高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质教学案新人教A版必修4
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1.4 三角函数的图象与性质
第1课时正弦函数、余弦函数的图象
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P
30～P
33的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P
31图1.4－3，你认为正弦曲线是如何画出来的？
提示：利用单位圆中的正弦线可以作出y＝sin_x，x∈[0，2π]的图象，将y＝sin_x在[0，2π]内的
图象左右平移即可得到正弦曲线．
(2)在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
提示：作正弦函数y
＝sin_x
，x
∈[0，2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，0)，π
2，1
，
(π，0)，3π
2，－1
，(2π，0)．
(3)作余弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
提示：作余弦函数y＝cos_x，x∈[0，2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，1)，π
2，0
，
(π，－1)，3π
2，0
，(2π，1)．
2．归纳总结，核心必记
(1)正弦曲线
正弦函数y
＝sin x
，x
∈R的图象叫正弦曲线．
(2)正弦函数图象的画法
①几何法：
(ⅰ)利用正弦线画出y
＝sin x
，x
∈[0，2π]的图象；
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
②五点法：
(ⅰ)画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，π
2，1
，(π，0)，3π
2，－1
，(2π，
0)，用光滑的曲线连接；
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(3)余弦曲线
余弦函数y
＝cos x
，x
∈R的图象叫余弦曲线．
(4)余弦函数图象的画法
①要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移π
2个单位长度即可，这是由于cos x＝
sinx＋π
2．
②用“五点法”：画余弦曲线y
＝cos x
在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，
π
2，0
，(π，－1)，3π
2，0
，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
[问题思考]
(1)正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的吗？
提示：是．
(2)余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？
提示：余弦曲线与正弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同．
[课前反思]
(1)正弦曲线的定义：
；
(2)正弦曲线的画法：
；
(3)余弦曲线的定义：
；
(4)余弦曲线的画法：
．
讲一讲
1．用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y
＝sin x
－1，x
∈[0，2π]；
(2)y
＝2＋cos x
，x
∈[0，2π]．
[尝试解答] (1)列表：
x
0π
2π3π
22π
sin x
010－10
sin x
－1－10－1－2－1
描点、连线，如图．
(2)列表：
x
0π
2π3π
22π
cos x
10－101
2＋cos
x 32123
描点、连线，如图．
用“五点法”画函数y
＝A
sin x
＋b
(A
≠0)或y
＝A
cos x
＋b
(A
≠0)在[0，2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x
0π
2π3π
22π
sin x
或
cos x 0或11或00或－1－1或00或1
y y
1y
2y
3y
4y
5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y
1)，π
2，y2
，(π，y
3)，3π
2，y4
，(2π，
y
5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
练一练
1．用“五点法”作出函数y
＝2－sin x
，x
∈[0，2π]的图象．
解：列表如下：
x
0π
2π3π
22π
sin x
010－10
2－sin x
21232
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
讲一讲
2．利用正弦曲线，求满足1
2＜sin x
≤3
2的x
的集合．
[尝试解答] 首先作出y
＝sin x
在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y
＝1
2，根据特殊角的正弦
值，可知该直线与y
＝sin x
，x
∈[0，2π]的交点横坐标为π
6和5π
6；
作直线y
＝3
2，该直线与y
＝sin x
，x
∈[0，2π]的交点横坐标为π
3和2π
3.
观察图象可知，在[0，2π]上，当π
6＜x
≤π
3，或2π
3≤x
＜5π
6时，不等式1
2＜sin x
≤3
2成立．
所以1
2＜sin x
≤3
2的解集为x|π
6＋2kπ＜x≤π
3＋2kπ，
或2π
3＋2kπ≤x＜5π
6＋2kπ，k∈Ｚ
.
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
练一练
2．使不等式2
－2sin x
≥0成立的x
的取值集合是( )
A.x|2kπ＋π
4≤x≤2kπ＋3π
4，k∈Ｚ
B.x|2kπ＋π
4≤x≤2kπ＋7π
4，k∈Ｚ
C.x|2kπ－5π
4≤x≤2kπ＋π
4，k∈Ｚ
D.x|2kπ＋5π
4≤x≤2kπ＋7π
4，k∈Ｚ
解析：选C 不等式可化为sin x
≤2
2.
法一：作图，正弦曲线及直线y＝2
2如图(1)所示．
由图(1)知，不等式的解集为x|2kπ－5π
4≤x≤2kπ＋π
4，}
k∈Ｚ
.故选C.
法二：如图(2)所示不等式的解集为x|2kπ－5π
4≤x≤2kπ＋π
4，k∈Ｚ
.故选C.
讲一讲
3．判断方程sin x
＝lg x
的解的个数．
[尝试解答] 建立坐标系xOy
，先用五点法画出函数y
＝sin x
，x
∈[0，2π]的图象，再依次向左、右
连续平移，得到y
＝sin x
的图象．在同一坐标系内描出1
10，－1
，(1，0)，(10，1)并用光滑曲线连接得
到y＝lg x的图象，如图．
(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．
(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法
的应用．
练一练
3．已知函数f
(x
)＝sin x
＋2|sin x
|，x
∈[0，2π]，若直线y
＝k
与其仅有两个不同的交点，求k
的
取值范围．
解：由题意知f
(x
)＝sin x
＋2|sin x
|＝3sin x，x∈[0，π]，
－sin x，x∈（π，2π].
图象如图所示：
若函数f
(x
)的图象与直线y
＝k
有且仅有两个不同的交点，则由图可知k
的取值范围是(1，3)．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．
2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题
(1)正、余弦函数图象的画法，见讲1；
(2)利用正、余弦函数的图象解不等式，见讲2；
(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题，见讲3.
3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y
＝sin x
，x
∈[0，2π]与y
＝cos x
，x
∈[0，2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x
轴的交
点；②图象上的最高点和最低点．其中，y
＝sin x
，x
∈[0，2π]与x
轴有三个交点：(0，0)，(π，0)，(2
