系统的数学模型

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精品文档 第二章 自动控制系统的数学模型

教学目的：

（1） 建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。

（2） 掌握传递函数的概念及求法。

（3） 通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。

（4） 通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。

（5） 掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。

（6） 通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力

教学要求：

（1） 正确理解数学模型的特点；

（2） 了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；

（3） 牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；

（4） 掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；

（5） 掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；

（6） 掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。

教学重点：

有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。

教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换； 求第K条前向通道特记式的余子式k。

教学方法：讲授

本章学时：10学时

主要内容：

2.0 引言

2.1 动态微分方程的建立

2.2 线性系统的传递函数

2.3 典型环节及其传递函数

2.4系统的结构图

2.5 信号流图及梅逊公式

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精品文档 2.0引言：

什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？

1.控制系统简介

根据不同的系统分类需要建立不同的数学模型，常见分类如下：

按输入信号类型：

定值控制：输入一个定值，期望被控对象恒定。例如定速巡航、恒温控制等

程序控制：规律性输入，期望被控对象按一定规律执行。例如自动驾驶，热处理等，洗衣机

随动控制：输入参数不确定，期望被控对象根据输入做出规律反应。例如：雷达跟踪、天气检测等。

根据系统信息流传递分类：

连续系统：时间连续性、空间连续性，用微分方程描述

离散系统：计算机，用差分方程描述

按系统自身特性分类：

线性系统：组成系统的所有元件或子系统都是线性的，具有叠加性，例如加法和乘法

非线性系统：至少有一个元件是非线性的

按系统输入输出：

单输入单输出：经典控制理论

多输入多输出：现代控制理论

按控制规律：

经典控制系统

现代控制系统

模糊控制系统

神经网络控制系统

。。。。。。

2. 怎么建立一个控制系统的数学模型

根据上述分类过程，可以获得对应的数学模型描述：单输入单输出、多输入多输出；定常参数、时变参数；连续、离散；集中参数系统、分布参数系统等等。（集中参数系统意思是变量仅是时间的函数，分布参数系统变量不仅是时间的函数，还是空间的函数）

2.1 机理建模 根据系统塞恩运动学或动力学规律进行建模，也就是分析法，或者说专家知识。例如：牛顿定律，麦克斯韦方程等。这种方式建立成功时，十分精确，但需要大量的专家精力。这是该课程的主要关注方式，要求模型必须准确，且抓住主要因素，尽可能简化数学模型。

2.2 实验建模

给系统施加特定的输入，记录系统的变化情况，通过分析输入输出情况，去拟合出一个数学模型，这种方式类似于当前神经网络的方法。这种方式也称为辨识模型，同样要耗费大量的时间成本，而且模型没有机理建模准确。但会用于没法获得专家知识的情况，例如涡流、大型电网等，一个是物理研究未达到，一个是超大模型，专家力不能及。

2.3 混合模式

尽管课程中未提及，但我认为这应该属于智能控制的范畴，专家给出一定的机理分析，给辨识模型提出起点，使其能更好的找到辨识方向，同时约束了辨识模型。这在一定程度上获得了机理建模的准确性和辨识建模的泛用性，获得了两种模型的优势。在后面的项目中，主要研究该课题，方向在机器人和无人机的自主控制。

内部控制系统评价定量分析的数学模型

随着企业规模的扩大和风险的增加，内部控制系统的评价变得越来越重要。为了对内部控制系统进行全面、准确的评价，需要借助数学模型来进行定量分析。本文将介绍内部控制系统评价定量分析的数学模型，并探讨其应用。

一、概述

内部控制是指企业为实现经营目标，确保资产的安全、准确记录交易、遵循法规、规范业务流程等各类控制措施的总称。内部控制系统评价的目的是评估企业内部控制体系的有效性和可行性，为企业管理者提供改进措施。

二、数学模型

1. 贝叶斯网络模型

贝叶斯网络模型是一种概率图模型，通过描述事物间的相互关系，分析因果关系的强弱，从而评估内部控制系统的有效性。通过建立各个控制点的贝叶斯网络模型，可以量化各项控制措施对于风险的影响程度，并计算出整体的风险水平。

2. 层次分析模型

层次分析模型是一种定量分析方法，通过对内部控制系统的各个要素进行分层次的两两比较和权重分配，来评估内部控制系统的整体性能。通过构建层次分析模型，可以确定内部控制系统各项要素的重要性，并为改进措施的制定提供数学依据。

3. 控制链模型

控制链模型是通过描述内部控制系统中控制要素的依赖关系，评估控制链的强弱程度。通过量化各个控制要素的控制力度和被控制程度，可以评估控制链的可靠性和有效性，为内部控制系统的改进提供指导。

三、应用案例

以某企业的采购管理为例，应用数学模型评价内部控制系统的有效性。

1. 建立贝叶斯网络模型

根据采购管理的各项控制措施，建立贝叶斯网络模型，包括供应商审核、采购订单审核、收货检验等多个节点。通过概率计算和条件推理，评估各个节点的风险水平，并计算出整体的风险水平。

2. 构建层次分析模型

将采购管理的各个要素进行层次化比较和权重分配，包括采购流程、内部审核、采购人员素质等。通过计算各个要素的权重，评估内部控制系统的整体性能，并为改进提供决策支持。

3. 评估控制链的可靠性 通过分析采购管理的各个控制要素之间的依赖关系，量化控制链的可靠性。从供应商筛选、数据录入、订单审核到收货检验等环节，评估控制链中的薄弱环节，并提出改进建议。

- 1 - 控制系统数学模型

控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析的过程。控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。

数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。

在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。

常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。时变系统模型是指系统的特性随时间变化。

除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。

总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。