河南省天一大联考2019-2020学年高二下学期线上联考数学(理)试题

2019-2020学年天一大联考高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足(−1−z)⋅i=1+i，则|z|=()A. √5B. √2C. 2√2D. 32.下列积分值为2的是()A. ∫(502x−4)dx B. ∫cπ0osxdx C. ∫1x31dx D. ∫sπinxdx3.对于不等式√n2+2n<n+2(n∈N∗)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当n=1时，√12+2<1+2，不等式成立．②假设当n=k(n∈N∗)时，不等式成立，即√k2+2k<k+2，则当n=k+1时，√(k+1)2+2(k+1)=√k2+4k+3<√(k2+4k+3)+(2k+6)=√(k+3)2=(k+1)+2．故当n=k+1时，不等式成立．则上述证法()A. 过程全部正确B. n=1的验证不正确C. n=k的归纳假设不正确D. 从n=k到n=k+1的推理不正确4.在等差数列{a n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有a m+a n+a p=3a r，类比该结论，在等比数列{b n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有()A. b m+b n+b p=3b rB. b m+b n+b p=b r3C. b m b n b p=3b rD. b m b n b p=b r35.已知a，b，c，d成等比数列，且二次函数y=x2−4x+7图象的顶点坐标为(b,c)，则ad等于()A. 4B. 5C. 6D. 76.如图所示，已知A(1,0)，把一粒黄豆随机投到正方形OABC内，则黄豆落到阴影区域内的概率是()A. 56B. 45C. 34D. 237.关于右面两个程序框图，说法正确的是()A. (1)和(2)都是顺序结构B. (1)和(2)都是条件分支结构C. (1)是当型循环结构，(2)是直到型循环结构D. (1)是直到型循环结构，(2)是当型循环结构8.若向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,−3)，则|a⃗+b⃗ |=()A. √7B. 2√2C. 3D. √109.等差数列中，已知a5a3=53，则S9S5=()A. 3B. 4C. 35D. 27910.()A. B. C. D.11.在△ABC中，A=30°，B=60°，a=10，则b等于()A. 20B. 10√3C. 10√63D. 5√312.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2−x)−x2+8x−8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是()A. y=−2x+3B. y=2x−1C. y=−6x+7D. y=3x−2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数2+i1+i(i是虚数单位)的实部是______ ．14.某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为______万元．15. 设变量x ，y 满足约束条件：{x ≥−2x +2y ≤2y ≥x ，则z =x 2+y 2的最大值是______．16. 已知，，若:，则．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，A 1A =AB ，E 为BB 1延长线上的一点，D 1E ⊥面D 1AC ，设AB =2．(1)求二面角E −AC −D 1的余弦值；(2)在D 1E 上是否存在一点P ，使A 1P//面EAC ？若存在，求D 1P ：PE 的值；若不存在，请说明理由．19. (1)已知a ，b ，c ∈R ，且满足a +b +c =1，求证：a 2+b 2+c 2≥13.提示：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc(2)若x ，y 都是正实数，且x +y >2，求证：1+x y<2与1+y x<2中至少有一个成立．20.设f(x)=x3−2x2+2x，g(x)=a(10cosx+1)(1)求f(sinx)的值域；]，使得f(x1)+g(x2)=2成立，求a的取值范围．(2)若∀x1∈[−1,0]，∃x2∈[0,π221.如图所示，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点A作抛物线C的切线交直线x=p于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？2若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由22.已知函数f(x)=e x−mx，g(x)=−x2−m．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，若ℎ(x)在[0,+∞)上有且只有一个零点，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由(−1−z)⋅i=1+i，得−1−z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，则z=−2+i，∴|z|=√(−2)2+12=√5．故选：A．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：D解析：解：∫(502x−4)dx=(x2−4x)|05=5，∫cπosxdx=sinx|0π=0，∫1x31dx=lnx|13=ln3，∫sπinxdx=−cos|0π=2故选D．