微积分练习册[第八章］多元函数微分学
习题8—1 多元函数的基本概念
1。填空题:
(1）若yxxyyxyxftan),(22,则___________),(tytxf
(2）若xyyxyxf2),(22，则(2,3)________,(1,)________yffx
（3）若)0()(22yyyxxyf，则__________)(xf
（4）若22),(yxxyyxf，则____________),(yxf
（5）函数)1ln(4222yxyxz的定义域是_______________
（6）函数yxz的定义域是_______________
（7）函数xyzarcsin的定义域是________________
(8）函数xyxyz2222的间断点是_______________
2。求下列极限：
(1）xyxyyx42lim00
班级： 姓名： 学号： (2) xxyyxsinlim00
（3) 22222200)()cos(1limyxyxyxyx
微积分练习册[第八章］ 多元函数微分学
3.证明0lim22)0,0(),(yxxyyx
4。证明：极限0lim242)0,0(),(yxyxyx不存在
班级： 姓名: 学号：
5。函数(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyxf在点（0，0)处是否连续？为什么？
微积分练习册[第八章] 多元函数微分学
习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用
1.填空题
149 第十章 多元函数微积分
在许多实际问题中往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情况，为此提出了多元函数。对于多元函数微积分的研究是在一元函数的微积分学的基础上进行拓展的，进而探讨多元函数的极限、连续和微积分的问题。
基本内容：基本概念：多元函数；多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、二重积分、三重积分。
基本运算：极限运算，多元函数的极限、偏导数、二重积分等计算。
基本理论：极限理论；复合函数的求导法则；隐函数的求导法则。
具体应用：多元函数的极值；二重积分在实际问题中的应用。
本章重点：多元函数的极限与偏导数概念；二重积分的计算。
课标导航
1．理解多元函数的极限、偏导数、全微分、二重积分等的概念；
2．领会极限理论；多元函数的复合函数的求导法则与隐函数的求导法则；
3．理解多元函数偏导数的几何意义；
4．熟练掌握多元函数的极限、偏导数、全微分的计算；
5．掌握二重积分的性质和几何意义；掌握二重积分的运算方法；
一、知识梳理与链接及其友情提醒与内容强化解读
1．平面点集
邻域 设),(000yxP是平面xoy上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记作),(0PU，即00),(PPPPU；点0P的去心邻域，记作),(00PU，即0000),(PPPPU
内 点 如果存在点P的某个邻域)(PU，使得)(PUE，则称P为E的内点。
外 点 如果存在点P的某个邻域)(PU，使得EPU)(，则称P为E的外点。
边界点 若点P的任一邻域既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称P为E的边界点。
边 界 E的边界点的全体，称为E的边界。
聚 点 若对于任意给定的正数，点P去心邻域),(0PU内总有E中的点，则称P为E的聚点。
开 集 如果点集E的点都是E的内点，则称E为开集。
《微积分(I)》课程教学大纲
英文译名：Calculus I
适用专业：
学 分 数：6 总学时数：96
一、本课程教学目的和任务
通过本课程的学习，使学生获得一元函数微积分学、向量代数和空间解析几何等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。同时，注重培养学生获取知识能力、应用能力和创新能力，提高学生的素质。
二、本课程的基本要求
1．理解函数的概念，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解复合函数的概念，了解反函数、分段函数的概念。会建立简单实际问题的函数关系模型。
2．理解极限的概念(对极限的ε—N、ε—δ定义，可在教学过程中逐步加深理解，对于给定ε求N或δ不作过高要求)，掌握极限四则运算法则，了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限，了解无穷小、无穷大的概念，会用无穷小的比较求极限。
3．理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念并会判别间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大值最小值定理)。
4．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导与连续之间的关系，掌握导数与微分的运算法则和导数的基本公式，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法，会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会用导数描述一些几何量与物理量。
5．理解拉格朗日中值定理，了解罗尔中值定理、柯西中值定理和泰勒公式。
6．理解函数极值的概念，会求函数的极值；会判断函数的单调性、函数图形的凹凸性，会求拐点；会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)；会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
7．会用罗必达法则求不定式的极限。
8．会求曲线的曲率和曲率半径。
9．理解不定积分和定积分的概念和性质，掌握换元积分法和分部积分法，含有理函数和三角函数有理式的积分，理解变上限函数及求导定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，了解广义积分的概念，掌握用定积分求一些几何量和物理量(如平面面积、体积、平面弧长、功、压力、引力等)的方法。
第六章 定积分的应用
6.2 定积分在几何学上的应用
一、求由曲线222xya所围图形绕直线yb（0ab）旋转所成旋转体的体积.（22ab）
二、求抛物线243yxx及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.（94）
三、求由以下各曲线所围成的图形的面积：（1）2cosa（圆）；（2）3cosxat，3sinyat（星形线）. （（1）2a；（2）238a）
四、求位于曲线xye下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积. （2e）
五、求下列曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：
1. 2yx，2xy，绕y轴 2. 22(5)16xy，绕x轴.
（（1）310；（2）160）
六、计算曲线lnyx（38x）的弧长. （131ln22）
七、计算曲线(3)3xyx（13x）的弧长. （4233）
八、求心形线(1cos)a的全长. （8a）
6.2 定积分在物理学上的应用
一、由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F（单位：N）与伸长量s（单位：cm）成正比，即 Fks （k是比例常数）.如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所作的功. （0.18(J)k）
二、设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功? （57697.5(kJ)）
三、有一闸门，它的形状和尺寸如图（教材287页，图6-33）所示，水面超过门顶2m，求闸门上所受的水压力. （205.8(kN)）
四、洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示（教材287页，图6-34）.
当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力. （17.3(kN)）
第九章 重积分
9.1 二重积分的概念与性质
一、利用二重积分的几何意义确定下列二重积分的值：
1. 22(4)Dxyd，其中22:4Dxy。 （323）
