2007年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷.理)
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2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数
2
1
(1i)+等于（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．
1i 2
D ．1i 2
-
2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
(1)n a n n =+，则5S 等于（ ）
A ．1
B ．
56
C ．
16
D ．
130
3．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤
B ．1a <
C ．2a ≥
D ．2a >
4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A ．若0=⋅b a ，则0a =或0b =
B ．若λ0a =，则0λ=或=0a
C ．若22
=a b ，则=a b 或-a =b
D ．若c a b a ⋅=⋅，则b =c
5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π
⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称
B ．关于直线x π
=
4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4
⎝⎭
，对称
D ．关于直线x π
=
3
对称 6．以双曲线
22
1916
x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．2
2
1090x y x +-+= B ．22
10160x y x +-+= C ．2
2
10160x y x +++=
D ．2
2
1090x y x +++=
7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
的实数x 的取值范围是（ ） A ．(11)
-，
B ．(01)，
C ．(1
0)(01)- ，， D ．(1)(1)-∞-+∞ ，
， 8．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥ C ．m m n n αα⇒⊥，⊥∥ D ．n m n m αα⇒∥，⊥⊥
9．把2
1(1)(1)(1)n
x x x +++++++ 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则
21
lim
1n n n
a a ∞-+→等于（ ）
A ．
1
4
B ．
12
C ．1
D ．2
10．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-
中，1AB AA '==，则A C ，两点间的球面距离为（ ） A ．
π
4
B ．
π2
C
．
4
π D
．
2
π 11．已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，
()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A ．3
7
B ．47
C ．114
D ．1314
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
11121321
222331
3233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．
14．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．
15．两封信随机投入A B
C ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -； （2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；
（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．
则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =
，3tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为
1CC 中点．
（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 19．（本小题满分12分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元
A
B
C
D
1
A
1
C
1
B
（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ．
20．（本小题满分12分）如图，已知点(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且
⋅=⋅．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=
，求12λλ+的值；
21．（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的前n
项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()n
n S b n n
*=
∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 22．（本小题满分14分） 已知函数()e x
f x kx x =-∈R ，
（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1
2
(1)(2)()(e
2)()n
n F F F n n +*>+∈N ．。
