2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三(上)第一次联考数学试卷(含答案)
- 格式：pdf
- 大小：175.01 KB
- 文档页数：7
第1页，共7页2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三（上）
第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2
−𝑥−2≤0}
，𝐵={𝑥|2𝑥−3<0}
，则𝐴∩𝐵=
( )
A. [−2,1]
B. [−1,3
2)
C. (−∞,3
2)
D. (−∞,−1]
2.(2𝑥−1
𝑥
2)7
的展开式中1
𝑥
2项的系数是( )
A. 672
B. −420
C. 84
D. −560
3.已知等差数列{𝑎
𝑛}
前𝑛
项和为𝑆
𝑛，若𝑎
7
𝑎
5=12
13，则𝑆
13
𝑆
9=
( )
A. 9
13B. 12
13C. 7
5D. 4
3
4.已知随机变量𝑋
的分布列如下表所示，则𝐸(2𝑋+1)=
( )
𝑋123𝑃1
3𝑎16
A. 11
6B. 11
3C. 14
3D. 22
3
5.已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔
2(𝑥2
−𝑎𝑥),𝑎∈𝑅
，则“𝑎≤2
”是“函数𝑓(𝑥)
在(1,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.函数𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜋
6)(𝜔>0)
的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则𝜔
的取值范围为( )
A. (𝜋
6,2𝜋
3]
B. (𝜋
6,4𝜋
3]
C. (𝜋
3,4𝜋3]
D. (𝜋3,7𝜋
3]7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)
，且母线与底面所成角的余弦值为1
3，则此
圆台与其内切球的体积之比为( )
A. 7
4B. 2
C. 3
2D. 5
3
8.设函数𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−1)2
−1,𝑔(𝑥)=cos𝜋𝑥
2−2𝑎𝑥
，若函数ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)
在区间(−1,1)
上存在零点，则
实数𝑎
的取值范围是( )第2页，共7页A. 𝑎≤2
B. 1
2<𝑎≤1
C. 1
2<𝑎≤2
D. 1<𝑎≤2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数𝑎
，𝑏
，𝑐
满足2𝑎
=5𝑏
=10𝑐
，则( )
A. 𝑏+𝑐=𝑎
B. 𝑎>𝑏>𝑐
C. 1
𝑎+1
𝑏=1
𝑐D. 𝑎+4𝑏≥9𝑐
10.若直线𝑦=𝑘𝑥(𝑘∈𝑅)
与圆𝐶
：(𝑥−1)2
+(𝑦−1)2
=1
交于不同的两点𝐴
、𝐵
，𝑂
为坐标原点，则( )
A. 当𝑘=2
时，|𝐴𝐵|
=4
5
5
B. 𝐶𝐴⋅𝐶𝐵
的取值范围为[−1,1]
C. |𝑂𝐴|⋅|𝑂𝐵|=1
D. 线段𝐴𝐵
中点的轨迹长度为 2
𝜋
11.若函数𝑓(𝑐𝑜𝑠𝑥)=1−𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
，𝑛∈𝑍
，则下列说法正确的是( )
A. 若𝑛=2
，则函数𝑓(𝑥)
的最大值为2
B. 若𝑛=3
，则函数𝑓(𝑥)
为奇函数
C. 存在𝑛∈𝑍
，使得𝑓(𝑠𝑖𝑛𝑥)=1−𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥
D. 若𝑓(𝑠𝑖𝑛𝑥)+𝑓(𝑐𝑜𝑠𝑥)=2
，则𝑛=4𝑘+2
，𝑘∈𝑍
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知
𝑎
,𝑏
是两个单位向量，若
(3𝑎−𝑏)
⊥𝑏
，则向量𝑎,𝑏
夹角的余弦值为______．
13.若复数𝑧
满足𝑧+−
𝑧=2,𝑧⋅−
𝑧=2
，则|𝑧−2−
𝑧|=
______．
14.如图，设双曲线𝐶：𝑥2
