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广东省顺德区七校联考2020届高二数学《5套合集》下学期期末模拟试卷

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2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（原创）设i 为虚数单位，则复数221i i+=+（ ） A ．i B ．i -C ．2i +D ．2i -2．（原创）以复平面的原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在极坐标系下的点(2,)3π在复平面内对应的复数为（ ）A ．1+B ．1-C iD i -3．（改编）在用数学归纳法证明某不等式“1111()2482nf n ++++<”的过程中，如果从左边推证到右边，则由k n =时的归纳假设证明1+=k n 时，左边增加的项数为（ ） A ．1项B ．k 项C ．2k项 D ．12k +项4．（改编）袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球．从中不放回地依次摸出2个球，记事件A =“第一次摸出的是红球”，事件B =“第二次摸出的是白球”，则(|)P B A =（ ） A ．25B ．415 C ．49D ．595．（原创）函数()f x=a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．0a >C ．0a ≤D ．0a <6．（改编）从1、2、3、4、5这五个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（ ）A ．15B ．25 C ．12D ．357．（改编）已知二项式(12)nx +的展开式中，第四项与第五项的二项式系数相等，则展开式中2x 项的系数是（ ） A ．21B ．28C ．84D ．1128．（原创）明年的今天，同学们已经毕业离校了，在离校之前，有三位同学要与语文、数学两位老师合影留恋，则这两位老师必须相邻且不站两端的站法有（ ）种9．（原创）函数()sin 2xf x x =-（[2,2]x ππ∈-）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（改编）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下22⨯列联表： 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，d c b a n +++=．根据表中的数据，下列说法中，正确的是（ ）A ．没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B ．有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D ．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 11．（原创）给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则a b a b +≤+”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．412．（原创）已知函数3()2f x x =+的图象与函数()g x kx =的图象有三个不同的交点11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y ，其中123x x x <<．给出下列四个结论： ①3k >；②12x <-；③232x x +>；④231x x >．其中，正确结论的个数有（ ）个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题有4个小题，每小题5分，共20分）13．（改编）由曲线xy e =，直线2y x =，0x =，1x =围成的曲边四边形的面积为 ． 14．（原创）曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．点(,)P x y 在曲线C 上运动，则点(,)P x y 到直线20x y ++=距离的最大值为 ．15．（改编）已知,,a b c R ∈且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为 ． 16．（原创）给出下列四个命题：①不等式123x x ++-≥对任意x R ∈恒成立；->③设随机变量X ～(0,1)N ．若(1)P X p >=，则1(10)2P X p -<≤=-； ④设随机变量X ～1(3,)3B ，则1(1)3P X ==． 其中，所有正确命题的序号有 ．三、解答题（本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（原创）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）；以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=． （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于点A B 、，求线段AB 的长．