11傅里叶级数幂级数

幂级数与傅里叶级数的性质与应用研究在数学领域中，幂级数和傅里叶级数是两个重要的概念。

它们在各个领域都有广泛的应用，从物理学到工程学，从经济学到计算机科学。

本文将探讨幂级数和傅里叶级数的性质以及它们在实际应用中的研究。

首先，我们来了解一下幂级数的性质。

幂级数是一种形如∑a_nx^n的级数，其中a_n是系数，x是变量。

幂级数的收敛性与其收敛半径有关。

收敛半径是一个重要的性质，它告诉我们在哪个范围内幂级数是收敛的。

幂级数的收敛半径可以通过求解极限来确定，常用的方法有比值判别法和根值判别法。

幂级数的收敛性质对于其应用具有重要意义，因为只有在幂级数收敛的范围内，我们才能对其进行运算和应用。

幂级数的应用非常广泛。

在物理学中，幂级数可以用于描述物理量的变化规律。

例如，泰勒级数是一种特殊的幂级数，可以用来近似计算函数的值。

在工程学中，幂级数可以用于建模和解决实际问题。

例如，电路分析中常用的传输线模型就是通过幂级数展开来得到的。

在经济学中，幂级数可以用于描述经济变量的关系。

例如，经济增长模型中的产出函数就可以用幂级数来表示。

在计算机科学中，幂级数可以用于图像处理和数据压缩等领域。

例如，傅里叶级数可以用于图像的频域分析和信号处理。

接下来，我们来讨论一下傅里叶级数的性质。

傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数（正弦和余弦）的级数。

傅里叶级数的基本思想是将一个周期函数表示为无穷多个正弦和余弦函数的和。

傅里叶级数的系数可以通过计算函数的积分来求得，这个过程称为傅里叶变换。

傅里叶级数的性质包括线性性、平移性、尺度性和共轭对称性等。

这些性质使得傅里叶级数在信号处理和频域分析中具有重要的应用。

傅里叶级数的应用非常广泛。

在物理学中，傅里叶级数可以用于描述波动现象。

例如，声音和光的传播都可以通过傅里叶级数来分析。

在工程学中，傅里叶级数可以用于信号处理和滤波器设计。

例如，数字音频和图像的压缩算法就是基于傅里叶级数的。

在经济学中，傅里叶级数可以用于时间序列分析和经济预测。

傅里叶级数和傅里叶变换第九章傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。

例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。

为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。

当然这类函数也要体现出周期性。

这类函数称为周期函数。

在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。

但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。

9.1周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数凡满足以下关系式：«Skip Record If...»（T为常数）（9.1.1）的函数，都称为周期函数。

周期的定义（1）满足式（9.1.1）的T值中的最小正数，即为该函数的周期；（2）一个常数以任何正数为周期。

9.1.2基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。

如下形式的函数系：1，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…（9.1.2）称为基本三角函数系。

所有这些函数具有各自的周期，例如«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的周期为«Skip Record If...»，但它们的共有周期为«Skip Record If...»（即所有周期的最小公倍数）。

幂级数与傅里叶级数幂级数和傅里叶级数都是数学中重要的级数表示方法，它们在数学分析、信号处理、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。

本文将对这两种级数进行介绍，并探讨它们之间的关系。

一、幂级数的定义与性质幂级数是指形如$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$的级数，其中$a_n$是常数系数，$x$是变量。

幂级数的收敛域是指在哪些$x$取值下该级数是收敛的。

收敛域的确定可以通过幂级数的收敛半径和收敛区间来刻画。

当$x$在收敛区间内时，幂级数绝对收敛；在收敛区间的边界上，幂级数可能收敛也可能发散；在收敛区间外，幂级数一定发散。

幂级数具有线性性质，即如果$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$和$$\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$$都是收敛的幂级数，那么对于任意常数$c_1$和$c_2$，级数$c_1\sum_{n=0}^\inftya_nx^n+c_2\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$也是收敛的幂级数。

幂级数可以表示为函数形式，被表示的函数称为幂级数的和函数。

幂级数和函数通常在其收敛域内具有连续性、可导性和可积性等性质。

因此，通过幂级数可以表示各种不同类型的函数，如多项式函数、指数函数、三角函数以及解析函数等。

二、傅里叶级数的定义与性质傅里叶级数是指将一个周期函数表示为三角函数（正弦函数和余弦函数）的级数和的形式。

一个周期为$T$的函数$f(x)$可以表示为以下形式的傅里叶级数：$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_n\sin(\frac{2\pi n}{T}x))$$其中，$a_0$、$a_n$和$b_n$是函数$f(x)$的系数，可以通过积分的方式计算得出。

