2015届高考数学冲刺“得分题”训练08理(含解析)

[课堂练通考点]1．(2014·云南检测)直线x ＝π3的倾斜角等于 ( )A ．0 B.π3 C.π2D ．π解析：选C 直线x ＝π3，知倾斜角为π2.2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．4．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2.∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)5．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x P ,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．若实数a ，b 满足a ＋2b ＝3，则直线2ax －by －12＝0必过定点( ) A ．(－2,8) B ．(2,8) C ．(－2，－8)D ．(2，－8)解析：选D a ＋2b ＝3⇒4a ＋8b －12＝0，又2ax －by －12＝0，比较可知x ＝2，y ＝－8故选D.4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.5．(2014·浙江诸暨质检)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4解析：选A 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4，故选A.6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2， 解得x ＝－3. 答案：－37．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－(－1)＝1.∴k 的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]8．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)当过原点时，直线方程为y ＝－53x ，(2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝09．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 10．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.2．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________.解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小． 答案：12。

奉节夔门高级中学高2015届数学阶段性测试题8（理科）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分） 1.)585sin(︒-的值为( )A. 22-B.22C. 23-D. 232.设,x y R ∈，向量(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-且a c ⊥，//b c ，则x y +=( ) A ．0 B ．4-C ．2D ．43. 下列命题中，是假命题的是( ) A ．0,,cos sin 4x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭B ． ,sin cos 2x R x x ∀∈+≠C ．a b a b ⋅=⋅D ． 42log 323=4.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤142y x y x y ，则y x z +=3的最大值为( )A.8B.11C.9D.125.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.23 C.1321 D.610987 6.已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且∅=⋂N M ，则a =（ ）A.-6或-2 B .-6C.2或-6D.27.已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =，则nm 41+的最小值为( ) A.23 B. 35 C. 625 D. 不存在 8.已知圆22:230(0)M x y mx m ++-=<的半径为2，椭圆222:13x y C a +=的左焦点为(,0)F c -，若垂直于x 轴且经过F 点的直线与圆M 相切，则a 的值为（ ） A ．34B ．1C ．2D ．49.已知A ，B ，C ，D 是函数()ϕω+=x y sin 一个周期内的图象上的四个点，如图所示，⎪⎭⎫⎝⎛-0,6πA ,B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则ϕω,的值为（ ）A. 3,21πϕω==B ．6,21πϕω== C. 6,2πϕω== D.3,2πϕω== 10.如图，已知B 、C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与a 轴的交点，点A 在劣弧PQ （包括端点）上运动，其中︒=∠60POx ，OP ⊥OQ ，作AH ⊥BC 于H.若记AC y AB x AH +=，则xy 的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,161C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡163,161D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,163二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分） 11.设复数1iz i=-，则z =_____________ 12.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3π个单位，则所得函数图象对应的解析式为_________．13. 已知,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，11tan ,tan 6263ππαββ⎛⎫⎛⎫++=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则____α=．选做题（14 15 16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数）14. 如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若11,23PB PC PA PD ==，则BCAD= ． 15.在平面直角坐标系xoy 中，若圆cos 1:sin 2x r C y r θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）与直线46:32x t L y t =+⎧⎨=--⎩（t为参数）相交的弦长为，则圆的半径_______r =．16. 若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数k =__________．三三 解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且6,2a c b +==，7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求()sin A B -的值.18. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分） 已知函数()x xx f sin 32cos 22-=. （Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若α为第二象限角，且313=⎪⎭⎫⎝⎛-παf ，求ααα2sin 2cos 12cos -+的值.19. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）设正项等差数列{}n a ， 1452,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项，32=a . （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*∈N n ， 6323-≥⎪⎭⎫⎝⎛+n T k n 恒成立， 求实数k 的取值范围.20. （本题共12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分） 已知函数2()ln f x x x ax =+-（a 为常数）.（Ⅰ）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）若对任意的()2,1∈a 存在[]01,2x ∈，使不等式0()ln f x m a >恒成立，求实数m 的取值范围.21. （本题共12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且12cos 2sin 22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+C B A ，a ＝1，b ＝2.（Ⅰ）求∠C 和边c ；（Ⅱ）若BC BM 4=,BN =且点P 为△BMN 内切圆上一点，.22. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）已知点()0,2A ,椭圆E:()012222>>=+b a b x a y 的离心率为23；F 是椭圆E 的下焦点，直线AF 的斜率为23，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于M,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的直线方程.。