根据微积分基本定理，根据条件求得即可．本题主要考查了微积分基本定理的简单应用，关键求出原函数，属于基础题．3.答案：D解析：解：n=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设，只是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法证题的要求．故选：D．数学归纳法证明与自然数有关的命题，一是要验证命题成立的第一个自然数，二是注意从n=k到n= k+1的推理中使用归纳假设．本题考查利用数学归纳法证题的过程，在从n=k到n=k+1的推理中，一定要用到归纳假设，否则证明是错误的，是中档题．4.答案：D解析：解：在等差数列{a n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有a m+a n+a p=3a r，类比该结论，在等比数列{b n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有b m b n b p=b r3，事实上，设等比数列{b n}的首项为b1，公比为q，则b m b n b p=b13q m+n+p−3，b r3=b13q3r−3，∵m+n+p=3r，∴b m b n b p=b r3，故选：D．直接利用类比推理可得结论，再由等比数列的通项公式证明即可．本题考查等差数列与等比数列的性质，考查类比推理的应用，是基础题．5.答案：C解析：解：∵函数y=y=x2−4x+7=(x−2)2+3∵函数y=y=x2−4x+7图象的顶点是(2,3)∵b=2，c=3∵a，b，c，d成等比数列∴ad=bc=6．故选：C．先将二次函数配方，求得函数的顶点坐标，利用a，b，c，d成等比数列，即可求得ad的值．本题考查的重点是等比数列的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．6.答案：D解析：解：由题意，阴影部分的面积为：∫(101−x2)dx=(x−13x3)l 01=23，由几何概型的公式得黄豆落到阴影区域内的概率是P=231×1=23；故选：D．首先利用定积分求出阴影部分的面积，利用面积比求概率．本题考查了定积分计算阴影部分的面积以及几何概型的概率求法，属于中档题．7.答案：C解析：解：(1)观察图(1)，它是先判断后循环，故是当型循环的程序框图；(2)观察图(2)，它是先循环后判断，故是直到型循环的程序框图．故(1)是当型循环结构，(2)是直到型循环结构．故选C．欲判断选项的正确性，主要讨论程序进行判断前是否执行循环体，如果先执行循环体，则是直到型循环，否则是当型循环．解题的关键是弄清循环体是在判断框前还是后．本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．8.答案：D解析：解：∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,−3)∴a⃗+b⃗ =(3,−1)∴|a⃗+b⃗ |=√32+12=√10故选：D．先用向量加法运算求a⃗+b⃗ ，再用向量的模长公式若a⃗=(x,y)则|a⃗|=√x2+y2求解即可本题考查了向量加法运算和向量的模长公式．9.答案：A解析：解：由等差数列的性质可得：S9=9(a1+a9)2=9a5，S5=5(a1+a5)2=5a3．又a5a3=53，则S9S5=9a55a3=95×53=3．故选：A．由等差数列的性质可得：S9=9(a1+a9)2=9a5，S5=5(a1+a5)2=5a3.再根据已知代入即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：试题分析：∵，故选B考点：本题考查了定积分的求解点评：熟练掌握定积分的概念及性质是解决此类问题的关键，属基础题11.答案：B解析：解：∵在△ABC中，A=30°，B=60°，a=10，∴由正弦定理可得bsinB =asinA，即bsin60°=10sin30°，∴b=10×√3 212=10√3故选：B由正弦定理可得bsin60°=10sin30°，变形可得．本题考查正弦定理，属基础题．12.答案：B解析：解：取x=1，得f(1)=2f(1)−1，可得f(1)=1．对函数f(x)求导，得f′(x)=−2f′(2−x)−2x+8，∴f′(1)=−2f′(1)+6，得f′(1)=2由此可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=2∴所求切线方程为y−1=2(x−1)，化简得y=2x−1故选：B．取x=1，可求出f(1)=1.对函数f(x)求导，得f′(x)=−2f′(2−x)−2x+8，再取x=1得曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1)=2，最后用直线方程的点斜率式，可得所求的切线方程．本题给出定义在R上的复合形式的函数，求函数图象在x=1处的切线方程，着重考查了导数的运算法则和导数几何意义等知识点，属于中档题．13.答案：32解析：先将复数化简为代数形式，再根据复数实部的概念作答．本题考查复数的除法运算，复数的实部的概念．属于基础题，复数z=a+bi(a,b∈R)的实部为a，虚部为b(勿记为bi)．解：2+i1+i =(2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−i2=32−12i，实部为32，故答案为：32．14.答案：10解析：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，属于基础题．根据频率分布直方图，先求出9时至14时的总销售额，再计算11时至12时的销售额．解：根据频率分布直方图得：9时至10时的销售额对应的频率为0.10，销售额为2.5万元，∴9时至14时的总销售额为2.50.1=25万元，∴11时至12时的销售额为25×0.40=10万元．故答案为：10．15.