18．（12分）（改编）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系． （1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程； （2）试估计这家面馆第6天的营业额． 附：回归直线方程y bx a =+中，1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb xx xnx ====---⋅==--∑∑∑∑　，a y bx =-．19．（12分）（原创）（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；（2）若关于x 的不等式221x x m --≥在x R ∈时恒成立，求实数m 的取值范围．20．（12分）（原创）某同学参加了今年重庆市举办的数学、物理、化学三门学科竞赛的初赛，在成绩公布之前，老师估计他能进复赛的概率分别为25、34、13，且这名同学各门学科能否进复赛相互独立． （1）求这名同学三门学科都能进复赛的概率；（2）设这名同学能进复赛的学科数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．21．（12分）（改编）已知函数()3ln f x ax x =-（a 为常数）与函数3()ln 2g x x x =-在1x =处的切线互相平行．（1）求函数()y f x =在[1,2]上的最大值和最小值；（2）求证：函数()y f x =的图象总在函数()y g x =图象的上方．22．（12分）（原创）已知函数2()(2)f x x m x n =+++（,m n 为常数）．（1）当1n =时，讨论函数()()x g x e f x =的单调性； （2）当2n =时，若函数()()xf x h x x e =+在[0,)+∞上单调递增，求m 的取值范围．高二数学（理科）答案1—12 BAACD BCBAD CC13．2e - 14．．①③17．（1）1:C 1y =-，2:C 220x y +-=．（………6分）（2）圆2C 的圆心为，半径为r =2C 到直线1C 的距离为1d =．所以||AB ==（………10分）（注：可以用直线参数方程的几何意义，也可以先求出点A 、B 的坐标，再用两点间距离公式求长度，各位亲根据情况自行给分）18．（1）3x =，5y =， 1.8b =，0.4a =-，所以回归直线为 1.80.4y x =-． （………8分）（2）当6x =时，10.4y =，即第6天的营业额预计为10.4（百元）． （………12分） 19．（1）原不等式化为：①1125x x x <-⎧⎨---+<⎩ 或 ②12125x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩ 或 ③2125x x x >⎧⎨++-<⎩．解得21x -<<-或12x -≤≤或23x <<．∴ 原不等式的解集为{|23}x x -<< （………6分）（2）令2()|21|f x x x =--，则只须min ()m f x ≤即可．①当12x ≥时，22()21(1)0f x x x x =-+=-≥（1x =时取等）； ②当12x <时，22()21(1)22f x x x x =+-=+-≥-（1x =-时取等）．∴ 2m ≤-．（………12分）20．设三科能进复赛的事件分别为A 、B 、C ，则2()5P A =，3()4P B =，1(C)3P =． （1）三科都能进复赛的概率为1()()()()10P ABC P A P B P C ==； （………4分）（2）X 可取0，1，2，3．（………5分）2316(X 0)()(1)(1)(1)54360P P ABC ===---=；231231(X 1)()(1)(1)(1)(1)543543P P ABC ABC ABC ==++=--+-⋅⋅-23125(1)(1)54360+--⋅=　；231231(X 2)()(1)(1)543543P P ABC ABC ABC ==++=⋅⋅-+-⋅23123(1)54360+-⋅⋅=；6(X 3)()60P P ABC ===． （………9分） 所以，X 的分布列为：（………10分）数学期望89()60E X =． （………12分） 21．（1）3()(0)f x a x x'=->，()(ln 1)g x x '=-+，由已知有(1)(1)f g ''=，解得2a =． 当2a =时，()23ln f x x x =-． 令3()20f x x '=-=，解得32x =． ∴当3(1,)2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当3(,2)2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；又(1)2f =，(2)43ln 2f =-， 2(2)(1)23ln 2ln 08e f f -=-=<． ∴ 最小值为33()33ln22f =-． 