傅里叶级数有一些重要的性质。

首先，如果一个函数可以表示为有限项的傅里叶级数，则该函数是一个连续函数。

第15章傅里叶级数§15.1傅里叶级数一 基本内容一、傅里叶级数 在幂级数讨论中1()nn n f x a x ∞==∑，可视为()f x 经函数系线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}nx x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．1三角函数系函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质．(1)周期性每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2)正交性任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为(),()()()d bn m n m a u x u x u x u x x=⋅⎰，如果0 (),() 0 n m l m nu x u x m n ≠=⎧=⎨≠⎩，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系．由于1, sin 1sin d 1cos d 0nx nx x nx x ππππ--=⋅=⋅=⎰⎰；sin , sin sin sin d 0 m nmx nx mx nx x m n πππ-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰；cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n πππ-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰；sin , cos sin cos d 0mx nx mx nx x ππ-=⋅=⎰；2 1, 11d 2x πππ-==⎰，所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b 为常数2以2π为周期的傅里叶级数定义1设函数()f x 在[],ππ-上可积，11(),cos ()cos d k a f x kx f x kx xππππ-==⎰0,1,2,k =；11(),sin ()sin d k b f x kx f x kx xππππ-==⎰1,2,k =，称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数称为()f x 的傅里叶级数，记作()f x ～()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑．这里之所以不用等号，是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()f x ．二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-++=∑，其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．定义2如果()[, ]f x C a b '∈，则称()f x 在[,]a b 上光滑．若[,),(0),(0)x a b f x f x '∀∈++存在；(,],(0)x a b f x ∀∈-，(0)f x '-存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．推论如果()f x 是以2π,]ππ-上按 段光滑，则x R ∀∈，有()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑．定义3设()f x 在(,]ππ-上有定义，函数称()f x 为的周期延拓．二 习题解答1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1)(),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<；解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰．当1n ≥时，11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰，1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰，所以11sin ()2(1)n n nxf x n ∞+==-∑，(,)x ππ∈-为所求．(ii)、()f x =x ，(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰．当1n ≥时，220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰，2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰，所以1sin ()2n nxf x n π∞==-∑，(0,2)x π∈为所求． (2)2()(i) (ii) 02f x =x , -π<x <π,<x <π；解：(i)、()2f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得220112()d d 3a f x x x x πππππππ--===⎰⎰．当1n ≥时，222224cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ--=-=-⎰，2222sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰，所以221sin ()4(1)3nn nxf x n π∞==+-∑，(,)x ππ∈-为所求．()2f x =x0a =当1n ≥时，222220224cos cos d |x nx nx x n n n ππππ=-=⎰，2222004224sin sin d |x nx nx x n n n n ππππππ=-+-=-⎰，所以22214cos sin ()43n nx nx f x n n ππ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑，(0,2)x π∈为所求．(3)0()(,0,0)0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得000111()()d d d 2b a a f x x ax x bx x ππππππππ---==+=⎰⎰⎰．当1n ≥时，所以21()2()1()cos(21)4(21)n b a b a f x n x n ππ∞=--=+--∑11sin ()(1)n n nxa b n ∞+=++-∑，(,)x ππ∈-为所求．2设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有2 11()cos d ()cos d ,0,1,2,c n c a f x nx x f x nx x n πππππ+-===⎰⎰， 2 11()sin d ()sin d ,1,2,c n cb f x nx x f x nx x n πππππ+-===⎰⎰．证：因为()f x ，sin nx ，cos nx 都是以2π为周期的可积函数，所以令2t x π=+有c+2 c+211()cos d ()cos d f t nt t f x nx xππππππ==-⎰⎰．