2015年高考数学模拟冲刺卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．A ．奇函数且图象关于点（2π，0）对称B ．偶函数且图象关于直线x=2π对称 C ．奇函数且图象关于直线x=2π对称D ．偶函数且图象关于点（2π，0）对称． ． ． ．设平面PAB 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0=∙AB n ,0=∙PB nm =（x ，y ，z ），则n CB =0,m PB =0，即x=0,3y-x=021．某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区（如图），L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是0.5；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为0.75，0.6．（Ⅰ）求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（Ⅱ）若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．解：（Ⅰ）设”L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则P (A )＝213303)21(21)21(⨯⨯+⨯C C （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2P (X ＝0)＝(1−101)531()43=-⨯P (X ＝1)＝20953)431()531(43=⨯-+-⨯，P (X ＝2)＝2095343=⨯EX ＝0×101×1209+×209+2×209=2027设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2，3，P (Y ＝0)＝303)21(⨯C ＝(Y ＝1)＝13C ×21×(21)2＝P (Y ＝2)＝23C ×(21)2×21＝(Y ＝3)＝33C ×(21)3＝若在线段MN 上取一点R ，使得RN MR λ-=，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．解：（Ⅰ）∵已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形，∴c=1，a=2，…（2分）∴b ＝（Ⅱ）直线MN 的斜率必存在，设其直线方程为y=k （x+4），并设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．直线方程与椭圆方程联立，消去y 得（3+4k 2）x 2+32k 2x+64k 2-12=0，则x 0＝解：（1）函数f （x ）的定义域是：（0，+∞）由已知f ′(x )＝∴x=e ∵当0＜x ＜e 时，f ′(x )＝0ln 12>-x x ，当x ＞e 时，f ′(x )＝2ln 1xx -＜0∴函数f （x ）在（0，e]上单调递增，在[e ，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f （x ）在（0，e]上单调递增，在[e ，+∞）上单调递减故①当0＜2m ≤e 即0＜m ≤(x )m ax ＝f (2m )＝m m 2)2ln(−1，②当m ≥e 时，f （x ）在[m ，2m]上单调递减∴f (x )max ＝f (m )＝mm ln −1，m ＜e 时∴f (x )m ax ＝f (e )＝e1−1．（3）由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，f (x )max ＝f (e )＝e1−1，∴在（0，+∞）上恒有f (x )＝m m ln −1≤e1−1，≤≤e 10，nn +1≠e ，∴ln n n +1＜e 1•n n +1⇒ln (n n +1)e ＜n n +1，即对∀n ∈N *，不等式ln (n n +1)e＜。

第3讲 分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 2．分类讨论的常见类型（1）由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． （2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．（3）由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4）由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．（5）由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．（6）由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 3．分类讨论的原则 （1）不重不漏．（2）标准要统一，层次要分明．（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 4．解分类问题的步骤（1）确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． （2）对所讨论的对象进行合理的分类．（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． （4）归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1 （1）(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．（2）在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >3，2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23B ．1716C ．32D ．1（2）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列 B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 例2 （1）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0，x ≤2表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)．（2）设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为________．思维升华 求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．（1）已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( )A ．－12B ．12C ．0D ．－12或0（2）设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．热点三 由参数引起的分类讨论例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．思维升华 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．（1）若函数g (x )过点(1,1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； （2）判断函数f (x )的单调性．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论． 常见的分类讨论问题有：（1）集合：注意集合中空集∅的讨论．（2）函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a >1和0<a <1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．（3）数列：由S n 求a n 分n ＝1和n >1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论． （4）三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．（5）不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论． （6）立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；（7）平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．（8）排列、组合、概率中的分类计数问题． （9）去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．真题感悟1．(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A ．5B ． 5C ．2D ．12．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2014·广东)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．60 B ．90 C ．120 D ．130 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1， x ≥0，(a ＋2)e axx <0为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－2,0) C ．[－1,0) D ．[－1，＋∞)2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或123．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( ) A ．1或3 B ．1或4 C ．2或3 D ．2或4 5．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .6．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性．例1 (1)a ≤2 (2)32或6 变式训练1 (1)C (2)D例2 (1)20 (2)12或32 变式训练2 (1)D (2)2或72例3 解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .变式训练3 解 (1)因为函数g (x )过点(1,1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2(x ＋1)2＝x ＋3(x ＋1)2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0,0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x >－1)， 所以f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝x ＋1＋a (x ＋1)2.①当a ≥0时，因为x >－1，所以f ′(x )>0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．②当a <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >－1，得－1<x <－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >－1，得x >－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a <0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增． BCD CCCD5．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘q ，得 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).6．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．。