2013年高考四川卷(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数 学（文史类）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{1,2,3}A，集合{2,2}B，则AB（ ）

（A） （B）{2} （C）{2,2} （D）{2,1,2,3}

2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）

（A）棱柱 （B）棱台 （C）圆柱 （D）圆台

3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ）

（A）A （B）B （C）C （D）D

4．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2pxAxB，则（ ）

（A）:,2pxAxB （B）:,2pxAxB

（C）:,2pxAxB （D）:,2pxAxB

5．抛物线28yx的焦点到直线30xy的距离是（ ）

（A）23 （B）2 （C）3 （D）1

6．函数()2sin()(0,)22fxx的部分图象如图所示，则,的值分别是（ ）

（A）2,3 （B）2,6 （C）4,6 （D）4,3

7．某学校随机抽取20个班，调查各班中有上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）

人数0.04组距频率40400.05人数组距频率0.04组距频率0.04组距频率00.010.020.03510152025303500.010.020.030.0451015202530350人数0.010.020.031020304000.010.020.0310203040人数(B)(A)(C)(D)

8．若变量,xy满足约束条件8,24,0,0,xyyxxy且5zyx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是（ ）

（A）48 （B）30 （C）24 （D）16

9．从椭圆22221(0)xyabab上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且//ABOP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）

（A）24 （B）12 （C）22 （D）32

10．设函数()xfxexa（aR，e为自然对数的底数）．若存在[0,1]b使(())ffbb成立，则a的取值范围是（ ） （A）[1,]e （B）[1,1]e （C）[,1]ee （D）[0,1]

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分．

11．lg5lg20的值是____ _．

12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则___ __ _．

13．已知函数()4(0,0)afxxxax在3x时取得最小值，则a___ ___．

14．设sin2sin，(,)2，则tan2的值是________．

15．在平面直角坐标系内，到点(1,2)A，(1,5)B，(3,6)C，(7,1)D的距离之和最小的点的坐标是

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分) 在等比数列{}na中，212aa，且22a为13a和3a的等差中项，求数列{}na的首项、公比及前n项和．

17．(本小题满分12分) 在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且

3cos()cossin()sin()5ABBABAc．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若42a，5b，求向量BA在BC方向上的投影．

18．(本小题满分12分)

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在24,,3,2,1这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iPi；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为(1,2,3)ii的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

当2100n时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)ii的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

19．(本小题满分12分)

如图，在三棱柱11ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，122ABACAA，120BAC，1,DD分别是线段11,BCBC的中点，P是线段AD上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面1ABC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面11ADDA；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥11AQCD的体积．（锥体体积公式：13VSh，其中S为底面面积，h为高）

20．(本小题满分13分)

已知圆C的方程为22(4)4xy，点O是坐标原点．直线:lykx与圆C交于,MN两点．

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设(,)Qmn是线段MN上的点，且222211||||||OQOMON．请将n表示为m的函数．

21．(本小题满分14分)

已知函数22,0()ln,0xxaxfxxx，其中a是实数．设11(,())Axfx，22(,())Bxfx为该函数图象上的两点，且12xx．

（Ⅰ）指出函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直，且20x，证明：211xx；

（Ⅲ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线重合，求a的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．B

2．D

3．B

4．C

5．D

6．A

7．A

8．C

9．C

10．A

11．1

12．2

13．36

14．3

15．（2,4）

16．解：设na的公比为q．由已知可得

211aqa，211134qaaqa，

所以2)1(1qa，0342qq，解得 3q 或 1q，

由于2)1(1qa。因此1q不合题意，应舍去，

故公比3q，首项11a．

所以，数列的前n项和213nnS． ……………………………………… 12分

17．解：（Ⅰ）由3cos()cossin()sin()5ABBABAc 得

53sin)sin(cos)cos(BBABBA，

则 53)cos(BBA，即 53cosA

又A0，则 54sinA． ……………………………………… 5分

（Ⅱ）由正弦定理，有 BbAasinsin，所以22sinsinaAbB，

由题知ba，则 BA，故4B．

根据余弦定理，有 )53(525)24(222cc，

解得 1c 或 7c（负值舍去），

向量BA在BC方向上的投影为BBAcos22． …………………………… 12分

18．解：（Ⅰ）变量x是在24,,3,2,1这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．

当x从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时，输出y的值为1，故211P；

当x从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时，输出y的值为2，故312P；

当x从24,18,12,6这4个数中产生时，输出y的值为3，故613P．

所以输出y的值为1的概率为21，输出y的值为2的概率为31，输出y的值为3的概率为61．

……………………………………… 6分

（Ⅱ）当2100n时，甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)ii的频率如下，

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大．

……………………………………… 12分

19．解：（Ⅰ）如图，在平面ABC内，过点P作直线BCl//，因为l在平面BCA1外，BC在平面BCA1内，由直线与平面平行的判定定理可知，//l平面1ABC．

由已知，ACAB，D是BC中点，所以BC⊥AD，则直线ADl，

又因为1AA底面ABC，所以lAA1，

又因为AD，1AA在平面11AADD内，且AD与1AA相交，

所以直线l平面11AADD． ……………………………………… 7分

（Ⅱ）过D作ACDE于E，因为1AA平面ABC，所以DEAA1，

又因为AC，1AA在平面CCAA11内，且AC与1AA相交，所以DE平面CCAA11，

由2ACAB，∠BAC120，有1AD，∠DAC60，

所以在△ACD中，2323ADDE，

又1211111AACASAQC，所以 输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为3的频率

甲 21001027 2100376 2100697

乙 21001051 2100696 2100353

C1A1BCAB1DD1PlQE631233131111111QCAQCADDQCASDEVV

因此三棱锥11AQCD的体积为63．……………………………………… 12分

20．解：（Ⅰ）将xky代入22(4)4xy得 则 0128)1(22xkxk，（*）

由012)1(4)8(22kk得 32k．

所以k的取值范围是),3()3,(． …………………………… 4分

（Ⅱ）因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为),(11kxx，),(22kxx，则

2122)1(xkOM，2222)1(xkON，又22222)1(mknmOQ，

由222112ONOMOQ得，22221222)1(1)1(1)1(2xkxkmk，

所以222121221222122)(112xxxxxxxxm

由（*）知 22118kkxx，221112kxx，

所以 353622km，

因为点Q在直线l上，所以mnk，代入353622km可得363522mn，