答案：8解析：解：作出变量x ，y 满足约束条件：{x ≥−2x +2y ≤2y ≥x所对应的可行域(如图△ABC)，A(−2,−2)，C(−2,2)，而z =x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方， 数形结合，可得最大距离为OC =2√2或OA =2√2， 则z =x 2+y 2的最大值是8． 故答案为：8．作出可行域，z =x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方，数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属于基础题．16.答案：解析：17.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13， 可得sinA = asinC c =2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313， 则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513， ∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．解析：本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．18.答案：解：(1)设AC ∩BD =O ，如图所示建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(√3,0,0)，B(0,1，0)，C(−√3,0，0)，D(0,−1,0)，D 1(0,−1,2)， 设E(0,1，2+ℎ)，则D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，ℎ)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,0)，D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−2)， ∵D 1E ⊥平面D 1AC ，∴D 1E ⊥AC ，D 1E ⊥D 1A ， ∴2−2ℎ=0，解得ℎ=1，即E(0,1，3)． ∴D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,3)． 设平面EAC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则由 {m ⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x =0m⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y +3z =0．令z =−1，得平面EAC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,3,−1)． 又平面D 1AC 的法向量为D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=6−1√10⋅√5=√22， ∴二面角E −AC −D 1的余弦值为√22．(2)设D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，得D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1+λD 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ1+λ,λ1+λ)，∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,λ−11+λ,λ1+λ)∵A 1P//面EAC ，∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ， ∴−√3×0+3×λ−11+λ+(−1)×λ1+λ=0，解得λ=32，∴存在点P 使A 1P//面EAC ，此时D 1P ：PE =3：2．解析：(1)设AC ∩BD =O ，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角E −AC −D 1的余弦值．(2)设D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，由A 1P//面EAC ，解得λ=32，由此推导出存在点P 使A 1P//面EAC ，此时D 1P ：PE =3：2．。

C.4
2
8.(1+“ )9(1+y)3的 展 开式 中 尸y2的 系数是
A.63
B.126
C.252
D。 504
9.设 函数只为)的 定义如下表 ,数列 {‰ }的 首项 幻 =5,且对任意的正整数 乃均有 气十1=只 气),则 为202。 =
‘
4
以·)
4
A。 5
B.4
C。 2
D。 1
10.若
曲线
只
数 ,1≤ G≤ 4)的 管理费。根据多年 的管理经验 ,预 计 当每件 产 品 的售价 为 多元 )=TL万 e
件。已知
当每件产
品的售价为
30元
时
,该 产
品一年
的销
售量为
300万
件。经 物 价 部
门核
定
,
每件产 品的售价 写最低不低于 23元 ,最 高不超过 31元。
-1)=-1/2)=;。
(I)求 函数 只 多)的 表 达式。
(Ⅱ )若 五 (躬 )=i严 纡 ,当 乃∈N卡 且 乃≥2时 成 (J)=/(￡~1(%)),
①试求尼(多 )工 (多 )工 (多 ); ②猜想函数几(%)的 表达式,并 用数学归纳法证明。
2⒈ (12分 )
某分公司经销某种 品牌 的产 品 ,每 件产 品的成 本为 20元 ,并 且 每件产 品需 向总公 司缴 纳 c元 (色 为 常
19.(12分 )
已知函数知 )咖 红碍 (0(c<1).
