2013年高考四川卷(理)
- 格式：doc
- 大小：1.26 MB
- 文档页数：11
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设集合{|20}Axx，集合2{|40}Bxx，则AB（ ）
（A）{2} （B）{2} （C）{2,2} （D）
2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ）
yxDBAOC
（A）A （B）B （C）C （D）D[来源:]
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
4．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2pxAxB，则（ ）
（A）:,2pxAxB （B）:,2pxAxB[来源:ZXXK]
（C）:,2pxAxB （D）:,2pxAxB
5．函数()2sin(),(0,)22fxx的部分图象如图所示，则,的值分别是（ ）
（A）2,3 （B）2,6 （C）4,6 （D）4,3
6．抛物线24yx的焦点到双曲线2213yx的渐近线的距离是（ ）
（A）12 （B）32 （C）1 （D）3
7．函数231xxy的图象大致是（ ）
8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,ab，共可得到lglgab的不同值的个数是（ ）
（A）9 （B）10 （C）18 （D）20
9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
（A）14 （B）12 （C）34 （D）78
10．设函数()xfxexa（aR，e为自然对数的底数）．若曲线sinyx上存在00(,)xy使得00(())ffyy，则a的取值范围是（ ）
（A）[1,]e （B）1[,-11]e， （C）[1,1]e （D）1[-1,1]ee 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．二项式5()xy的展开式中，含23xy的项的系数是_________．（用数字作答）
12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则_________．
13．设sin2sin，(,)2，则tan2的值是_________．
14．已知()fx是定义域为R的偶函数，当x≥0时，2()4fxxx，那么，不等式(2)5fx的解集是________ ．
15．设12,,,nPPP为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到12,,,nPPP点的距离之和最小，则称点P为12,,,nPPP点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点,AB的中位点．则有下列命题：
①若,,ABC三个点共线，C在线AB上，则C是,,ABC的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点,,,ABCD共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序数学社区）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分) 在等差数列{}na中，218aa，且4a为2a和3a的等比中项，求数列{}na的首项、公差及前n项和．
17．(本小题满分12分) 在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且232coscossin()sincos()25ABBABBAC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若42a，5b，求向量BA在BC方向上的投影．
18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,,24这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iPi；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为(1,2,3)ii的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）
当2100n时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)ii的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望．
19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，12ABACAA，120BAC，1,DD分别是线段11,BCBC的中点，P是线段AD的中点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面1ABC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面11ADDA；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角1AAMN的余弦值． 运行
次数n 输出y的值
为1的频数 输出y的值
为2的频数 输出y的值
为3的频数
30 14 6 10
… … … …
2100 1027 376 697 运行
次数n 输出y的值
为1的频数 输出y的值
为2的频数 输出y的值
为3的频数[来源:学&科&]
30 12 11 7
… … … …
2100 1051 696 353 D1DCBA1B1C1AP
20．(本小题满分13分) 已知椭圆C：22221,(0)xyabab的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF，且椭圆C经过点41(,)33P．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设过点(0,2)A的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且222211||||||AQAMAN，求点Q的轨迹方程．
21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln,0xxaxfxxx，其中a是实数．设11(,())Axfx，22(,())Bxfx为该函数图象上的两点，且12xx．
（Ⅰ）指出函数()fx的单调区间；
（Ⅱ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直，且20x，求21xx的最小值；
（Ⅲ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线重合，求a的取值范围．
[来源:学|科|]
参考答案
一、 选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分50分.
1.A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分25分.[来源:Zxxk.]
11.10 12.2 13.3 14.(7,3) 15.①④
三、解答题:共6小题,共75分.
16.解：设该数列公差为d,前n项和为ns.由已知,可得
21111228,38adadadad.
所以114,30addda,
解得14,0ad,或11,3ad,即数列na的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前n项和4nsn或232nnns. ………….12分
17.解：由232coscossinsincos25ABBABBAC,得
3cos1cossinsincos5ABBABBB,
即3coscossinsin5ABBABB,
则3cos5ABB,即3cos5A. ………….. 5分
由3cos,05AA,得4sin5A,
由正弦定理,有sinsinabAB,所以,sin2sin2bABa.
由题知ab,则AB,故4B.
根据余弦定理,有2223425255cc,
解得1c或7c(舍去).
故向量BA在BC方向上的投影为2cos2BAB. ………….12分
18. 解：.变量x是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故112p；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故213p;
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故316p. ……………3分
当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：[来源:学_科_Z_X_X_K]
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. ………7分
（3）随机变量可能饿取值为0,1,2,3.
0303128(0)3327pC 1213124(1)339pC
2123122(2)339pC 3033121(3)3327pC
故的分布列为
所以842101231279927E
即的数学期望为1. ………12分
19.解：如图,在平面ABC内,过点P做直线l//BC,因为l在平面1ABC外,[来源:Z§xx§k.]
BC在平面1ABC内,由直线与平面平行的判定定理可知, l//平面1ABC.
由已知,ABAC,D是BC的中点,所以,BCAD,则直线lAD.
因为1AA平面ABC,所以1AA直线l.又因为1,ADAA在平面11ADDA内,且AD与1AA相交,所以直线平面11ADDA. …………………………………………………………………………….6分
解法一:
连接1AP,过A作1AEAP于E,过E作1EFAM于F,连接AF.
由知,MN平面1AEA,所以平面1AEA平面1AMN.
所以AE平面1AMN,则1AMAE.
所以1AM平面AEF,则1AMAF. 输出y的值
