2013年高考理科数学四川卷(含详细答案)

数学试卷 第1页（共28页） 数学试卷 第2页（共28页） 绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学(理工类)

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.

第Ⅰ卷共10小题.

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合{|20}Axx,集合2{|40}Bxx,则AB ( )

A.{2} B.{2} C.{2,2} D.

2.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是 ( )

A.A B.B

C.C D.D

3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 ( )

A. B.

C. D.

4.设xZ,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题:,2pxAxB,则 ( )

A.,2pxAxB： B.,2pxAxB：

C.,2pxAxB： D.,2pxAxB：

5.函数ππ()2sin()(0,)22fxx的部分图象

如图所示,则,的值分别是 ( )

A.π2,3 B.π2,6

C.π4,6 D.π4,3

6.抛物线24yx的焦点到双曲线2213yx的渐近线的距离是 ( )

A.12 B.32 C.1 D.3

7.函数231xxy的图象大致是 ( )

A. B. C. D.

8.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,ab,共可得到lglgab的不同值的个数是 ( )

A.9 B.10 C.18 D.20

9.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是 ( )

A.14 B.12 C.34 D.78

10.设函数()exfxxa(aR,e为自然对数的底数).若曲线sinyx上存在点00(,)xy使得00(())ffyy,则a的取值范围是 ( )

A.[1,e] B.1[e1,1]－ C.[1,e1] D.1[e1,e1]－ -------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 数学试卷 第3页（共28页） 数学试卷 第4页（共28页） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色 墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.

第Ⅱ卷共11小题.

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.

11.二项式5()xy的展开式中,含23xy的项的系数是 （用数字作答）.

12.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,ABADAO,则 .

13.设sin2sin,π(,π)2,则tan2的值是 .

14.已知()fx是定义域为R的偶函数,当0x≥时,2()4fxxx,那么,不等式(2)5fx的解集是 .

15.设12,,,nPPP为平面内的n个点,在平面内的所有点中,若点P到点12,,,nPPP的距离之和最小,则称点P为点12,,,nPPP的一个“中位点”.例如,线段AB上的任意点都是端点,AB的中位点.现有下列命题：

①若三个点,,ABC共线,C在线段AB上,则C是,,ABC的中位点；

②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；

③若四个点,,,ABCD共线,则它们的中位点存在且唯一；

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.

其中的真命题是

（写出所有真命题的序号）.

三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)

在等差数列{}na中,138aa,且4a为2a和9a的等比中项,求数列{}na的首项、公差及前n项和.

17.(本小题满分12分)

在ABC△中,角,,ABC的对边分别为,,abc,且22coscossin()sin2ABBABB3cos()5AC＋.

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）若42a,5b,求向量BA在BC方向上的

投影.

18.(本小题满分12分)

某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y

的值为i的概率(1,2,3)iPi；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为(1,2,3)ii的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

甲的频数统计表（部分）

乙的频数统计表（部分）

运行

次数n 输出y的值

为1的频数 输出y的值

为2的频数 输出y的值

为3的频数

30 14 6 10

2 100 1 027 376 697 运行

次数n 输出y的值

为1的频数 输出y的值

为2的频数 输出y的值

为3的频数

30 12 11

7

2 100 1 051 696 353

当2100n时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)ii的频率（用分数表示）,并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；

（Ⅲ）将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望.

19.(本小题满分12分)

如图,在三棱柱111ABCABC中,侧棱1AA底面ABC,12ABACAA,120BAC,1,DD分别是线段11,BCBC的中点,P是线段AD的中点.

（Ⅰ）在平面ABC内,试作出过点P与平面1ABC平行的直线

l,说明理由,并证明直线l平面11ADDA；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角1AAMN的余弦值.

20.(本小题满分13分)

已知椭圆C：22221(0)xyabab的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF,且椭圆C经过点41(,)33P.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设过点(0,2)A的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且222211||||||AQAMAN,求点Q的轨迹方程.

21.(本小题满分14分)

已知函数22,0()ln,,,0xxaxfxxx其中a是实数.设11(,())Axfx,22(,())Bxfx为该函数图象上的两点,且12xx.

（Ⅰ）指出函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直,且20x,求21xx的最小值；

（Ⅲ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线重合,求a的取值范围.

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工类）

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】A

【解析】{+2=0}Axx，{2}A，2{40}Bxx，{2,2}B，{2}AB.

【提示】分别求出集合A和集合B的解集，即可求交集.

【考点】集合的基本运算

2.【答案】B

【解析】设+i(,)zababR，且0a，0b，则z的共轭复数为iab，其中0a，0b.

【提示】复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称.

【考点】复平面

3.【答案】D

【解析】由俯视图的圆环可排除A，B，进一步将已知三视图还原为几何体.

【提示】由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体.

【考点】平图形的直观图，三视图

4.【答案】D

【解析】命题p是全称命题：,2xAxB，则p是特称命题：,2xAxB.

【提示】全称命题的否定，将改为，将2xB改为2xB.

【考点】全称量词，存在量词

5.【答案】A

【解析】35π3ππ41234T，πT，2ππ，2.由图象知当5π12x时，

5π2π+=2π+()122kkZ，即π2π()3kkZ，π3.

【提示】由图象可得35π3ππ41234T，解得πT，求得的值，由图象知当5π12x时，

5π2π+=2π+()122kkZ，即可求的值.

【考点】函数sin()yAx的图象及其变化 数学试卷 第7页（共28页） 6.【答案】B

【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，则焦点到渐近线的距离122|310|32(3)(1)d或22|310|32(3)1d.

【提示】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.

【考点】双曲线，抛物线的基本性质

7.【答案】C

【解析】由310x得0x，所以函数331xxy的定义域{0}xx，可排除A；

当1x时，1301213y，可排除B；当2x时，1y，当4x时，6480y，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0,)上是单调增函数，两者矛盾，故选C.

【提示】由函数解析式可得该函数定义域；取1x代入函数，与图象比较；取两点代入函数，观察函数单调性，与图象相比较即可得出答案.

【考点】函数图象的判断

8.【答案】C

【解析】从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A，

但lg1lg3lg3lg9，lg3lg1lg9lg3，所以不同值的个数为20218.

【提示】从1，3，5，7，9五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A，相同值的个数为2个，即可求不同值的个数.

【考点】排列组合及其应用

9.【答案】C

【解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x，y，则04x，04y，而事件发生的概率为||2xy，可行域如图阴影部分所示，由几何概型得22142(22)3244P.