高考数学一轮复习 第十章 算法、统计与统计案例10

高考数学一轮复习 第十章 算法、统计与统计案例

10.3 用样本估计总体 考试要求 1.会用统计图表对总体进行估计.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 知识梳理

1．平均数、中位数和众数

(1)平均数：x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．

(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．

2．方差和标准差

(1)方差：s2＝1ni＝1n (xi－x)2或1ni＝1nx2i－x2.

(2)标准差：s＝1ni＝1n xi－x2.

常用结论

巧用三个有关的结论

(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；

(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；

(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( × )

(2)方差与标准差具有相同的单位．( × )

(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．( √ )

(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) 教材改编题

1．给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法不正确的是( )

A．这组数据的极差为4

B．这组数据的平均数为3

C．这组数据的中位数为4

D．这组数据的众数为5

答案 B

解析 这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为1＋3×2＋5×36＝113，B错误；中位数为3＋52＝4，C正确；众数为5，D正确．

2．下列说法正确的是( )

A．众数可以准确地反映出总体的情况

B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据

C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势

D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越小

答案 C

解析 对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；

对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；

对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；

对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数

据波动越大，所以D错误．

3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为( )

A．0.01 B．0.1 C．1 D．10

答案 C

解析 ∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，

根据任何一组数据同时扩大几倍，方差将变为平方倍增长，

∴数据10x1，10x2，…，10xn的方差为

100×0.01＝1.

题型一 样本的数字特征

例1 (1)在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为( )

A．92,2.8 B．92,2

C．93,2 D．93,2.8

答案 A

解析 由题意得所剩数据为90,90,93,94,93.

所以平均数x＝90＋90＋93＋94＋935＝92.

方差s2＝15[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2]＝2.8.

(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则( )

A.x＝4，s2<2 B.x＝4，s2＝2

C.x>4，s2<2 D.x>4，s2>2

答案 A

解析 设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，

则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x77＝4，

x1－42＋x2－42＋x3－42＋x4－42＋x5－42＋x6－42＋x7－427

＝2，

所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，

(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＝14，

则这8个数的平均数为x＝18(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝18×(28＋4)＝4，

方差为s2＝18×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＋(4－4)2]＝18×(14＋0)＝74<2.

教师备选

某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无并列名次)．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为

甲同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；

丙同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.

则一定符合推荐要求的同学有( )

A．甲和乙 B．乙和丁

C．丙和丁 D．甲和丁

答案 D

解析 对于甲同学，平均数为3，众数为2，则3次考试的成绩的名次为2,2,5，满足要求；

对于乙同学，中位数为3，众数为3，

可举反例：3,3,6，不满足要求；

对于丙同学，众数为3，方差小于3，

可举特例：3,3,6，则平均数为4，

方差s2＝13×[2×(3－4)2＋(6－4)2]＝2<3，不满足要求；

对于丁同学，平均数为3，方差小于3，设丁同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，

若x1，x2，x3中至少有一个大于等于6，

则方差s2＝13[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2]>3，

与已知条件矛盾，所以x1，x2，x3均不大于5，满足要求．

思维升华 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其离散程度．

跟踪训练1 (1)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下，

身高 (100，110] (110，120] (120，130] (130，140] (140，150]

频数 5 35 30 20

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由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)( )

A．119.3 B．119.7

C．123.3 D．126.7

答案 C

解析 由题意知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]内的频率依次为0.05,0.35,0.3，前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x，则(x－120)×0.310＝0.1，解得x≈123.3.

(2)(2021·新高考全国Ⅰ改编)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则( )

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差不同

答案 C

解析 设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为x，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为x＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C正确，D不正确．

题型二 总体集中趋势的估计

例2 棉花是我国纺织工业重要的原料．新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展、确保棉粮安全以及促进新疆农民增收、实现乡村振兴战略都具有重要意义．准确掌握棉花质量现状、动态，可以促进棉花产业健康和稳定的发展．在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位：mm)，得到样本的频数分布表如下：

纤维长度 频数 频率

[0,50) 4 0.04

[50,100) 8 0.08

[100,150) 10 0.10

[150,200) 10 0.10

[200,250) 16 0.16

[250,300) 40 0.40

[300,350] 12 0.12

(1)在图中作出样本的频率分布直方图；

(2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计．

解 (1)样本的频率分布直方图如图所示．

(2)由样本的频率分布直方图，

得众数为250＋3002＝275(mm)；

设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，

解得x＝252.5，即中位数为252.5 mm；

设平均数为x，则

x＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋275×0.4＋325×0.12

＝222(mm)，

故平均数为222 mm.由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为275 mm、252.5 mm和222 mm.

教师备选

某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40,100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法不正确的是( )

A．频率分布直方图中第三组的频数为10

B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分

C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分

D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分

答案 D

解析 分数在[60,70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组的频数为100×0.10＝10，故A正确；

因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；

因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70,80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；

样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误．

思维升华 频率分布直方图的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．