2020高考数学(文科)模拟试卷含答案
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本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120
第I卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .直线mx y 1 0的倾斜角为( C )
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
2、已知集合 A={2 , a—1, a2}, B={9 , —4, 1 — a}.如果 A AB={9},则 a 的值为
3 .已知奇函数f(x)的定义域为[―2, a],若£( 2)
A. 3 B. -3 C. 1 D. 1
3 3
1 .. 一
A. y log 2(x 1) (1x2) B. y log2 --------------------- (1 x 2)
x 1 分钟.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P(A B) P(A) P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A B) P(A) P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是 P,那
么n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率 Pn C：Pk(1 P)nk
球的表面积公式
S 4 R2
球的体积公式
4 3
V - R3 3
其中R表示球的半径
A. 3 B. -3 C. 10 D. 一10
3 ,则f (a)的值为( ___ 1
4 .函数y 1 (1)x(x 0)的反函数是 1 . 一
C. y log2(x 1) (x 2) D. y log2 ----------------------------------- (x 2)
x 1
5 .已知向量 3 ( 1,2), b (2,x), c (x, 3),若 £//6,则 |C|等于(D )
6 .二项式（1 x）7的展开式中，系数最大的项是（ C ）
为（A ）
D(
的范围为（
C 1 a 1 Da 1或 a 1
第II卷（非选择题共100分）
、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 B. 10 C. .5 D. 5
A.第三项 B.第四项 C.第五项 D.第四项或第五项
7.已知平面，都垂直于平面，且 a, b.给出下列四个命题:
①若a b,则 ；②若a//b,则〃；③若 ，则a b;④若〃，则a//b.
9.已知椭圆 2
y
b2 1(a 0）与双曲线x2 2
/相同的焦点，则椭圆的离心率
10.已知x， x
满足x
x 0
若z ax y的最大值为3a 9, 最小值为3a 3,则a 其中真命题的个数为
C. 2 D. 1 A. 4 B. 3 A ) 11 .二项式(Q 2)6的展开式中常数项的值为 ________ 60
X -- ,
12 .椭圆x 2cos的左焦点到右准线的距离为 工内 y sin 3
13 .如图，线段AB在平面 内，线段AC ，线段
BD AB,线段 DD , AB 3, AC BD 4, CD 5 贝U BD
与平面所成的角的大小为30 ；
14 .某单位有六个科室，现从人才市场招聘来 4名新毕业的大学生，现要将这四 名大学生安排到其中的两个科室且每科室 2名，则不同的安排方案种数为 —90 (用数字作答).
三、解答题：本大题共6小题，每 小题14分，共84分。解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。
15 .已知函数 f (x) sin(x —)cos x ,
6
(1 )求f()的值；
(2)求函数f(x)的最大值及相应的
x的集合;
11
(3)四出函数.)在［ -,- ］内的图像;
1
解：(1) f( ) 2；
3 .
(2) f (x) sin(x —)cos x -sin xcosx
1 2
-cos x
2
3 .八 1 八
—sin 2x cos2x
4 4 1 1 1
一 一 sin(2x —) 一
4 2 6 4 当2x — 6 £ 2k (k Z)时,f(x)的最大值为3,止匕时x的集合为｛x x — k (k Z)}… 6 (3)列表:
2x — 6 0 -2 3
2 2
x 12 6 5
12 2
3 11
12
f(x) 1 3 1 1 J
4 4 4 4 4
描点：连线：(略) ......................................... 14分
16设Sn是首项为4,公差d 0的等差数列｛ a n｝的前n项和，若1s3和1S4的等比
3 4
中项为1s5.求： 5
(1) ｛ a n｝的通项公式an； (2)使Sn> 0的最大n值.
解：由条件得：阻屐，
12 25 .S n = am + -n (n - 1 ) d, 2
12 . .(12 5d)d 0, .d 0，得 d — 5
. 12n 32
- an = ------- . 一
5
12n 32 6
⑵由 an = --一 0,
5
得n 8, /n = 2时,Sn取最大值,
3
••・使Sn> 0的最大n的值为4. ......... 14分
17 .已知正四棱柱 ABCD — A1B1C1D1底面边长为 2,
AA 1=4 ,点E在AA 1上，AC与BD交于点O;
(1)若 EA=2 ,求证：A1C/ 平面 EBD;
(2)若EA=3 ,求二面角A-DE-B的正切值；
(3)在AA1上是否存在点E,使异面直线EB与AC所成
的角为30。？若存在，试确定E点的位置，否则说明理由。
解：(1)证明AiC//EO即可; ⑵萼
(3)不存在，可用向量法;
18 .经统计，某大医院一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下:
排队人数 0 —
5 6—10 11 —15 16 —
20 21 —25 25人以上
概 率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05
(1)每天不超过20人排队结算的概率是多少？
⑵一周7天中，若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于
0.75,医院就需要增加结算窗口，请问该医院是否需要增加结算窗口？
解：(1)每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.5+0.25+0.25=0.75 ,即
不超过20人排队结算的概率为0.75. -------- 4 分
(2)每天超过15人排队结算的概率为：0.25+0.2+0.25= -, ---------- 8 分
2
一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为C0 (-2) 7;
一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为C7 (1)(-)7;
2 2
一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为C7 (-) 2 (-) 5; 2 2
所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：
1- [C0(-)7+C 7(-)(-)6+C2(-)2(-)5] =-99 >0.75, --------- 13 分
2 2 2 2 2 128
所以，该医院需要增加结算窗口 . --------- 14 分
19 .已知函数f(x) ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值，曲线y f(x)过原点O (0,
0)和点
P(—1,2),若曲线y f(x)在点P处的切线l与直线y 2x的夹角为45 °,且
l的倾斜角为钝角 (I )求f (x)的解析式；
(H )若f(x)在区间［2m —1, m+1］上是增函数，求m的取值范围.
解：(I) ;曲线y f(x)过原点，所以d=0 ;
f (x) 3ax2 2bx c,且x 0是f(x)的极值点,f (0) 0, c 0.
•••过点P (—1, 2)的切线l的斜率为f ( 1) 3a 2b,
f( 1)2，得 a b 2, f ( 1) 3, 3a 2b 3
f(x) x3 3x2 (a,b,c,d每求对一个得2分，共8分)
f(x)的增区间为(.2］和［0, ); 10分
f(x)在［2m 1,m 1］上是增函数，
［2m 1,m 1］ ( , 2］或［2m 1,m 1］ ［0, ); 12分
m 1 2 3 2m 1 0
或
2m 1 m 1 2m 1 m 1
..1
m 3或—m2. ----------------------------- 14 分
2
20 .在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(1, 3), N(5,1),若点C满足
uur uuuu uur
OC tOM (1 t)ON(t R),点C的轨迹与抛物线y2 4x父于A、B两点；
(1)求点C的轨迹方程;
uuu uuu
(2)求证：OA OB ;
(3)在x轴正半轴上是否存在一定点P(m,0),使得过点P的任意一条抛物线的弦
的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明 理由. 由夹角公式得| 2 f ( 1)
2f ( 1) I 1, f ( 1) 3,f ( 1)
l的倾斜角为钝角 1人, f ( 1) §舍去.
a 1,
b 3.
(II) f (x) 3x2 6x 3x(x 2),令f (x) 0,即 3x(x 2) 0, x 0或 x 2.
