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高中物理解题方法---微元法

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高中物理解题方法 高中物理解题方法----微元法 一、什么是微元法：

在所研究是物理问题中，往往是针对研究对象经历某一过程或处于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此对象的物理量可能是不变的，而更多则可能是变化的。对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是把全过程分割成很多短暂的小过程或把研究对象整体分解为很多的微小局部的研究而归纳出适用于全过程或整体的结论。这些微小的过程或微小的局部常被称为“微元”，此法也被称为：“微元法”。

二、对微元的理解：简单地说，微元就是时间、空间或其它物理量上的无穷小量，（注：在数学上我们把极限为“零”的物理量，叫着无穷小量）。当某一连续变化的事物被分割成无数“微元”（无穷小量）以后，在某一微元段内，该事物也就可以看出不变的恒量了。所以，微元法又叫小量分析法，它是微积分的理论基础。

三、微元法解题思想：

在中学物理解题中，利用微元法可将非理想模型转化为理想模型（如把物体分割成质点）；将曲面转化为平面，将一般的曲线转化为圆弧甚至直线段；将变量转化成恒量。从而将复杂问题转化为简单问题，使中学阶段常规方法难以解决的问题迎刃而解。

微元法的灵魂是无限分割与逼近。用其解决物理问题的两要诀就是取微元----无限分割和对微元做细节描述----数学逼近。所谓取微元就是对整体对象作无限分割，分割的对象可以是各种几何体，得到“体元”、“面元”、“线元”、“角元”等；分割的对象可以是一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；也可以对某一物理量分割，得到诸如“元功”、“元电荷”、“电流元”、“质元”等相应元物理量，它们是被分割成的要多么小就有多么小的无穷小量，而要解决整体的问题，就得从它们下手，对微元作细节描述即通过对微元的性质做合理的近似逼近，从而在微元取无穷小量的前提下，达到向精确描述的逼近。

例1、如图所示，岸高为h，人用不可伸长的绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为时，人收绳速率为，则该位置船的速率为多大？

例2、如图所示，长为L的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m，船的质量为M，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？

例3、如图所示，半径为R，质量为m的匀质细圆环，置于光滑水平面上，若圆环以角速度绕环心O转动，试证明：（1）圆环的张力22RmT

(2)圆环的动能2)(21RmEk

例4、一根质量为M，长度为L的匀质铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度x时，链条对地面的压力为多大？

高中物理解题方法 例5、如图所示，半径为R的半圆形绝缘细线上、下1/4圆弧上分别均匀带电+q和－q，求圆心处的场强.

例6、如图所示，在离水平地面h高的平台上有一相距L的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C，充电后两端电压为U1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m的金属棒，当闭合S，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U2，求棒落在离平台多远的位置.

例7、（1）试证明：质量为M的匀质球壳，对放置在空腔内任意一点的质量为m的质点的万有引力为零。 （2）若将上述质点移至球壳外距球心O距离为r处，求此时系统具有的引力势能为多少？规定r时，系统引力势能为零

1、如图所示，在无风的天空，人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡，人和气球地质量分别为m和M ，此时人离地面高h 。现在人欲沿悬索下降到地面，试问：要人充分安全地着地，绳索至少要多长？

高中物理解题方法

2、平面上有两直线夹角为θ（θ<90°），若它们各以垂直于自身大小为v1和v2的速度在该平面上作如图所示的匀速运动，试求交点相对于纸面的速度。

3、如图所示，质量相等的两个小球A和B通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C 球上升，某时刻连接C球的两绳的夹角为θ，设A、B两球此时下落的速度为v，则C球上升的速度大小为

4、如图所示，在绳的C端以速度v匀速收绳从而拉动低处的物体M水平前进，当绳AO段也水平恰成α角时，物体M的速度大小为

5、如图所示，电量Q均匀分布在一个半径为R的细圆环上，求圆环轴上与环心相距为x的点电荷q所受的电场力的大小.

6、如图所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小为B，一光滑导轨竖直放置，导轨上接有一电容为C的电容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m，导轨电阻不计，并从静止释放金属棒开始计时，求金属棒的速度v跟运动时间t关系式。 O 1

2 v2

v1 θ 高中物理解题方法

7、在无风的天气，雨滴从离地（足够高）H处由静止下落，已知雨滴下落过程中所受空气阻力始终跟它的速度大小成正比，即f=kv，k为已知常量。试求：

（1）雨滴接近地面时的收尾速度

（2）雨滴下落的时间

8、电量为Q的点电荷固定在图中O点，另一电量为q的点电荷距离Q距离为r，若规定两者相距无穷远时，系统电势能为零，试求上述系统具有的电势能。

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高中物理重要方法典型模型突破7-数学方法(5)--微元法

高中物理重要方法典型模型突破7-数学方法(5)--微元法

专题七 数学方法（5） 微元法

【重要方法点津】

在物理学的问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或出于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此研究对象的物理量有的可能是不变的，而更多的则可能是变化的，对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是将全过程分为很多短暂的微小过程或将研究对象的整体分解为很多微小局部，这些微小过程或者是微小的局部常被称为“微元”，而且每个微元所遵行的规律是相同的，取某一微元加以分析，然后在将微元进行必要的数学方法或物理思想处理归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这种方法被称为“微元法”。微元法是物理学研究连续变化量的一种常用方法。

