高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案新人教A版必修4

（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4

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2 / 102 1．4。3 正切函数的性质与图象

预习课本P42～45,思考并完成以下问题

(1)正切函数有哪些性质?

(2）正切函数在定义域内是不是单调函数？

错误!

正切函数y＝tan x的性质与图象

y＝tan x

图象

定义域 错误!

值域 R

周期 最小正周期为π

奇偶性 奇函数

单调性 在开区间错误!(k∈Z)内递增

[点睛] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间错误!（k∈Z）上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间错误!(k∈Z）上是增函数，但不能说函数y＝tan x在定义域内是增函数．

错误!

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”）

(1)正切函数的定义域和值域都是R.（ ）

（2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ）

(3）正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ）

（4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ） （浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4

3 / 103 答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×

2．函数y＝tan错误!的定义域是（ )

A．错误!

B．错误!

C．错误!

D．错误!

答案：A

3．函数f(x）＝tan错误!的单调递增区间为（ ）

A．错误!，k∈Z

B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z

C．错误!,k∈Z

D．错误!，k∈Z

答案：C

4．函数y＝tan x,x∈错误!的值域是________．

答案：［0,1］

正切函数的定义域

[典例] 求下列函数的定义域：

(1）y＝tan错误!;(2)y＝错误!。

[解] (1）由x＋错误!≠kπ＋错误!（k∈Z）得,

x≠kπ＋错误!,k∈Z,

所以函数y＝tan错误!的定义域为

错误!。

（2）由错误!－tan x≥0得,tan x≤错误!.

结合y＝tan x的图象可知,在错误!上，

满足tan x≤3的角x应满足－错误!

所以函数y＝错误!的定义域为 （浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4

4 / 104 错误!.

求正切函数定义域的方法

(1）求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠错误!＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解．

（2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ)（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋错误!，k∈Z,解得x.

[活学活用］

求函数y＝错误!的定义域．

解：要使函数有意义，则有1＋tan x≠0，

∴tan x≠－1，∴x≠kπ－错误!且x≠kπ＋错误!，k∈Z.

因此，函数y＝错误!的定义域为

错误!。

与正切函数有关的周期性、奇偶性问题

［典例] (1)求f(x）＝tan错误!的周期；

(2）判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．

[解］ (1）∵tan错误!＝tan错误!，

即tan错误!＝tan错误!，

∴f(x）＝tan错误!的周期是错误!。

(2）定义域为错误!，关于原点对称，

∵f(－x)＝sin(－x）＋tan(－x）＝－sin x－tan x＝－f（x),

∴它是奇函数．

与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略

(1）一般地，函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为T＝错误!,常常利用此公式来求周期． （浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4

5 / 105 （2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性,若对称，再判断f（－x）与f（x）的关系．

[活学活用]

1．函数y＝tan错误!的最小正周期是（ )

A．4 B．4π

C．2π D．2

解析：选D T＝错误!＝π·错误!＝2。

2．已知函数f（x)＝tan x＋1tan x，若f(α）＝5，则f(－α)＝________.

解析：f(x）的定义域为错误!∪错误!（k∈Z)．可知f(x)的定义域关于原点对称．又f（－x)＝tan(－x）＋错误!＝－错误!＝－f（x)，

∴f（x)为奇函数．∴f(－α）＝－f(α）＝－5。

答案：－5

正切函数的单调性及应用

题点一：求单调区间

1．求函数y＝tan错误!的单调区间．

解：y＝tan错误!＝－tan错误!，

由kπ－错误!

得2kπ－π2〈x<2kπ＋错误!，k∈Z,

∴函数y＝tan错误!的单调递减区间是错误!，k∈Z.

题点二：比较大小

2．比较tan错误!与tan错误!的大小．

解:tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝－tan错误!，tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝－tan错误!,

∵0

∴tan π4＜tan错误!，

∴－tan错误!>－tan错误!, （浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4

6 / 106 ∴tan错误!>tan错误!。

题点三：求最值或值域

3．已知f（x)＝tan2x－2tan x错误!,求f（x)的值域．

解:令u＝tan x,因为｜x|≤错误!，所以u∈［－错误!，错误! ］，

所以函数化为y＝u2－2u.

对称轴为u＝1∈[－错误!，错误! ]．

所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1。

当u＝－错误!时，ymax＝3＋2错误!.

所以f（x）的值域为[－1，3＋2错误! ］．

1．求函数y＝Atan（ωx＋φ）（A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法

(1）若ω〉0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－错误!〈ωx＋φ

（2）若ω<0,可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan［－（－ωx－φ)］＝－Atan（－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

2．运用正切函数单调性比较大小的方法

(1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

（2)运用单调性比较大小关系．

层级一 学业水平达标

1．函数y＝－2＋tan错误!的定义域是（ )

A．错误!，k∈Z

B．错误!，k∈Z

C．错误!，k∈Z

D．错误!,k∈Z

解析:选A 由－错误!＋kπ＜错误!x＋错误!＜错误!＋kπ，k∈Z，解得－错误!π＋2kπ＜x＜错误!＋2kπ，k∈Z。

2．f(x)＝tan错误!的最小正周期为（ ) （浙江专版）2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4

7 / 107 A。错误! B．错误!

C．π D．2π

解析：选B 法一：函数y＝tan（ωx＋φ)的周期是T＝错误!，直接套用公式，可得T＝错误!＝错误!.

法二：由诱导公式可得tan错误!＝tan错误!＝tan错误!，所以f错误!＝f(x）,所以周期为T＝错误!。

3．函数f（x）＝tan错误!与函数g(x）＝sin错误!的最小正周期相同,则ω＝（ ）

A．±1 B．1

C．±2 D．2

解析：选A g（x)的最小正周期为π，则错误!＝π，得ω＝±1.

4．函数y＝|tan 2x｜是( ）

A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数

C．周期为错误!的奇函数 D．周期为错误!的偶函数

解析：选D f(－x)＝|tan（－2x)｜＝｜tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝错误!.

5．与函数y＝tan错误!的图象不相交的一条直线是( )

A．x＝错误! B．x＝－错误!

C．x＝错误! D．x＝错误!

解析：选D 当x＝错误!时，2x＋错误!＝错误!,而错误!的正切值不存在，所以直线x＝错误!与函数的图象不相交．

6．函数y＝错误!的定义域是_____________________________________．

解析：由1－tan x≥0即tan x≤1结合图象可解得．

答案：错误!(k∈Z）

7．函数y＝tan错误!的单调递增区间是_________________________________．

解析：令kπ－错误!＜2x＋错误!＜kπ＋错误!，k∈Z,

解得错误!－错误!

答案：错误!,k∈Z

8．函数y＝3tan（π＋x)，－错误!

解析:函数y＝3tan（π＋x)＝3tan x，因为正切函数在错误!上是增函数，所以－3〈y≤错误!，所以值域为(－3，错误! ］．

答案：(－3,错误! ］