最大值为(1)2f =． （………6分）（2）令3()()()2ln 3ln 2h x f x g x x x x x =-=+--，则只须证()0h x >恒成立即可． ∵3()3ln h x x x'=+-． 显然，3()3ln h x x x'=+-单调递增（也可再次求导证明之），且(1)0h '=．∴ (0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；∴1()(1)02h x h ≥=>恒成立，所以得证． （………12分）22．（1）当1n =时，2()[(2)1]xg x e x m x =+++．2()[(4)(3)](1)[(3)]x x g x e x m x m e x x m '=++++=+++；令()0g x '=，解得1x =-或(3)x m =-+．∴当1(3)m -<-+，即2m <-时，增区间为(,1),(3,)m -∞---+∞，减区间为(1,3)m ---； 当1(3)m -=-+，即2m =-时，增区间为(,)-∞+∞，无减区间；当1(3)m ->-+，即2m >-时，增区间为(,3),(1,)m -∞---+∞，减区间为(3,1)m ---．（………6分）（2）当2n =时，2(2)2()xx m x h x x e+++=+． 由题意，()0h x '≥在[0,)+∞上恒成立．即2()10xx mx m h x e--+'=+≥即2(1)x e x m x -≥-在[0,)+∞上恒成立． 1）显然1x =时，不等式成立；2）当1x ≠时，令2()1x e x k x x -=-，则2(2)()()(1)x x e x k x x --'=-． ①当1x >时，只须()k x m ≥恒成立．∵ 0x e x ->恒成立，（可求导证明或直接用一个二级结论：1xe x ≥+）． ∴ 当12x <<时，()0k x '<，()y k x =单减； 当2x >时，()0k x '>，()y k x =单增； ∴ 2()(2)4k x k e ≥=-． ∴ 24m e ≤-．②当01x ≤<时，只须()k x m ≤恒成立． ∵ 此时()0k x '<，即()y k x =单减． ∴ ()(0)1k x k ≤=-． ∴ 1m ≥-．综上所述，214m e -≤≤-．（………12分）（各位亲，带参讨论的方法太复杂，就不写了，请根据情况自行给分）2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

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广东省佛山市顺德区20XX学年高二数学下学期期末考试理试题(含解析).doc

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广东省佛山市顺德区2020 学年高二数学下学期期末考试理试题（含解析）注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将答题卡交回。

第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 复数i (1 2i ) 的共轭复数是（）A. 2 iB. 2 iC. 2 iD. 2 i 【答案】 D【解析】【分析】化简复数，再计算共轭复数.【详解】 z i (1 2i ) 2 i z 2 i故答案选 D【点睛】本题考查了复数的计算和共轭复数，属于简单题.2. 曲线y x3 x 2 在x 0 处的切线方程为（）A. y 2x 1B. y 2x 1C. yx 2D.y x 2【答案】 C【解析】 【分析】求导，把 x0分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程.【详解】 y x 3 x 2 y ' 3x 21将 x 0 代入导函数方程，得到 k 1将 x0 代入曲线方程，得到切点为：(0, 2)切线方程为：yx 2故答案选 C【点睛】本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.3. 已知离散型随机变量X 的分布列如下，则 D( X ) （）X0 2 41 1 1P424A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 B 【解析】 分析】先计算 E( X ) ，再根据公式计算得到 D( X)【详解】 E( X )0 1214 1 2424D(X)1(0 2) 2 1 (2 2)2 1 (4 2)22424故答案选 B【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.4. 