6.1傅里叶级数

1/ 4

1 / 4
1 cos n 2t n 1 / 4 0
1 在间断点处，t k ， k 0,1,2, ， 4 1 1 1 fT (t ) [ fT (t0 0) fT (t0 0)] [0 1] , 2 2 2 1 1 当k t k ，k 0,1,2, ， 4 4 a0 (1) k 2 cos(2k 1)2t fT (t ) 2 k 0 (2k 1) 1 2 k cos( 2k 1) 2t (1) 2 k 0 2k 1
傅里叶级数的三角形式
f1 (t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )
n1
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>12 0 T0
n 0
0， t 0, 例题1：求以2为周期的函数fT (t ) 2， 0 t 的离散频谱和它的傅里叶级数的三角形式。 2 2 1, 解：0 T 2 2 T /2 1 a0 fT (t ) dt 2 dt 2 / 2 T T 0 2 T /2 an fT (t ) cos n0t dt (n 0,1,2,) / 2 T T 2 2 / 2 1 fT (t ) cos nt dt fT (t ) cos nt dt 2 2 / 2 1
三角傅里叶展开的例子
周期为=1的方波函数
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
1 2 2 f ( x) cos(2t ) cos(6t ) ...... 2 3
an
1/2
2/
频谱图
3
…
ω
0
1
-2/3
傅里叶级数的复指数形式
a0 fT (t ) ( an cos n0t bn sin n0t ) 2 n 1 1 jn0t 利用公式： e jn0t ), cos nt (e 2 1 jn0t jn0t (e ) e sin nt 2j 带入fT (t )公式右边得 a0 an jbn jn0t an jbn jn0t fT (t ) ( e e ). 2 n 1 2 2
(n 1,2, ).
傅里叶级数的复指数形式
例题3：求以T为周期的函数 T 0， t 0, 2 fT (t ) 2， 0 t T 2 的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式。 2 解：0 ， T 当n 0时, 1 c n F ( 0) T
2 1/ 2 an fT (t ) cos n 2 t dt (n 1,2, ) T 1/ 2 1/ 4 2 1/ 2 cos n 2 t dt fT (t ) cos n 2 t dt 2 1 / 2 1 / 4 1 1 2 n sin n 2t sin( ) 2 n n 1 / 4 0, n sin( ) k 2 ( 1 ) , n 2k , n 2k 1 k 0,1,2,
2(e jn0T / 2 1) 2(e jn 1) ( jn0T ) ( jn 2 ) j n (e jn 0, 1) 2 j n
2 ( 0 ) T 当n为偶数， 当n为奇数。
傅里叶级数的复指数形式
令n 2k 1，则傅里叶级数的复指数形式为 fT (t ) 1 2j e j ( 2 k 1)0t k ( 2k 1)
傅里叶级数的复指数形式
对称信号的傅里叶级数
三种对称形式：
偶函数项
奇函数项
（ 1）偶函数：f (t ) f (t ); (2) 奇函数：f (t ) f (t ); nT （3）奇谐函数(半周期奇对称)：f (t ) f (t ); 2 傅里叶级数： fT (t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )

振幅谱：
相位谱：
0, n 2,4, 2 | F (n0 ) | , n 1,3, | | n n0 1, n 1,3,5, 2 , arg F (n0 ) 0, n 0,2,4, , n 1,3,5, 2

傅里叶级数的三角形式
例题2：求以T 1为周期的函数 1 1 1 1 0， t , 或 t 2 4 2 4 fT (t ) 1， 1 t 1 4 4 的离散频谱和它的傅里叶级数的三角形式。 2 2 解：0 2 , T 1 1/ 4 2 T /2 a0 fT (t ) dt 2 1 dt 1 1 / 4 T T / 2
傅里叶级数的复指数形式
a0 an jbn an jbn 取c0 , c n , cn (n 1,2, ) 2 2 2 可得 fT (t ) cn e jn0t

