos n xdx (n 0,1,2,), bnf (x)sin nxdx(n1,2,3,).根据④式可得出c0a02f (x)dxc na n ib nf(x)cosnxdx - f (x) cosnxf(x)e inx dx f (x) sin nxdxi sin nxdx(n 1,2,3,a n2ib n2将已得的结果合并为:f (x)e inx dx (n 1,2,3,)1C n2⑦式就为傅里叶系数的复数形式。

f(x)e inx dx (n 0, 1, 2, ).傅里叶级数的两种形式，在本质上是样的, 但复数形式比较简洁, 且在电子技术中经常用到这种形式。