28.2.2-第3课时-利用方位角、坡度角解直角三角形

28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝h l.坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝h l＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】利用方位角求垂直距离如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD 中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝CDtan30°＝3CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝33CD.又∵AD－BD＝500，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433(m)．答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度．解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB 的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，可得BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BEtan45°＝2，DF＝CFtan30°＝23，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB的长为65m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB ＝14°)．(1)求车库的高度AH；(2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；(2)利用tan14°＝6BC＋12，求出BC的长即可．解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故车库的高度AH为6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AHCH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝6BC＋12，即0.25＝6BC＋12，解得BC＝12m.答：点B与点C之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。

28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表示出来．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8km ＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD .解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝CD AD ，∴AD ＝CD tan30°＝3CD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，∵tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝CD tan60°＝33CD .又∵AD －BD ＝500，∴3CD －33CD ＝500，解得CD ≈433(m)． 答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°.求坝底AD 的长度．解析：首先过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，可得四边形BEFC 是矩形，又由背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足为E 、F ，可得BE ∥CF ，又∵BC ∥AD ，∴BC ＝EF ，BE ＝CF .由题意，得EF ＝BC ＝3，BE ＝CE ＝2.∵背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BE tan45°＝2，DF ＝CF tan30°＝23，∴AD ＝AE ＋EF ＋DF ＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD 的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为i ＝1∶2，斜坡AB 的长为65m ，斜坡的高度为AH (AH ⊥BC )，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB ＝14°)．(1)求车库的高度AH ；(2)求点B 与点C 之间的距离(结果精确到1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i ＝1∶2，得出AH ∶BH ＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH 的长；(2)利用tan14°＝6BC ＋12，求出BC 的长即可． 解：(1)由题意可得AH ∶BH ＝1∶2，设AH ＝x ，则BH ＝2x ，故x 2＋(2x )2＝(65)2，解得x ＝6，故车库的高度AH 为6m ；(2)∵AH ＝6m ，∴BH ＝2AH ＝12m ，∴CH ＝BC ＋BH ＝BC ＋12m.在Rt △AHC 中，∠AHC ＝90°，故tan ∠ACB ＝AH CH ，又∵∠ACB ＝14°，∴tan14°＝6BC ＋12，即0.25＝6BC ＋12，解得BC ＝12m.答：点B 与点C 之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.。

28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。

即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。

二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65o方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34o方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。

部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是学生在学习了三角函数基础知识之后的一个实践应用部分。

本节内容通过实际问题引入方位角和坡度的概念，让学生了解在实际问题中如何利用三角函数知识解决问题。

教材通过实例分析，引导学生掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对直角三角形有一定的认识。

但是，将理论知识应用于实际问题解决中，特别是涉及到方位角和坡度的问题，对学生来说还是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法。

2.过程与方法：通过实际问题，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：方位角、坡度的概念及应用。

2.难点：如何将方位角、坡度与直角三角形相结合，解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入方位角、坡度的概念。

2.准备一些图片或实物，用于展示直角三角形的应用。

3.分组讨论的素材，让学生在课堂上进行实践操作。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如建筑工人测量高度、航海员确定船只位置等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。

让学生认识到方位角、坡度在实际生活中的重要性。

2. 呈现（10分钟）教师讲解方位角、坡度的概念，并通过实例解释其在实际问题中的应用。

同时，引导学生回顾直角三角形的知识，为后续解直角三角形打下基础。