(I)用 导数法证明函数以名)在 (-1,+∞ )上 为减函数 ; (Ⅱ )用 反证法证明方程以多)=0不 存在大于 0的 实数根.
数学 (理科 )试题 第 3页 (共 4页 )

2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（五）理科数学专生注意1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴答题卡上的指定位置，2．回答选择题时，选出每小题答案后．用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}5,3,2,1,1-=A ，{}20log 12<<∈=x N x B ，则B A I =A ．{3}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{-1，1，5}2．已知复数i iz +-=215，则z 的共轭复数为 A ．1 +3i B ．1-3i C ． -1 +3i D ． -1 -3i3．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度；②156位客户认为使用礼貌用语能响他们的满意度；③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度.A ．1B ．2C ．3 B ．44．已知函数⎩⎨⎧≤+>-=,0,1,0,12)(x a x x x f x 若3)1(=-f ，则不等式5)(≤x f 的解集为 A ．[-2．1] B ．[ -3，3] C ．[-2．2] D ．[ -2，3]5．执行如图所示的程序框图．若输出的值30=S ，则p 的取值范围为A ．（18，30]B ．[18，30]C ．（0，30]D ．[18，30）6．已知函数)2sin()(x x f +=π与)0)(2sin()(πϕϕ<≤+=x x g ，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，将函数g （x ）的图象向左平移12π个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为 A ．12π-=x B ．127π=x C ．125π=x D ．1211π=x 7．在n x x )21(-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中5x 的系数为 A ．7- B ．835- C ．835 D ．7 8．已知数列{}n a 满足),(*+∈=+N n m a a a m n m n 且11=a ，若][x 表示不超过x 的最大整数，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+]5[32n a 的前10项和为 A ．12 B ．5113 C ．24 D ．40 9．已知直四棱柱1111D C B A ABCD -的侧棱长为8．底面矩形的面积为16．一个小虫从C 点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段1CC 上一点M ，若⊥AM 平面BD A 1．则小虫爬行的最短路程为A ．8B ．16C ．652D ．17410．已知函数)(),(x g x f 的定义域为)1(+x f R ，是奇函数，g （x+1）是偶函数，若)()(x g x f y ⋅=的图象与x 轴有5个交点，则)()(x g x f y ⋅=的零点之和为A ．5-B ．5C ．10-D ．1011．已知圆1622=+y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线l 交于A ，B 两点，且152=AB ，P 为该抛物线上一点，l PQ ⊥于点Q ，点F 为该抛物线的焦点.若PQF ∆是等边三角形，则PQF ∆的面积为A ．34B ．4C ．32D ．212．如图是一个由正四棱锥1111D C B A P -和正四棱柱1111D C B A ABCD -构成的组合体，正四棱柱的侧棱长为6，1BB 为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点P 到正四棱柱1111D C B A ABCD -外接球表面的最小距离是A ．3426-B ．)23(6-C ．)12(6-D ．)13(6-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等边三角形ABC 中，AB =2．E 、F 分别为AB 、BC 的中点.则AF CE ⋅= ．14．已知双曲线)(144222R t y x C t t ∈=+-：，则C 的离心率的最小值是 ． 15．2020年的2月2日，用数字记法就是20200202，左右对称，古人称回文数，印度人称花环数，类似上面的日子称作花环日．下一个只包含两个数的花环日是91年后的21111112．若从由数字1和2组成的八位回文数中任选2个，则这2个均为花环日的概率是 ．16．已知正项数列{}n a 满足)(21*+∈=⋅N n a a n n n ，且)12(310102020321-<++++a a a a Λ，则首相1a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。

2019-2020学年河南省天一大联考高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．＝（）A．﹣2+2i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．2+2i2．dx等于（）A．B．πC．2πD．4π3．利用数学归纳法证明f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*）时，第一步应证明（）A．f（2）＝1+2B．f（1）＝1C．f（1）＝1+2+3D．f（1）＝1+2+3+44．已知数列{a n}是等差数列，且a6＝6，a10＝8，则公差d＝（）A．B．C．1D．25．已知函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，＝4，则a＝（）A．B．C．2D．﹣26．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为（）A．25kg B．50kg C．1500kg D．2000kg7．根据如图的程序框图，输出的S的值为（）A．1007B．1009C．0D．﹣18．