从而2 1()cos d c n ca f x nx xππ+=⎰1()cos d f x nx xπππ-=⎰．同理可得2 11()sin d ()sin d c n cb f x nx x f x nx xπππππ+-==⎰⎰．3把函数04()04x f x x ππππ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出(1)11114357π=-+-+；(2)111111357111317π=+--+-+；11111157111317=-+-+-+．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得00111()d d d 044a f x x x x πππππππππ---==+=⎰⎰⎰．当1n ≥时，0011cos d cos d 044n a nx x nx x ππππππ--=+=⎰⎰．11211[1(1)]202n n k nn n k+⎧=+⎪=--=⎨⎪=⎩，故11()sin(21),(,0)(0,)21n f x n x x n ππ∞==-∈--∑为所求．(1)取2x π=，则11114357π=-+-+；(2)由11114357π=-+-+得111112391521π=-+-+，于是111111341257111317πππ=+=+--+-+；(3)取3x π=，则111111457111317π⎫=-+-+-+⎪⎝⎭，11111157111317=-+-+-+．4设函数()f x 满足条件()()f x f x π+=-，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=-，所以(2)()()f x f x f x ππ+=-+=，即()f x 是以2π为周期的函数． 于是由系数公式得11()d ()d 0f t t f x x πππππ=++=⎰⎰．当1n ≥时，02()cos d 2102f x nx x n k n k ππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰．02()sin d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰，故当()()f x f x π+=-时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是20k a =，20k b =． 5设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=，所以(2)()()f x f x f x ππ+=+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得112()d ()d ()d f t t f x x f x xπππππππ=++=⎰⎰⎰．当1n ≥时，02()cos d 2021f x nx x n k n k ππ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰． 02()sin d 2021f x nx x n k n k ππ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰，故当()()f x f x π+=时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是210k a -=，210k b -=． 6试证函数系cos , 0,1,2,nx n =和sin , 1,2,nx n =都是[0, ]π上的正交函数系，但他们合起来的却不是[0, ]π上的正交函数系．证：就函数系{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx ，因为n ∀，1,1d x ππ==⎰，2001cos ,cos cos d (cos21)d 22nx nx nx x nx x πππ==+=⎰⎰，又1,cos cos d 0nx nx x π==⎰；,m n ∀，m n ≠时，0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ=++-=⎰⎰．所以{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系．就函数系{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx ，因为n ∀，2001sin ,sin sin d (1cos2)d 22nx nx nx x nx x πππ==-=⎰⎰，又,m n ∀，m n ≠时，0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ=-++-=⎰⎰．所以{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系． 但{1,sin ,cos ,sin 2,cos2,,sin ,cos ,}x x x x nx nx 不是[0, ]π上的正交系．实因：1,sin sin d 10x x x π==≠⎰．7求下列函数的傅里叶级数展开式(1)(),022x f x x ππ-=<<；(),02x f x x ππ-=<< 0a 当1n ≥时，22001sin sin d 022|x nx nx x n n πππππ-=+=⎰，220011cos cos d 22|x nx nx x n n n πππππ-=--=⎰，所以1sin ()n nxf x n ∞==∑，(0,2)x π∈为所求．(2)()f x x ππ=-≤≤；解：()f x x ππ=-≤≤作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．因为02()02x x f x x x ππ-≤<==⎨⎪≤≤⎪⎩，所以由系数公式得0sin d sin d 22x x x x ππ-=+=．当1n ≥时，sin cos d 2x nx x π==．0sin sin d sin sin d 022n x x b nx x nx x ππππ-=+=⎰．所以211()cos 41n f x nxnππ∞==--，(,)x ππ∈-．而x π=±时，(0)(0)()2f f f πππ±-+±+==±，故211()cos 41n f x nxnππ∞==--，[,]x ππ∈-为所求．(3)2(), (i) 02, (ii) f x ax bx c x x πππ=++<<-<<；解：(i)由系数公式得22218()d 223aax bx c x b cππππ=++=++⎰．当1n ≥时，24an =， 42a n n ππ=--， 故224()3a f x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a bnx nx x n n ππ∞=++-∈∑为所求．(ii)由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰2212()d 23aax bx c x c ππππ-=++=+⎰．当1n ≥时，24(1)nan =-， 12(1)n bn -=-， 故222()3af x ax bx c cπ=++=+2142(1)cos (1)sin ,(,)nn n a b nx nx x n n ππ∞=+---∈-∑为所求．(4)()ch , f x x x ππ=-<<；解：由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰12ch d sh x x πππππ-==⎰．