1 T /2 fT (t )dt 其中，c0 T T / 2 1 T /2 cn fT (t )e jn0t dt T T / 2
E
（3）奇谐函数
T f (t ) f (t ) 2
沿时间轴移半个周期； 反转； 波形不变； 半周期对称。
2 T 2 a1 f T ( t ) cos 0 t .dt 0 T 2 T 2 b1 f T ( t ) sin 0 t .dt 0 T a 2 0, b2 0, 偶次谐波的系数为零。 c 2 n 1 a 2 n 1 jb 2 n 1 a 2 n 1 jb 2 n 1 , c ( 2 n 1) ; 2 2
在间断点处，t0 n，n 0,1,2, , 1 fT (t0 ) [ fT (t0 0) fT (t0 0)] 2 1 [0 2] 1. 2 当(2n 1) t (2n 1)，n 0,1,2, ， 2 (1) k sin(2k 1)t fT (t ) 1 k 0 ( 2k 1)

T /2
T / 2
1 fT (t )dt T

T /2
0
2dt 1
傅里叶级数的复指数形式
当n 0时, 1 c n F ( n 0 ) T 1 T

T /2
T / 2
fT (t )e jn0t dt
jn0t T /2

T /2
0
2e
jn0 t
2e dt T ( jn0 ) 0



0
2 2 2 cos nt dt sin nt sin n 0 n n 0

2 T /2 bn fT (t ) sin n0t dt (n 1,2,) T T / 2 1 2 2 / 2 fT (t ) sin nt dt fT (t ) sin nt dt 2 2 / 2 1



0
2 2 sin nt dt cos nt n 0

2 2 (cos n 1) [(1) n 1] n n 2 k ( 1 ) , n 2k 1, (2k 1) (k 0,1,2, ) 0, n 2(k 1),
傅里叶级数
lg_lu@
傅里叶生平
• 1768年生于法国; • 1807年提出“任何周期信号 都可用正弦函数级数表示”; • 1829年狄里赫利第一个给出 收敛条件; • 拉格朗日反对发表; • 1822年首次发表在“热的分 析理论”一书中。
傅立叶的两个最主要的贡献
1. “周期信号都可表示为谐波关系的正弦 信号的加权和”. 2. “非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示”
n 1
偶函数项
奇函数项
（1）周期偶函数
an 0，bn 0, fT (t ) a0 an cos n0t
n 1
2 a0 T 4 an T

T /2
T / 2 T /2
4 f (t ).dt T

T /2
0
f (t ).dt

0
f (t ) cos n0t.dt (n 0,1,2, )
判断频谱分量
• (a)含直流和正弦分量；
• (b)只含正弦分量；
• (c)含直流和余弦分量。
习题
习题1：求以T 1为周期的函数 1 1 1 1 0， t , 或 t 2 4 4 2 fT (t ) 1， 1 t 1 4 4 的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式。 习题2：课本p.209，第8.3题。
n 1
4 T /2 bn f (t ) sin n0t.dt T 0 jbn jbn cn , c n (n 1,2, ) 2 2 f (t )
n jn0t c e n
周期奇函数
1 1 f (t ) (sin0t sin 20t sin 30t ....) 2 3
傅里叶变换概念
• 三角函数及其图示
f ( x ) sin x

y
y sin x, x R
P
3
1 2
A O
2
x
o

Q
3
傅里叶变换概念
• 正弦波：
f (t ) cos 2t
• 实谱图：
• 复谱图：
1 j 2t j 2 t f (t ) cos 2t ( e e ) 2
傅里叶级数的三角形式
a0 fT (t ) ( an cos n0t bn sin 0t ) 2 n 1 2 其中： 0 , T 2 T /2 an fT (t ) cos n0t dt ( n 0,1,2,) T T / 2 2 T /2 bn fT (t ) sin n0t dt ( n 1,2,) T T / 2 1 在间断点t0处，f T (t ) [ fT (t0 0) fT (t0 0)]. 2