微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。

应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程；

（2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。

【典例讲练突破】

【例1】

设某个物体的初速度为0v，做加速度为a的匀加速直线运动，经过时间t，则物体的位移与时间的关系式为2012xvtat，试推导。

【总结】这是我们最早接触的微元法的应用。总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微元，时间t极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式iixvt，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和，

高中物理解题中“微元法”的应用分析

高中物理解题中“微元法”的应用分析

高中物理解题中“微元法”的应用分析

马　骞(青海省西宁市湟川中学　８１０００１)摘　要:在对物理习题进行研究时ꎬ需借助科学的思维方式与解题思路进行专业化物理模型的构建ꎬ以便简单化原本复杂的物理题目ꎬ有利于最佳解决方法的寻找.倘若将微元法应用于高中物理解题中ꎬ以数学手段表现物理概念ꎬ不论是解题效率亦或是准确率都能得到一定的保障.关键词:高中物理解题ꎻ微元法ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－００８４－０２

收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:马骞(１９７７.４－)ꎬ男ꎬ青海省西宁市人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教育研究. “微元法”其实就是我们常说的“化变为恒”ꎬ主要是将物体变化的本质特征抓住ꎬ通过对变化所需时间、空间进行限制ꎬ以不变的事物或过程取代变化的事物或过程.此类思想主要源自于物理教材ꎬ学生要想得到解题效率与准确率的提升ꎬ就必须立足于教材ꎬ在实际问题中灵活运用“微元法”. 一、微元法概述在物理解题过程中ꎬ“微元法”属于不常用却极为有效的方法.“微”代表的是短暂过程或瞬间物理过程ꎬ“元”代表的是具有相对独立特性ꎬ可对整体进行一定程度反映的物理过程.微元法是在整体中选取一个微小的局部过程ꎬ以部分内在联系、规律为根据ꎬ依托局部过程对整个物理过程进行了解.立足于数学角度而言ꎬ该方法类似于积分与极限过程ꎬ通过叠加“微元”便可将最终结论得出.微元法的应用步骤主要分为:确定研究对象ꎬ选取“微元”ꎻ借助规律对“元”的过程进行表达ꎻ展开叠加求解的整个过程. 二、高中物理解题中“微元法”的应用１.质量元Δｍ“质量元”都有着相同的规律ꎬ我们应将其划分为多个微小的“质量元”ꎬ遵循其解题方法ꎬ以其中一个当成研究对象ꎬ并以上述应用步骤为根据将表达式得出ꎬ进而解决问题.例１　火车处于加速启动状态ꎬ其车厢内装有一桶水ꎬ水面与水平面夹角若为θꎬ那么火车加速行驶的具体加速度是多少?解析　我们应将所需“水元”(质量Δｍ)从水面上进行提取ꎬ图中显示出其受力情况.倘若合力Ｆ合

高中物理重要方法典型模型突破7-数学方法(5)--微元法 (解析版)

高中物理重要方法典型模型突破7-数学方法(5)--微元法 (解析版)

专题七 数学方法（5） 微元法

【重要方法点津】

在物理学的问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或出于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此研究对象的物理量有的可能是不变的，而更多的则可能是变化的，对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是将全过程分为很多短暂的微小过程或将研究对象的整体分解为很多微小局部，这些微小过程或者是微小的局部常被称为“微元”，而且每个微元所遵行的规律是相同的，取某一微元加以分析，然后在将微元进行必要的数学方法或物理思想处理归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这种方法被称为“微元法”。微元法是物理学研究连续变化量的一种常用方法。

微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。

应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程；

（2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。

【典例讲练突破】

【例1】

设某个物体的初速度为0v，做加速度为a的匀加速直线运动，经过时间t，则物体的位移与时间的关系式为2012xvtat，试推导。

【点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t极短，写出vt图像下微元的面积的表达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。 【解析】作物体的vt图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t极短，速度可以看成是不变的，设第i段的速度为iv，则在t时间内第i段的位移为iixvt，物体在t时间内的位移为iixxvt，在vt图像上则为若干个微小矩形面积之和。

高中物理微元法

高中物理微元法

- 1 - 高中物理微元法

微元法是物理学中常用的数学工具之一，它可以帮助我们更好地理解物理现象和解决物理问题。

微元法的核心思想是将一个复杂的物理系统分解为无限小的微小部分，并对这些微小部分进行分析和计算。通过这种方法，我们可以得到系统各部分的性质和相互作用，从而更加深入地了解整个系统的行为规律和特性。

在物理学中，微元法被广泛应用于多个领域，如热力学、电学、光学等。其中，微元法在力学中的应用尤为广泛，例如在计算质点的位移、速度和加速度时，我们就可以使用微积分中的微元法。

在高中物理学习中，微元法也是一个非常重要的概念，学生们需要掌握微元法的基本思想和具体应用方法。掌握微元法可以帮助学生更好地理解物理学中的各种现象和规律，提高解决物理问题的能力。

因此，学生们在高中阶段应该认真学习微元法，并在实践中不断探索其应用。只有通过不断的学习和实践，才能真正掌握微元法的精髓，为今后的科学研究和学习打下坚实的基础。