当1n ≥时，222sh 1(1)nna n n ππ=--，所以22sh (1)(1)n n a n ππ=-+． 2211sh sin ch sin d |x nx x nx x n n ππππππ--=-+⎰21nb n =，所以0n b =，故21211()ch sh (1)cos 21n n f x x nx n ππ∞=⎡⎤==+-⎢⎥+⎣⎦∑， (,)x ππ∈-为所求．(5)()sh ,f x x x ππ=-<<．解：由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰1sh d 0x x πππ-==⎰． 当1n ≥时，1sh cos d 0n a x nx x πππ-==⎰．1221(1)sh n n b n n ππ+=--，所以122sh (1)(1)n n n xb n π+=-+， 故1212sh ()sh (1)sin (1)n n n f x x nxn ππ∞+===-+∑，(,)x ππ∈-为所求．8求函数221()(362)12f x x x ππ=-+的傅里叶级数展开式并应用它推出22116n n π∞==∑． 解：由224()3af x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a bnx nx x n n ππ∞=++-∈∑得211cos n nx n ∞==∑，(0,2)x π∈．而2(00)(20)6f f ππ+=-=，故由收敛定理得22211(00)(20)11cos062n n f f n n ππ∞∞==++-===∑∑．9设()f x 为[],ππ-上光滑函数，()()f f ππ-=．且,n n a b 为()f x 的傅里叶系数，,n n a b ''为()f x 的导函数()f x '的傅里叶系数．证明00,,(1,2,)n n n n a a nb b na n '''===-= ．证：因为()f x 为[],ππ-上光滑函数，所以()f x '为[],ππ-上的连续函数，故可积．由系数公式得1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．故结论成立．10证明：若三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中的系数,n n a b 满足关系{}33sup ,n n nn a n b M≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．证：设0()2a u x =，()cos sin n n n u x a nx b nx =+，1,2,n =．则0n ∀≥，()n u x 在R 上连续，且0()0u x '=，()sin cos nn n u x na nx nb nx '=-+亦在R 上连续． 又x R ∀∈，()sin cos nn n u x n a nx n b nx '≤+ 22Mn ≤．而22Mn∑收敛，所以()()cos sin n n n u x nb nx na nx '=-∑∑在R 上一致收敛．故设01()(cos sin )2n n n a s x a nx b nx ∞==++∑，则且1()(cos sin )n n n s x na nx nb nx ∞='=-+∑在R 上连续．§15.2以2l 为周期的函数的展开一 基本内容一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数 设()f x 是以2l 为周期的函数，作替换ltx π=，则()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭是以2π为周期的函数，且()f x 在(, )l l -上可积()F t ⇔在(,)ππ-上可积．于是()01()cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑，其中 1()cos d ,n a F t nt t πππ-=⎰1()sin d n b F t nt tπππ-=⎰．令xt l π=得()()lt F t f f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭，sin sin ,cos cos n x n xnt nt l l ππ==， 从而01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑．其中1()cos ,l n l n x a f x dx l l π-=⎰ 1()sin l n l n xb f x dx l l π-=⎰．上式就是以2l 为周期的函数()f x 的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x n x n x a b l l ππ∞=++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑． 其只含余弦项，故称为余弦级数． 同理，设()f x 是以2l 为周期的奇函数，则()cos f x nx 奇，()sin f x nx 偶．于是1()cos d 0l n l n xa f x x l l π-==⎰，012()sin d ()sin d l l n l n x n xb f x x f x x l l l l ππ-==⎰⎰． 从而01()2n n a f x a ∞=+∑由此可知，函数偶延拓() (0,()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨-∈-⎩函数(),(0,)f x x l ∈要展 开为正弦级数必须作奇延拓． 奇延拓() (0,) ()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨--∈-⎩．二 习题解答1求下列周期函数的傅里叶级数展开式 (1)()cos f x x =(周期π)；解：()cos f x x =,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥由于(f ()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得22002244cos d cos d a x x x x ππππππ-===⎰⎰．当1n ≥时，1(1)2(1)2(21)(21)n n n n ππ+-⋅-⋅=++-124(1)(41)n n π+=--． 222cos sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故121241()cos (1)cos241n n f x x nxn ππ∞+===+--∑，(,)x ∈-∞+∞为所求．(2)()[]f x x x =-(周期1)；解：函数()[]f x x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数．因12l =，所以由系数公式得()()111210022[]d 2[]d 2d 1a x x x x x x x x -=-=-==⎰⎰⎰．当1n ≥时，110011sin 2sin 2d 0|x n x n x x n n ππππ=-=⎰．110011cos2cos2d |x n x n x x n n ππππ-=+⎰1n π-=． 故1111()[]sin 22n f x x x n xn ππ∞==-=-∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． (3)4()sin f x x =(周期π)；2222解：函数4()sin f x x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得 204311cos 2cos 4d 828x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰34=．