若点P0 x0 , y0 在椭圆 x2 y2 1(a b 0) 内，则被 P0所平分的弦所在的直线方程是a2 b2x0 x y0 y x02 y02，通过类比的方法，可求得：被P 1,1 所平分的双曲线x2y 2 1 的a 2 2a2b24 b弦所在的直线方程是（）A. x 4y 3 0B. x 4 y 5 0C. x 4y 5 0D. x 4 y 3 0 【答案】 A【解析】【分析】通过类比的方法得到直线方程是x0 x y0 y x02 y02，代入数据得到答案 .a 2b 2 a 2 b 2【详解】 P0所平分的弦所在的直线方程是x0 x y0 y x02 y02，通过类比的方法，a2 b2 a2 b2可求得双曲线的P0所平分的弦所在的直线方程是x0 x y0 y x02 y02 a2 b2 a2 b2代入数据 P 1,1 ，得到：xy 1 1 x 4 y 3 0 4 4故答案选 A【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.5. 抛物线y x21和直线 y = x+ 3 所围成的封闭图形的面积是（）13 11 9 7A. B. C. D.2 2 2 2 【答案】 C【解析】【分析】先计算抛物线和直线的交点，再用定积分计算面积.y x2 1 【详解】x x1 1,x2 2y 3所围成的封闭图形的面积是：1 11 x3 1 x2 2 9(x 3 x2 1)dx ( x2 x 2)dx 2x12 23 2 2 故答案为 C【点睛】本题考查了定积分的应用，意在考查学生应用能力和计算能力.2x 2 x的图像大致为（）6. 函数f ( x) x2A. B.C. D.【答案】 A【解析】【分析】取特殊值排除选项得到答案.2x 2 x【详解】 f ( x)x23 3f ( 1)0 ，排除B， f (1)排除D2 2x , f (x)排除 C故答案选 A【点睛】本题考查了函数的图像，取特殊值可以简化运算.7. 已知 f (n) 11 1 L 1 n N *，用数学归纳法证明 f 2nn, n N * 时，从假2 3n2设 n k 推证 n k 1 成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（ ）A. 2k1B. 2kC. 2k1D. 1【答案】 B 【解析】 【分析】分别计算 n k 和 n k 1 时 项数，相减得到答案 .【详解】 f (n)1 11 L1 n N *2 3 nn k 时， f 2 k1 1 1L 1，共有 2k项 .2 3 2 kn k 1时，f 2k11 1 1 L 1 ，共有2 k 1 项 . 23 2k 1需在左边的表达式上多加的项数为： 2k 12k2k故答案选 B的【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生 计算能力.8. 从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高 x （单位： cm ）与体重 y （单位： kg ）数据 如下表：x165165157170 175 165 155 170 y4857505464614359若已知 y 与 x 的线性回归方程为 ?175cm时，y 0.85 x 85.71 ，那么选取的女大学生身高为相应的残差为（）A.0.96 B. 0. 96C. 63. 04D.4.04【答案】 B【解析】【分析】将 175 代入线性回归方程计算理论值，实际数值减去理论数值得到答案.【详解】已知 y 与 x?线性回归方程为 y 0.85 x 85.71当x 175 时： $63.04y相应的残差为： 64 63.04 0.96故答案选 B【点睛】本题考查了残差的计算，意在考查学生的计算能力.9. 若函数 f ( x)2 在区间 [t ,t 2] 上是单调函数，则 t 取值范围是（）ln x xxA. [1,2]B.[1, )C. [2, )D. (1, )【答案】 B 【解析】 【分析】求导，计算函数的单调区间，根据区间[ t, t 2] 上是单调函数得到答案 .2 12 x 2 x2 ( x 2)( x 1)【详解】 f ( x) ln x x的x f'(x)x 1x 2x 2x 2(x0)x 1 单调递增， 0 x 1 单调递减 .函数 f ( x) ln x x2 [t ,t 2] 上是单调函数在区间x区间 [ t,t 2] 上是单调递减不满足只能区间 [t, t2] 上是单调递增 .故 t 1故答案选 B【点睛】本题考查了函数的单调性，排除单调递减的情况是解题的关键.10. 把编号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（）A. 36B. 40C. 42D. 48 【答案】 A【解析】【分析】将情况分为113 和 122 两种情况，相加得到答案.【详解】当分的票数为1,1,3 这种情况时：C313 A2218当分的票数为 1,2,2 这种情况时：一张票数的人可以选择1,3,5 ： C13A223 18不同分法的种数为36故答案选 A【点睛】本题考查了排列组合，将情况分为两类可以简化运算.11. 已知(x 2) 5 ( x 1)5 a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1 x a0，则 a4 a0 （）A. 36B. 40C. 45D. 52 【答案】 A【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，分别计算a4和 a0，相加得到答案.【详解】 (x 2) 5 ( x 1)5 a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1 x a0a4 C51 21 C51 5a0 25 1 31a4 a0 36故答案选 A【点睛】本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力.12. 