𝑎
2−𝑦2
𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左焦点为𝐹，过𝐹作倾斜角为60°
的直线𝑙与双曲线
𝐶的左支交于𝐴，
𝐵两点，若𝐴𝐹=4𝐹𝐵，则双曲线𝐶的渐近线方程
为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(
本小题13
分)
已知三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷
，𝐴𝐷⊥
底面𝐵𝐶𝐷
，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷
，𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝐶𝐷=2
，点𝑃
是𝐴𝐷
的中点，点𝑄
为线段𝐵𝐶
上一动点，点𝑀
在线段𝐷𝑄
上．
(1)
若𝑃𝑀//
平面𝐴𝐵𝐶
，求证：𝑀
为𝐷𝑄
的中点；
(2)
若𝑄
为
𝐵𝐶
的中点，求直线𝐷𝑄
与平面𝐴𝐵𝐶
所成角的正弦值．第3页，共7页16.(
本小题15
分)
在△𝐴𝐵𝐶
中，内角𝐴
，𝐵
，𝐶
所对的边分别为𝑎
，𝑏
，𝑐
，满足𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎−𝑐
2𝑐．
(1)
若𝐴=𝜋
3，求𝐵
；
(2)
若△𝐴𝐵𝐶
是锐角三角形，且𝑐=4
，求𝑏
的取值范围．
17.(
本小题15
分)
已知椭圆
𝐸：𝑥2
𝑎
2+𝑦2
𝑏
2=1(𝑎>𝑏>0)
的离心率为𝑒=1
2，左、右顶点分别为𝐴
，𝐵
，𝑂
为坐标原点，𝑀
为线段
𝑂𝐴
的中点，𝑃
为椭圆上动点，且△𝑀𝑃𝐵
面积的最大值为3
2 3
．
(1)
求椭圆𝐸
的方程；
(2)
延长𝑃𝑀
交椭圆于𝑄
，若𝐵𝑃⋅𝐵𝑄=6
，求直线𝑃𝑄
的方程．
18.(
本小题17
分)
已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥(𝑥>0)
；
(1)
设函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓(1−𝑥)
，求函数𝑔(𝑥)
的极值；
(2)
若不等式𝑓(𝑥)≥𝑎𝑥+𝑏(𝑎,𝑏∈𝑅)
当且仅当在区间[𝑒,+∞)
上成立(
其中𝑒
为自然对数的底数)
，求𝑎𝑏
的最
大值；
(3)
实数𝑚
，𝑛
满足0<𝑚<𝑛
，求证：𝑙𝑛𝑚+1<𝑓(𝑛)−𝑓(𝑚)
𝑛−𝑚<𝑙𝑛𝑛+1
．
19.(
本小题17
分)
混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用𝑥
𝑛来表示系统在第𝑛
个时刻的状态
值，且该系统下一时刻的状态值𝑥
𝑛+1满足𝑥
𝑛+1=𝑓(𝑥
𝑛)
，已知初始状态值𝑥
0∈(0,1)
，其中𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2
−𝑎𝑥(𝑎∈𝑅)
，这样每一时刻的状态值𝑥
0，𝑥
1，𝑥
2，⋯
，𝑥
𝑛构成数列{𝑥
𝑛}(𝑛∈𝑁)
．
(1)
若数列{𝑥
𝑛}
为等比数列，求实数𝑎
的取值范围；
(2)若𝑥
0=1
2,𝑎=−1
，证明：①1<1
𝑥
𝑛
+1−1
𝑥
𝑛≤2
；
②∑𝑛
𝑖=0𝑥2
𝑖≤𝑛+1
2(𝑛+2)．第4页，共7页参考答案
1.
𝐵
2.
𝐷
3.
𝐷
4.
𝐶
5.
𝐵
6.
𝐶
7.
𝐴
8.
𝐶
9.
𝐵𝐶𝐷
10.
𝐴𝐶
11.
𝐴𝐶𝐷
12.1
3 13.
10
14.
𝑦=
± 11
5𝑥
15.
解：(1)证明：连结𝐴𝑄，因为𝑃𝑀//平面𝐴𝐵𝐶，𝑃𝑀⊂平面𝐴𝐷𝑄，平面𝐴𝐷𝑄∩平面𝐴𝐵𝐶=𝐴𝑄，
则𝑃𝑀//𝐴𝑄，又因为𝑃是𝐴𝐷的中点，所以𝑀是𝐷𝑄中点．
(2)因为𝐴𝐷⊥底面𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，如图建立坐标系，
则𝐷(2,0,0)，𝐵(0,2,0)，𝐴(2,0,2)，𝑄(0,1,0)，
可得𝐷𝑄=(−2,1,0)
，𝐶𝐴=(2,0,2)，𝐶𝐵=(0,2,0)，
设平面𝐴𝐵𝐶的法向量为𝑛=(𝑥,𝑦,𝑧)，
则{
𝑛⋅𝐶𝐴=2𝑥+2𝑧=0
𝑛⋅𝐶𝐵=2𝑦=0，
令𝑥
=−1，则𝑦=
0，𝑧=1，可得𝑛=(−1,0,1)，