当1n ≥时，11201,2128n n n n ⎧-=⎪⎪=≠≠⎨⎪⎪=⎩． 222cos sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故4311()sin cos2cos4828f x x x x==-+，(,)x ∈-∞+∞为所求．(4)()sgn(cos )f x x =(周期2π)．解：函数()sgn(cos )f x x =，(,)x ππ∈-延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l π=，所以由系数公式得0012sgn(cos )d sgn(cos )d 0a x x x x πππππ-===⎰⎰．当1n ≥时，02sgn(cos )cos d n a x nx xππ=⎰4sin 2n n ππ=024(1)21(21)kn k n k k π=⎧⎪=⎨-=-⎪+⎩．2sgn(cos )sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故14cos(21)()sgn(cos )(1)21nn n xf x x n π∞=+==-+∑，(,)x ∈-∞+∞．2求函数 01() 1 123 23x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩的傅里叶级数并讨论其收敛性．解：函数()f x ，(0,3)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因32l =，所以由系数公式得31230001222224()d d d (3)d 33333a f x x x x x x x ==++-=⎰⎰⎰⎰． 当1n ≥时， 2222323cos 3n n n πππ=-．2()sin d 0n b f x nx x πππ-==⎰．故2221231122()cos cos333n n n xf x n n πππ∞=-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． 3将函数()2f x xπ=-在[0,]π上展开成余弦级数．解：函数()2f x xπ=-，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得20021d 0222a x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．当1n ≥时，242102n k n n kπ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩．0n b =．故2141()cos(21),[0,]2(21)n f x x n x x n πππ∞==-=-∈-∑．4将函数()cos2xf x =在[0,]π上展开成正弦级数．解：函数()cos2xf x =，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得0,0,1,2,n a n ==．28(41)nn π=-．故在[0, ]π上218()cos sin 241n x nf x nxn π∞===-∑为所求．5把函数102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩ 在(0, 4)上展开成余弦级数．解：函数()f x ，(0,4)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因4l =，所以由系数公式得4240002211()d (1)d (3)d 0422a f x x x x x x ==-+-=⎰⎰⎰．当1n ≥时，402()cos d 44n n xa f x x π=⎰所以102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩22181(21)cos(21)2n n xn ππ∞=-=-∑为所求．6把函数()2()1f x x =-在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出222116123π⎛⎫=+++⎪⎝⎭．解：函数()f x ，(0,1)x ∈延拓为以2为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l=0.5，所以由系数公式得11200022()d 2(1)d 3a f x x x x ==-=⎰⎰．当1n ≥时，1202(1)cos d n a x n x xπ=-⎰224n π=．0n b =．所以2221141(1)cos ,[0,1]3n x nx x n π∞=-=+∈∑．令0x =得22114113n n π∞==+∑，即22116n n π∞==∑． 7求下列函数的傅里叶级数展开式 (1)()arcsin(sin )f x x =；解：函数()arcsin(sin )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得0,0,1,2,n a n ==．所以214(1)()arcsin(sin )sin(21)(21)nn f x x n x n π∞=-==--∑，x R ∈．(2)()arcsin(cos )f x x =．解：函数()arcsin(cos )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．002arcsin(cos )d 0a x x ππ==⎰，当1n ≥时，202421n k n k n π=⎧⎪=⎨=-⎪⎩．0,1,2,n b n ==．所以2141()arcsin(cos )cos(21)(21)n f x x n x n π∞===--∑，x R ∈． 8试问如何把定义在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的可积函数()f x 延拓到区间(),ππ-内，使他们的傅里叶级数为如下的形式(1)211cos(21)n n an x∞-=-∑；(2)211sin(21)n n bn x∞-=-∑．解：(1)先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下：()02()()2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩；再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下：()0ˆ()(2)2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤=⎨-<≤⎩．其图象如下．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得002()d 0a f x x ππ==⎰，当1n ≥时，201()sin d 0n b f x nx x ππ==⎰．204()cos d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰． 所以211()cos(21)0,2n n f x a n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． (2)先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下．