已知函数 f x 是定义在(,0) U (0,) 上的偶函数，且 f ( 1)0 ，若对任意的x (0, ) ，都有 x f '(x) f (x) 成立，则不等式 f x 0 的解集为（）A. (- 1,0)? (1, ? )B. ( 1,0) U (0,1)C. ( , 1) U (0,1)D. ( , 1) U (1, )【答案】 D【解析】【分析】f ( x)构造函数 F( x)，判断函数的单调性和奇偶性，根据其性质解不等式得到答案.x【详解】对任意的x (0, ) ，都有x f '( x) f ( x) 成立构造函数F( x) f ( x) x f '(x) f ( x))上递增. x F '( x) x20 F ( x) 在 (0,f x 是偶函数F ( x)为奇函数，在( ,0)上单调递增 .F ( 1) F (1) 0当 x 0 时： f x 0 F ( x) 0 x 1当 x 0 时： f x 0 F ( x) 0 1 xx ( , 1) (1, )故答案选 Df ( x)【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，构造函数 F ( x)是解题的关x键 .第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分.13. i是虚数单位，若复数(1 2i )( a i) 是纯虚数，则实数 a ____________.【答案】 2【解析】【分析】化简复数，实部为0，计算得到答案.【详解】 (1 2i )( a i ) a 2 (1 2a)i 为纯虚数a 2 故答案为 2【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.14. 已知函数ln x，则 f '1f ( x ) ____________.x e【答案】2e2【解析】【分析】求导，代入数据得到答案.【详解】f ( x ) ln xf '( x )1 ln x x x 2f ' 12 2e2e 1 2( )e故答案为：2e2【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.15. 若x1 n的展开式中第 3 项和第 5 项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于2 x____________.【答案】【解析】【分析】1516根据题意先计算n 6 ，再用展开式的通项公式计算常数项.【详解】若x1 n的展开式中第 3 项和第 5 项的二项式系数相等.2 xC n2C n4n 6r 6 r( 1rr 6 3r 1 r T r 1 C 6 x) C 6 x 2 ( )2 x2当 r 4 时为常数项，为15故答案为：161516【点睛】本题考查了二项式的计算，先判断n 6 是解题的关键 .16. 已知平面上 1 个三角形最多把平面分成 2 个部分， 2 个三角形最多把平面分成8 个部分， 3个三角形最多把平面分成20 个部分， 4 个三角形最多把平面分成 38 个部分， 5 个三角形最多把平面分成 62 个部分 ，以此类推，平面上n 个三角形最多把平面分成____________个部分 .【答案】 3n 23n 2【解析】【分析】设面上 n 个三角形最多把平面分成a n 个部分， 归纳出 a n a n 1 6(n 1) ，利用累加法的到答案 .【详解】设面上 n 个三角形最多把平面分成a n 个部分 .a 1 2, a 2 8, a 3 20, a 4 38,a 5 62a 2 a 16 6 1a 3 a 2 12 6 2 a 4 a 3 18 6 3 a 5 a 4 24 6 4归纳： a na n 1 6( n 1)利用累加法：a n ( a n a n 1) (a n 1 a n 2 ) ... (a 2 a 1 ) a 1 6( n 1) 6( n 2) ... 6 2a n 3n 2 3n2故答案为：3n 2 3n 2【点睛】本题考查了归纳推理，累加法，综合性强，意在考查学生归纳推理和解决问题的能力 .三、解答题： 本大题共 7 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 .17. 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ①2 i ②43i1 2i3 4i③1i （ i 是虚数单位）1 i（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论 .【答案】（ I ） i （ II ）结论为abi i （ a, b R 且 a, b 不同时为零），证明见解析bai【解析】 【分析】（Ⅰ）将三个式子化简答案都为 i.