高中物理微元法

微元法在高中物理中的运用及技巧简说

微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿了整个高中物理。比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是在解决高层面物理问题时，常常起到事半功倍的效果。

微元法，即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元作“低细节”描述）。用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，具体说即是对事物作整体客观观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。所以微元法解决问题的两要诀就是取微元与对微元作“低细节”描述。

如何取微元呢？主要有这么几种：对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的，要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。

关于逼近有这么常见的几种逼近：①“直”向“曲”的逼近。例如质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功。我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicosθ＝mgHi，在无限分割下，即n→∞的条件下，WG=ΣWi＝mgH；②平均值向瞬时值的逼近。例如瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t’长度为△x，则物体在时间△t内平均速度为■=■，当△t→０时，该时间元的平均速度即时刻的瞬时速度。③常量向变量的逼近。例如由v-t图推导匀变速直线运动位移时间关系时，任意时间间隔△t内Vi≠Vi＋１，当△t→０时，Vi＝Vi＋１，位移元Ｘi＝Vi△t，所以Ｘ＝ΣＸi梯形的面积。

144神州教育

微元法在高中物理解题中的应用

李子腾

莱芜市第一中学57级3级部8班

摘要：在高中物理题解题过程中，有很多的解题方法，微

元法是一种比较常见且基本的思想方法，微元法可以帮助我们

拓展思考的路径，能够更快的解决在物理学习中遇到的难题，

节省我们的做题时间，提高我们学习物理的效率。本文通过分

析微元法的含义和基本过程，对微元法在高中物理解题中的应

用做了探究。

关键词：微元法；高中物理

引言

当前阶段，微元法的运用是高考的热点，也是解答高中物

理问题的常用方法，且微元法在高中物理解题中有着非常重要

的作用，尤其当我们碰到一些无法用熟悉的物理规律进行解答

的物理问题时，可以通过微元法由部分到整体的思路，使得问

题变得相对简单，不仅丰富了解决物理问题的方法，还能帮助

我们理出清晰的解题思维，最终找到最为合适的解决物理难题

的解题方式。

1 微元法的含义及运用的基本过程

微元法在高中物理解题中是一种比较快速且有效的解题方

法，其中“微”指的是很短促的阶段，“元”不仅体现单独性，

还能够反馈物理解题的阶段。它的核心在于将整个的解题过程

中最有代表性的部分挑选出来，进行研究和分析，然后通过局

部的研究结果不断扩大到部分以及整体，最终完成解题，找出

答案。微元法的运用主要包含以下基本过程：一是要明确研究

的对象，挑选出最为合适的微元，取元时要尽量选择比较简洁

的，不能太过复杂；二是建立模型列出微元方程，这个过程实

际是通过相似的原理把复杂的问题变得简单的过程；三是对选

取的微元进行一定计算以后，把它们进行汇总计算最终得出结

果。微元法是一个由小到大的过程，在高中物理学习和解题中，

合理有效的运用微元，不仅可以帮助我们对已经学习过的物理

知识和规律再次思考，达到巩固的效果，并且加深认识，还能

够提高我们运用所学知识解答物理问题的水平和能力。

2 微元法在高中物理解题中的应用

2.1 提供解题思路

用微元法解决物理问题的第一步是取元，它可以是一段时

间内的某个极短时间，可以是图形的极小部分，也可以是一定

微元法在高中物理中的应用

微元法是一种分析、解决物理问题的常用方法，其基本思想是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从而将复杂的物理问题转化为简单的、易于解决的子问题，以便更好地进行分析和求解。

在高中物理中，微元法可以应用于以下几个方面：

1. 计算物体的面积和体积：通过微元法，可以将物体的面积和体积分别分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物体的面积和体积。

2.

计算物理过程中的变化量：通过微元法，可以将物理过程分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到整个物理过程中的变化量。

3. 计算物理量在时间或空间上的变化率：通过微元法，可以将时间或空间分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物理量在时间或空间上的变化率。

总之，微元法在高中物理中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地解决一些复杂的物理问题。

专题七 数学方法（5） 微元法

【重要方法点津】

在物理学的问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或出于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此研究对象的物理量有的可能是不变的，而更多的则可能是变化的，对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是将全过程分为很多短暂的微小过程或将研究对象的整体分解为很多微小局部，这些微小过程或者是微小的局部常被称为“微元”，而且每个微元所遵行的规律是相同的，取某一微元加以分析，然后在将微元进行必要的数学方法或物理思想处理归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这种方法被称为“微元法”。微元法是物理学研究连续变化量的一种常用方法。

微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。

应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程；

（2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。

【典例讲练突破】

【例1】

设某个物体的初速度为0v，做加速度为a的匀加速直线运动，经过时间t，则物体的位移与时间的关系式为2012xvtat，试推导。

【点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t极短，写出vt图像下微元的面积的表达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。 【解析】作物体的vt图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t极短，速度可以看成是不变的，设第i段的速度为iv，则在t时间内第i段的位移为iixvt，物体在t时间内的位移为iixxvt，在vt图像上则为若干个微小矩形面积之和。