()02()()2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩；再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下．()0ˆ()(2)2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤=⎨--<≤⎩．()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．002()d 0a f x x ππ==⎰，当1n ≥时，201()cos d 0n a f x nx x ππ==⎰204()sin d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰． 所以211()sin(21)0,2n n f x b n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． §15.3收敛定理的证明一 基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理1 设()f x 在[,]ππ-上可积，则()2222011()d 2n n n a a b f x x πππ∞-=++≤∑⎰,其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．推论1设()f x 在[,]ππ-上可积，则lim ()cos d 0n f x nx x ππ-→∞=⎰, lim ()sin d 0n f x nx x ππ-→∞=⎰．推论2设()f x 在[,]ππ-上可积，则01lim ()sin d 02n f x n x x π→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰，1lim ()sin d 02n f x n x x π-→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰．定理2设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上可积，则1sin 12()d 2sin2n tf x t tt πππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎰，此称为()f x 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．二、收敛性定理的证明定理3(收敛性定理) 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则(0)(0)lim ()022n n f x f x S x →∞-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，定理4如果()f x 在[,]ππ-上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-=++∑．定理5如果()f x 在[,]ππ-按段单调，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-=++∑．二 习题解答1设()f x 以2π为周期且具有二阶连续的导函数，证明()f x 的傅里叶级数在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x ．证：由题目设知()f x 与()f x '是以2π为周期的函数，且光滑，故 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn n a f x a nx b nx ∞=''''=++∑，且1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．于是2222111122n nn n nn a b a b a b nn n n ''⎛⎫⎛⎫''+=+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211()2n n a b n ''=++．由贝塞尔不等式得221()nn n a b ∞=''+∑收敛，又211n n ∞=∑收敛，从而()012n n n a a b ∞=++∑收敛， 故01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑在(,)-∞+∞上一致收敛．2设f 为[],ππ-上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于f ，则成立贝塞尔(Parseval)等式()2 2220 11()d 2n n n a f x x a b πππ∞-==++∑⎰， 这里,n n a b 为f 的傅里叶系数．证：设()01cos sin 2mm n n n a S a nx b nx ==++∑，因为()f x 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于()f x ，所以0,0N ε∀>∃>，,[,]()m m N x f x S ππε∍>∀∈-⇒-<“”．于是2(),()m m f x S f x S ε--<．而()2 2221()d 2mn n n a f x x a b ππππ-==--+∑⎰．所以m N >时，()222221()d 2mn n n a f x x a b ππππε-=--+<∑⎰，故()2222011()d 2n n n a a b f x x πππ∞-=++=∑⎰．3由于贝塞尔等式对于在[,]ππ-上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式． (1)22118(21)n n π∞==-∑；(2)22116n n π∞==∑；(3)44190n π=∑． 解：(1) 取04()04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，由§1习题3得1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑．由贝塞尔等式得22111d 16(21)n x n ππππ∞-==-∑⎰，即22118(21)n n π∞==-∑．(2) 取(),(,)f x x x ππ=∈-，由§1习题1(1)得11sin ()2(1),(,)n n nxf x x n ππ∞+==-∈-∑．由贝塞尔等式得21211(1)2d n n x x n πππ+∞-=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑⎰，故22116n n π∞==∑．(3) 取2(),[,]f x x x ππ=∈-，由§1习题1(2)得 2221cos 4(1),(,)3nn xx x n πππ∞==+-∈-∑．由贝塞尔等式得22242111(1)4d 23n n x x n ππππ∞-=⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰， 故44190n π=∑． 4证明：若,f g 均为[,]ππ-上可积函数，且他们的傅里叶级数在[,]ππ-上分别一致收敛于f 和g ，则00 11()()d ()2n n n n n a f x g x x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．