在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数对应的点为B，若点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合，则•＝（）A．﹣16B．0C．16D．329．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为a n，则下面结论错误的是（）A．a n﹣a n﹣1＝n（n＞1）B．a20＝210C．1024是三角形数D．10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1＝（x＞0），y2＝x，y3＝x，则阴影部分的面积为（）A．1+ln2B．ln2C．1D．211．在△ABC中，∠B＝60°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，BD＝，cos∠BAC＝，则AD＝（）A．2B．C．D．12．已知方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝，则z＝．14．某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图．当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有户．15．若x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为．16．函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，则不等式xf（x）＜0的解集为．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若f（x）＝3，求tan x；（Ⅱ）证明：f′（x）＝．18．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD 折起，使得A点到P点的位置，PC＝3．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．19．已知a，b，c，d为实数．（Ⅰ）证明：a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0；（Ⅱ）若ab+bc+cd+da＝4，证明：a，b，c，d中至少有一个不大于1．20．已知函数f（x）＝（ax2+bx）e x．（Ⅰ）若x＝0是f（x）的一个极值点，求实数b的值；（Ⅱ）若a＝2，b＝3，求f（x）在区间[﹣2，0]上的最值．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为，|AB|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程．22．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．＝（）A．﹣2+2i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．2+2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：＝．故选：C．2．dx等于（）A．B．πC．2πD．4π【分析】由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分扇形的面积，其面积等于四分之一个圆的面积，求解即可．解：由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分的面积，即表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，故dx＝π×22＝π，故选：B．3．利用数学归纳法证明f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*）时，第一步应证明（）A．f（2）＝1+2B．f（1）＝1C．f（1）＝1+2+3D．f（1）＝1+2+3+4【分析】由f（n）的表达式，考虑右边的最后一项，即从1连续加到3n+1，可得所求结论．解：由f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*），可得f（1）＝1+2+3+4，由数学归纳法的证明步骤，可知第一步应证明：f（1）＝1+2+3+4．故选：D．4．已知数列{a n}是等差数列，且a6＝6，a10＝8，则公差d＝（）A．B．C．1D．2【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．解：∵a6＝6，a10＝8，则公差d＝＝，故选：A．5．已知函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，＝4，则a＝（）A．B．C．2D．﹣2【分析】先求出函数的变化率，根据极限的定义，结合二次函数的性质即可求出a的值．解：f（a+△x）﹣f（a）＝a（a+△x）2+b﹣a3﹣b＝2a2△x+a△x2，则＝（2a2+a△x）＝2a2＝4，∴a＝±，∵函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，∴a＝﹣，故选：B．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为（）A．25kg B．50kg C．1500kg D．2000kg【分析】利用几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率，乘以100得到圭田内果树的棵数，乘以产量得答案．解：由题意，邪田的面积；内部圭田的面积．则将100棵的果树均匀地种植在邪田，其中在圭田内果树的棵数为．∵一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为25×60＝1500kg．故选：C．7．根据如图的程序框图，输出的S的值为（）A．1007B．1009C．0D．﹣1【分析】循环体的算法功能，先研究随着i的变化，函数值的变化规律（一般是周期性循环出现），然后判断最后一项是多少，最终求出结论．解：由题意可知S是的前2017个函数值的和．∵i＝1时，x＝﹣1；i＝2时，x＝；i＝3时，x＝2；i＝4时，x＝﹣1；可以看出的值是按﹣1，，2循环的，周期为3．所以＝1007．故选：A．8．