(易错题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案

（易错题精选）初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案

一、选择题

1．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设1OA，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：cos300.87，cos450.71．下列角度中余弦值最接近0.94的是（ ）

A．30° B．50 C．40 D．20

【答案】D

【解析】

【分析】

根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.

【详解】

从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos200.94，

∴余弦值最接近0.94的是20，

故选：D.

【点睛】

此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.

2．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )

A．(543+10) cm B．(542+10) cm C．64 cm D．54cm

【答案】C

【解析】

【分析】 过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．

【详解】

如图所示，

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则

Rt△ACE中，AE=12AC=12×54=27（cm），

同理可得，BF=27cm，

又∵点A与B之间的距离为10cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），

故选C．

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

3．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（ ）

A．35 B．45 C．34 D．43

【答案】C

【解析】

试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，

∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.

∵∠A=12∠BOC，∴∠A=∠BOD.

∴tanA=tan∠BOD=43BDOD. 故选D．

考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．

4．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：

（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；

（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；

（3）连接BD，BC．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A．∠ABD＝90° B．CA＝CB＝CD C．sinA＝32 D．cosD＝12

【答案】D

【解析】

【分析】

由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论．

【详解】

由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确；

∴点B在以AD为直径的圆上，

∴∠ABD＝90°，故A正确；

∴点C是△ABD的外心，

在Rt△ABC中，sin∠D＝ABAD＝12，

∴∠D＝30°，∠A＝60°，

∴sinA＝32，故C正确；cosD＝32，故D错误，

故选：D． 【点睛】

本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

5．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．

【详解】

解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BCAC，

所以sin∠A＝0.25.

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．

点睛：

本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．

6．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（ ）

A．1 B．12 C．32 D．33

【答案】C 【解析】

【分析】

先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝323-=333，即可求出答案

【详解】

过点C作CF⊥BD与点F．

∵∠BAE＝30°，

∴∠DBC＝30°，

∵BC＝2，

∴CF＝1，BF＝3 ，

易证△AEB≌△CFD（AAS）

∴AE＝CF＝1，

∵∠BAE＝∠DBC＝30°，

∴BE＝33 AE＝33，

∴EF＝BF﹣BE＝3 ﹣33＝233 ，

在Rt△CFE中，

tan∠DEC＝132332CFEF，

故选C．

【点睛】

此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等

7．如图，在矩形ABCD中E是CD的中点，EA平分,BEDPEAE交BC于点P，连接PA，以下四个结论：①EB平分AEC；②PABE；③32ADAB；④2PBPC．其中结论正确的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可．

【详解】

解：∵在矩形ABCD中，点E是CD的中点，

∴DE＝CE，

又∵AD＝BC，∠D＝∠C，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB，

∵EA平分∠BED，

∴∠AED＝∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB平分∠AEC，正确；

∴△ABE是等边三角形，

∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB，

∵PE⊥AE，

∴∠DEA＋∠CEP＝90°，

则∠CEP＝30°，

故∠PEB＝∠EBP＝30°，

则EP＝BP，

又∵AE＝AB，AP＝AP，

∴△AEP≌△ABP（SSS），

∴∠EAP＝∠PAB＝30°，

∴AP⊥BE，故②正确；

∵∠DAE＝30°，

∴tan∠DAE＝DEAD＝tan30°＝33， ∴AD＝3DE，即32ADCD，

∵AB＝CD，

∴③32ADAB正确；

∵∠CEP＝30°，

∴CP＝12EP，

∵EP＝BP，

∴CP＝12BP，

∴④PB＝2PC正确．

综上所述：正确的共有4个．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE是等边三角形是解题关键．

8．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）

A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．

【详解】

解:如图,延长DC、AB交于点E，

， 由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得

BE：CE＝1：2．

设BE＝xm，CE＝2xm．

在Rt△BCE中，由勾股定理，得

BE2+CE2＝BC2，

即x2+（2x）2＝（12）2，

解得x＝12，

BE＝12m，CE＝24m，

DE＝DC+CE＝8+24＝32m，

由tan36°≈0.73，得

＝0.73，

解得AB＝0.73×32＝23.36m．

由线段的和差，得

AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．

9．如图，Oe是ABCV的外接圆，AD是Oe的直径，若Oe的半径是4，1sin4B，则线段AC的长是（ ）．

A．2 B．4 C．32 D．6

【答案】A

【解析】

【分析】

连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90，∠D＝∠B，则sinD＝sinB＝14，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．

【详解】

连结CD，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90，