其中,n n a b 为f 的傅里叶系数，,n n αβ为g 的傅里叶系数．证：由题设知01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，1()(cos sin )2n n n g x nx nx ααβ∞==++∑．于是 1()()d (),()f xg x x f x g x πππ-=⎰而001(),cos sin ,222n n n a f x a nx b nx αα∞==++∑ cos ,cos n n n n a nx nx a αα==， cos ,cos n n n n b nx nx b ββ==，所以 00 11()()d ()2n n n n n a f x g x x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．5证明若f 及其导函数f '均在[,]ππ-上可积,()d 0f x x ππ-=⎰,()()f f ππ-=，且成立贝塞尔等式，则22()d ()d f x x f x xππππ--'≥⎰⎰．证：因为()f x 、()f x '在[],ππ-上可积，()d 0f x x ππ-=⎰，()()f f ππ-=，设01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn n a f x a nx b nx ∞=''''=++∑，由系数公式得1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．于是由贝塞尔等式得2()d f x xππ-=⎰．总练习题151试求三角多项式的傅里叶级数展开式．解：因为01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑是以2π为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，由系数公式得001(),1(cos sin ),12nn k k k A a T x A kx B kx A ===++=∑，当1k ≥时，1(cos sin ),cos 02nkk k k A k n A A kx B kx kx k n =≤⎧=++=⎨>⎩∑，1(cos sin ),sin 02nkk k k B k n A A kx B kx kx k n =≤⎧=++=⎨>⎩∑，故在(,)-∞+∞，01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑的傅里叶级数就是其本身．2设f 为[,]ππ-上可积函数，0,,(1,2,,)k k a a b k n =为f 的 傅里叶系数，试证明，当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时， 积分[]2()()d n f x T x xππ--⎰取最小值，且最小值为[]22220 1()d ()2nk k k a f x x a b πππ-=⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦∑⎰． 上述()n T x 是第1题中的三角多项式,0,,k k A A B 为它的傅里叶系数．证：设()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑，且00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====， 因为[]2()()d n f x T x xππ--⎰22 ()d 2()()d ()d n n f x x f x T x x T x xππππππ---=-+⎰⎰⎰，而()001()()d 2nn k k k k k A a f x T x x A a B b ππππ-==++∑⎰， () 22201()d 2nnk k k A T x x A B πππ-==++∑⎰，所以[]2()()d n f x T x xππ--⎰故当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时， 积分[]2()()d n f x T x xππ--⎰取最小值，且最小值为[]22220 1()d ()2nk k k a f x x a b πππ-=⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦∑⎰． 3设f 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数，11()sin d , ()sin d n nb f x nx x b f x nx xππππππ--''''==⎰⎰，若级数n b ''∑绝对收敛，则11122n n n b ∞∞==⎛⎫''+ ⎪⎝⎭∑．证：因为()f x 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数， 所以1()sin d n b f x nx x πππ-''''=⎰2 2 ()cos ()sin d nn n f x nxf x nx x n b ππππππ--=-+=⎰． 即211,n n n b b n ''∀≥=⋅，从而2111,2n n b n ⎛⎫''∀≥+ ⎪⎝⎭又n b ''∑绝对收敛，21n ∑收敛，所以n ∞=1122n n b ∞=⎛⎫''<+ ⎪⎝⎭∑．故结论成立．4设周期为2π的可积函数()x ϕ与()x ψ满足以下关系式(1)()()x x ϕψ-=；(2)()()x x ϕψ-=-．试问ϕ的傅里叶系数,n n a b 与ψ的傅里叶系数,n n αβ有什么关系？解：设()01()cos sin 2n n n a x a nx b nx ϕ∞==++∑，()1()cos sin 2n n n x nx nx αψαβ∞==++∑，(1)则当()()x x ϕψ-=时，0n ∀≥，n α=．1n ∀≥，n β=-．(2)当()()x x ϕψ-=-时，0n ∀≥，n α=-．1n ∀≥，n β=．5设定义在[,]a b 上的连续函数列{}()n x ϕ满足关系0 ()()d 1 bn m a n mx x x n m ϕϕ≠⎧=⎨=⎩⎰，对于在[,]a b 上的可积函数f ，定义()()d , 1,2,b n n a a f x x x n ϕ==⎰，证明21n n a ∞=∑收敛，且有不等式 22 1[()]d b n a n a f x x ∞=≤∑⎰．证：在[,]a b 上的所有可积函数构成的集合中定义内积为(),()()()d b a f x g x f x g x x =⎰，则函数列{}()n x ϕ为标准正交系．令1()(),1,2,m m n n n S x a x m ϕ===∑，则,(),()n n n a f x x ϕ∀=， 又 2 [()()]d bm a f x S x x -⎰22 ()d 2()()d ()d n n f x x f x S x x S x x ππππππ---=-+⎰⎰⎰，而11(),()(),()(),()m m n n n n n n n f x S x f x a x a f x x ϕϕ====∑∑ 21m nn a ==∑． 211(),()m mk k k k k k k a a x x a ϕϕ====∑∑，于是 222 1()d [()()]d 0m b n m an f x x a f x S x x ππ-=-=-≥∑⎰⎰， 所以22 11,[()]d m b n a n m a f x x =∀≥≤∑⎰，即{}()m S x 有上界． 故 21n n a∞=∑收敛，且 22 1[()]d b n a n a f x x∞=≤∑⎰．。