在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数对应的点为B，若点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合，则•＝（）A．﹣16B．0C．16D．32【分析】设出z，求出A，B的坐标，根据A，B在y2＝4x与y＝﹣x上求出a，b；再代入数量积求解即可．解：设z＝a+bi；则z对应的点为A（a，b）；其共轭复数对应的点为B（a，﹣b）；又因为：点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合；∴⇒，（0，0）舍；∴A（4，4），B（4，﹣4）；∴•＝4×4+4×（﹣4）＝0；故选：B．9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为a n，则下面结论错误的是（）A．a n﹣a n﹣1＝n（n＞1）B．a20＝210C．1024是三角形数D．【分析】通过数列的项与序号之间的关系，判断选项A的正误，然后推出数列的递推关系式，求解数列的和，即可判断选项的正误．解：1，3，6，10，15，21，28，36，45，……可得a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，…得到a n﹣a n﹣1＝n，所以A正确；累加可得则a n﹣1＝1+2+3+4+…+n﹣1＝﹣1；所以a n＝，a20＝＝210，所以B正确；，解得n∉N，所以C不正确，＝＝．所以D正确；故选：C．10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1＝（x＞0），y2＝x，y3＝x，则阴影部分的面积为（）A．1+ln2B．ln2C．1D．2【分析】首先求出被积函数的原函数，进一步求出阴影部分的面积．解：根据题意构建方程组，解得（负值舍去），同理构建方程组解得，所以＝＝．故选：B．11．在△ABC中，∠B＝60°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，BD＝，cos∠BAC ＝，则AD＝（）A．2B．C．D．【分析】先由二倍角公式求得，进而由平方关系得到，再在△ABD中，运用正弦定理即可求得AD的值．解：∵AD是∠BAC的平分线，，∴，由题意知，∠BAD为锐角，∴，∴，在△ABD中，由正弦定理可得，，∴．故选：A．12．已知方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，利用韦达定理找到两实根与a的关系，然后利用函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，即f′（x1）f′（x2）＝﹣1得一等量关系，再将刚才的a与两根的关系式代入，构造出关于a的方程求解即可．解：因为方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，所以△＝3a2≥0，故a∈R，且，∵f′（x）＝3x2﹣1，∴整理得：将韦达定理代入整理得a4﹣3a2﹣2＝0所以所以，满足条件的a有两个．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝，则z＝1+i．【分析】设z＝a+bi，根据条件求出a，b即可求解结论．解：设z＝a+bi；a，b∈R；∵复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝，∴a+b＝2且a2+b2＝2；解得：a＝b＝1；故z＝1+i；故答案为：1+i．14．某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图．当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有20户．【分析】由频率分布直方图得家庭收入不足1.5万元的频率为0.01×10＝0.1，由此能求出该村享受国家扶贫政策户数．解：若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，由频率分布直方图得家庭收入不足1.5万元的频率为0.01×10＝0.1，则该村享受国家扶贫政策的有200×0.1＝20（户）．故答案为：20．15．若x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为10．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出z最大值即可．解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：由z＝2x+y知，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．结合可行域可知当动直线经过点B（5，0）时，目标函数取得最大值z＝2×5+0＝10．故答案为：10．16．函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，则不等式xf（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【分析】结合函数的导数的符号，以及函数的零点，画出函数的示意图，然后求解不等式的解集即可．解：函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，可知函数在x∈（﹣2，0），x∈（2，+∞）时，都是增函数，函数的示意图如图：所以不等式xf（x）＜0的解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若f（x）＝3，求tan x；（Ⅱ）证明：f′（x）＝．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系即可求出，（Ⅱ）根据导数基本公式和运算法则即可证明．解：（Ⅰ）＝＝3，解得tan x＝2，证明：（2）f′（Ⅱ）＝＝＝．18．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD 折起，使得A点到P点的位置，PC＝3．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．