江苏省丹阳市高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 空间两直线的位置关系(2)教案 苏教版必修2

第1课时 直线与平面垂直

1．理解线线垂直、线面垂直的概念． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．

3．能应用性质定理证明空间位置关系．

1．直线与直线的垂直

两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．

2．直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)

(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．

3．直线与平面垂直的性质

(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．

垂直于同一条直线的两个平面平行．

1．下列命题正确的是( )

A．垂直于同一条直线的两直线平行

B．垂直于同一条直线的两直线垂直

C．垂直于同一个平面的两直线平行

D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行

解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．

2．在三棱锥A­BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD． 证明：

如图取BD的中点E，

连接AE，EC．

因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．

又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．

word

1 / 9 4空间图形的基本关系与公理

【教学目标】

1.理解空间中点、线、面的位置关系；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．

【重点难点】

掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题

【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学

【教学课时】 2课时

【教学流程】

自主学习（课前完成，含独学和质疑）

1．空间点与直线的位置关系

(1)如果点P在直线a，记作P∈a.

(2)如果点P在直线a，记作P∉a.

2．空间点与平面的位置关系

(1)如果点P在平面α，记作P∈α.

(2)如果点P在平面α，记作P∉α.

3．空间两条直线的位置关系

(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.

(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.

(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．

4．空间直线与平面的位置关系

(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.

(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线备注：(教师二次备课栏或学生笔记栏) word 2 / 9 a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.

(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.

5．空间平面与平面的位置关系

(1)平行平面：如果平面α与平面β没有，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.

(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.

6．公理1

如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．

第一章 第2课时

A级——基础过关练

1．若直线l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为1，12，2，且l⊥α，则m的值为( )

A．1 B．2

C．4 D．－4

【答案】C

【解析】因为l⊥α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量是共线向量，所以21＝112＝m2，解得m＝4．

2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )

A．α∥β B．α⊥β

C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确

【答案】C

【解析】因为n1·n2＝(2，－3，5)·(－3，1，－4)＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，所以n1与n2不垂直，显然n1与n2不平行，所以α，β相交但不垂直．

3．已知点A(0，0，0)，B(－1，0，－1)，C(1，2，1)，P(x，y，1)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( )

A．(1，0，－1) B．(－1，0，1)

C．(1，－1，1) D．(－1，0，0)

【答案】B

【解析】由已知得PA→＝(－x，－y，－1)，AB→＝(－1，0，－1)，AC→＝(1，2，1)．若PA⊥平面ABC，则PA→·AB→＝0，PA→·AC→＝0，

即x＋1＝0，－x－2y－1＝0，解得x＝－1，y＝0．故点P的坐标为(－1，0，1)．故选B．

4．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是( )

A．平行 B．垂直

C．在平面内 D．成60°角

【答案】B

【解析】因为AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1)，所以AP→·AB→＝(－1)×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，AP→·AD→＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0．所以AP→⊥AB→，AP→⊥AD→，即AP⊥AB，AP⊥AD．又因为AB∩AD＝A，所以直线PA⊥平面ABCD．

- 1 - 1.2.2 空间两条直线的位置关系

学

习 目 标 核 心 素 养

1．会判断空间中直线与直线的位置关系．(重点)

2．能应用公理4和等角定理解决简单的立体几何问题．(难点)

3．了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角．(难点) 通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

1．空间两直线的位置关系

2．公理4及等角定理

(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

符号表示： a∥bb∥c⇒a∥c.

(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

3．异面直线的判定及其所成的角

(1)异面直线的判定定理

定理 文字语言 符号表示 图形语言

异面直

线的判

定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若lα，Aα，B∈α，Bl，则直线l与AB是异面直线

思考：不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？

提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．

(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有aα，bβ，即a、b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．

(2)异面直线所成的角

①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．

②异面直线所成的角θ的取值范围：0°

1.思考辨析

(1)如果a⊥b，b⊥c，则a∥c. ( )

(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线．

( )

(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交． ( )

(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面． ( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×