【分析】（Ⅰ）先证明PO⊥平面BCD，再证明平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）先证明OM∥DC，再证明OM∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC＝2AD，∴CO＝2AO，∴CO＝6，AO＝3，即PO＝3，又∵，∴CO2+PO2＝PC2，则PO⊥CO，∵AC⊥BD于点O，∴PO⊥BD，又BD∩OC＝O，∴PO⊥平面BCD，又PO在平面PBD内，∴平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）∵AD∥BC，BC＝2AD，∴，又，故，∴OM∥DC，又∵OM不在平面PCD内，DC在平面PCD内，∴OM∥平面PCD．19．已知a，b，c，d为实数．（Ⅰ）证明：a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0；（Ⅱ）若ab+bc+cd+da＝4，证明：a，b，c，d中至少有一个不大于1．【分析】（Ⅰ）要证a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0，可证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da，再由基本不等式证明；（Ⅱ）假设a，b，c，d都大于1，则a＞1，b＞1，可得ab＞1，同理bc＞1，cd＞1，da ＞1，得到ab+bc+cd+da＞4，与ab+bc+cd+da＝4矛盾，即可说明假设不成立，得到a，b，c，d中至少有一个不大于1．【解答】（Ⅰ）要证a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0，需证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+d2≥2cd，d2+a2≥2da，∴2（a2+b2+c2+d2）≥2（ab+bc+cd+da），则a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立．∴a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0；（Ⅱ）假设a，b，c，d都大于1，则a＞1，b＞1，∴ab＞1；同理bc＞1，cd＞1，da＞1．∴ab+bc+cd+da＞4，与ab+bc+cd+da＝4矛盾，故假设不成立，∴a，b，c，d中至少有一个不大于1．20．已知函数f（x）＝（ax2+bx）e x．（Ⅰ）若x＝0是f（x）的一个极值点，求实数b的值；（Ⅱ）若a＝2，b＝3，求f（x）在区间[﹣2，0]上的最值．【分析】（Ⅰ）函数f（x）＝（ax2+bx）e x．的f′（x）＝e x[ax2+（b+2a）x+b]．由f′（0）＝0，解得b即可；（Ⅱ）a＝2，b＝3时，f（x）＝（2x2+3x）e x，f′（x）＝e x（2x2+7x+3）．可得f（x）在[﹣2，﹣]递减，在[﹣，0]递增，即可求得（x）在区间[﹣2，0]上的最值．解：（Ⅰ）函数f（x）＝（ax2+bx）e x的f′（x）＝e x[ax2+（b+2a）x+b]．∵x＝0是f（x）的一个极值点，∴f′（0）＝0．解得b＝0．当b＝0时，f′（x）＝ae x（x2+2x）．．显然x＝0是f（x）的一个极值点．∴b＝0．（Ⅱ）a＝2，b＝3时，f（x）＝（2x2+3x）e x，f′（x）＝e x（2x2+7x+3），令f′（x）＝0．可得或x＝﹣3．可得f（x）在[﹣2，﹣]递减，在[﹣，0]递增，∵，f（0）＝0，所以f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值为，最小值为．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为，|AB|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程．【分析】（1）由AB弦的中点坐标可得AB两点横坐标之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，再由AB的弦长求出p的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线l的方程与抛物线联立，且由题意可得斜率大于0，求出斜率，可得切线的斜率，设切线的方程，与抛物线联立，由题意判别式为0，进而求出切线直线的方程．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的中点的横坐标为，所以．根据抛物线定义知|AB|＝|AF|+|BF|＝p+x1+x2＝5．所以p+3＝5，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，则由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．所以，即，解得k＝2．设与直线l平行的直线的方程为y＝2x+b，由得4x2+（4b﹣4）x+b2＝0．依题知△＝（4b﹣4）2﹣16b2＝0，解得．故所求的切线方程为．22．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用导数求函数的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在上单调递增，在上单调递减，再对a分三种情况讨论，利用导数研究函数的最大值，进而建立关于a的不等式得解．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），，（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当a＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减；综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在上单调递增，在上单调递减，①当，即a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝1﹣a，由1﹣a＜a，解得，∴此时实数a的取值范围为[e，+∞）；②当，即a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝e﹣ae+1，由e﹣ae+1＜a，解得a＞1，∴此时a∈∅；③当，即1＜a＜e时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，则，故1﹣elna＜a，即elna+a﹣1＞0，设g（x）＝elnx+x﹣1，x∈（1，e），则，∴g（x）在（1，e）上单调递增，又g（1）＝0，∴对任意x∈（1，e），都有g（x）＞0，∴a∈（1，e）满足题意；综上所述，实数a的取值范围为（1，+∞）．。