（ II ）观察结构归纳结论为a bi i ，再利用复数的计算证明结论 .b ai【详解】（ I ）2 i(2 i )(1 2i )2 4i i 21 2i (1 2i)(1 2i )i5 4 3i ( 4 3i )(3 4i ) 12 16i9i 123 4i (3 4i )(3 4i)25i1 i( 1 i )( 1 i )1 2i 1 i1 i ( 1 i )( 1 i )2（ II ）根据三个式子的结构特征及（ I ）的计算结果，可以得到：abi i （ a,b R 且 a,b 不同时为零）bai下面进行证明：abi要证明i只需证 abi i (b ai )只需证 a bi a bi因为上式成立，所以a bib i 成立 .ai（或直接利用复数的乘除运算得出结果）【点睛】本题考查了复数的计算和证明，意在考查学生的归纳能力.18. 某高中高二年级 1 班和 2 班的学生组队参加数学竞赛， 1 班推荐了 2 名男生 1 名女生， 2班推荐了 3 名男生 2 名女生 . 由于他们的水平相当，最终从中随机抽取 4 名学生组成代表队 .（Ⅰ）求 1 班至少有 1 名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设 X 表示代表队中男生的人数，求 X 的分布列和期望 .【答案】（ I ）13（ II ）见解析14【解析】【分析】（Ⅰ）用 1 减去没有 1 班同学入选的概率得到答案 .（Ⅱ） X 的所有可能取值为 1，2， 3， 4，分别计算对应概率得到分布列，再计算期望. 【详解】（ I ）设 1 班至少有1 名学生入选代表队为事件 AC 541 5 13则 P(A) 1C 8470 14（ II ） X 的所有可能取值为1，2， 3， 4P( X1)C 51C 331， P(X2)C 52C 323C 84C 84，147 P( X3) C 53C 31 3， P(X4)C 541C 847 C 84.14因此 X 的分布列为X123 4P133 1147714E(X) 112333415.14 77142【点睛】本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的应用能力和计算能力.19.随着人们生活水平的日益提高，人们对孩子的培养也愈发重视，各种兴趣班如雨后春笋般出现在我们日常生活中 . 据调查， 3～ 6 岁的幼儿大部分参加的是艺术类，其中舞蹈和绘画比例最大，就参加兴趣班的男女比例而言，女生参加兴趣班的比例远远超过男生.随机调查了某区 100 名 3～ 6 岁幼儿在一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况，得到如下表格：不参加舞蹈且不参加舞蹈不参加参加绘画不参加参加舞蹈且参加参绘画兴趣班舞蹈兴趣班绘画兴趣班加绘画兴趣班人数14352625（Ⅰ）估计该区3～ 6 岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率；（Ⅱ）通过所调查的100 名 3～ 6 岁幼儿参加兴趣班的情况，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99. 9% 的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关.参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计男生10女生70总计附： K2(an(ad bc)2 , n a b c d .c)(b d )( a b)(c d )P K 2 k 0. 10 0. 05 0. 025 0. 010 0. 005 0. 001 k 2. 706 3. 841 5. 024 6. 635 7. 879 10. 828【答案】（ I ）0.6（ II ）有99. 9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关，详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）画出韦恩图，计算参加舞蹈班的人数，再计算概率.（Ⅱ）补全列联表，计算K2，与临界值表作比较得到答案. 【详解】（ I ）画出韦恩图得：P600.6 100（ II ）参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计男生10 20 30女生50 20 70总计60 40 100K 2 100(200 1000)2 1600 25.4 10.82860 40 30 70 63所以，有 99. 9% 的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关.【点睛】本题考查了概率的计算，列联表，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f ( x) ax3 bx 4 ，当x 2时，函数 f (x) 有极大值 8（Ⅰ）求函数 f (x) 的解析式；（Ⅱ）若不等式 f (x) mx 0 在区间 [1,3] 上恒成立，求实数m 的取值范围【答案】（ I ）f ( x) 1 x 3 3x 4（II ）(0, )4【解析】 【分析】（Ⅰ）求导，当x 2 时，导函数为 0，原函数为 8，联立方程解得 a,b（Ⅱ）参数分离，设 g( x)1 x234 ，求在区间 [1,3] 上的最大值得到答案 .4 x【详解】（ I ） f '( x) 3ax 2 b∵当 x2 时，函数 f ( x) 有极大值 8 f '(2) 12a b 0a14∴8a 2b 4 ，解得f ( 2)8b3∴所以函数 f (x) 的解析式为 f ( x)1 x 3 3x 4 .4（ II ）∵不等式 f (x)mx 1 x 3 3x 4 mx 0 在区间 1,3 上恒成立4∴ m1 x234 在区间 1,3 上恒成立4 1 x 4令 g(x)x 23 , x [1,3] ，4x则由g '( x)1 x 4 x 3 8(x 3 8)2 x 22 x 23x 2解 g '( x) 0 得 1 x 2 ，解 g '( x) 0得 2 x 3所以当 1x 2 时， g x 单调递增，当 2x 3 时， g x 单调递减所以对 x [1,3] ，都有 g ( x) g (2) 0 ，所以 m0 ，即实数 m 的取值范围是 (0, ) .【点睛】本题考查了极值的性质，参数分离，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键 .21. 某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10 件样品检测质量指标（单位：分）如下：38， 43， 48， 49， 50，53， 57，60， 69，70. 经计算得110x i 53.7 1 x， s10 i 11010 2x i x 9.9 , 生产合同中规定： 质量指标在 62 分以上的i 1产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.（Ⅰ）以这 10 件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3 件，求有 2 件为优质品的概率；（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布N ,2，其中 近似为样本平均数，2近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若X ~ N,2，则 P(X )0.6827 ，P(2X2 )0.9544【答案】（ I ）12（ II）有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求，详见125解析【解析】【分析】（Ⅰ） 10件样品中优质品的频率为1 ，记任取3 件，优质品数为Y ，则Y~B3, 1，计算55得到答案 .（Ⅱ）记这种产品的质量指标为 X ，由题意知 X ~ N 53.7,9.9 2, P( X62) 0.15 得到答案 .【详解】（ I ） 10 件样品中优质品的频率为1 ，记任取 3 件，优质品数为 Y ，5则Y~B 3,12，P(Y 2)C 3214 12 555125 （ II ）记这种产品的质量指标为X ，由题意知X ~ N 53.7,9.9 2则 P(43.8 X 63.6) P( X ) 0.6827 ∵ P(X62)P(X1 0.68270.15865 0.1563.6)2∴有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.【点睛】本题考查了二项分布，正态分布，意在考查学生的应用能力和计算能力.22. 已知函数 f ( x)ln x a2x2ax.（ I ）讨论 f (x) 的单调性；（ II ）若 a 1 ，求证：当x 0 时， f ( x) e2 x x2 2 . 【答案】（ I ）答案不唯一，具体见解析（II ）见解析【解析】【分析】（ I ）求导，根据a 0, a 0, a 0 三种情况讨论单调性（ II ）将需要证明的不等式转化为：ln x x 1 e2x 2x 1分别计算不等式左边的最大值和右边的最小值，比较得证 .【详解】（ I ） f (x) 的定义域为(0, )f '(x) 1 2a2 x a 2a2 x2 ax 1 (ax 1)(2 ax 1)x x x∴当 a 0 时， f '(x) 10 ，x∴ f (x) 在(0, ) 上单调递增；当 a 0 时，解 f '( x) 0 得0 x 1得 x1，解 f '( x) 0 ，a a∴ f (x) 在0, 1 1 ,a 上单调递增，a上单调递减； 当 a 0 时，解 f '( x)0 得 0 x1 ，解 f '( x)1 2a 0 得 x2a∴ f (x) 在 0,1 上单调递增，1 ,上单调递减；2a 2a综上，当 a 0时， f (x) 在 (0, ) 上单调递增；当 a0 时， f ( x) 在 0,1上单调递增，1 , 上单调递减；aa当 a1上单调递增， 1上单调递减；0 时， f (x) 在 0,,2a2a（ II ）法 1：当 a 1 时， f ( x) ln x x 2x ，∴要证当 x0 时， f (x)e 2 xx 2 2 ，只要证 ln x e 2 xx 2 ，只要证 ln x x 1 e 2x2x 1（或证当 x 0时，ln xx 2x1 e 2x2 ）令 g(x) ln x x 1, x0 ，则 g '( x)1 1 ，x解 g '( x) 0 得 0 x 1 ，解 g '( x) 0 得 x 1 ，∴ gx 在 0,1 上单调递增，1,上单调递减，所以当 x 0 时， g (x)g (1) 0 ，等号成立当且仅当 x 1 .令 h(x) e 2 x2x 1, x 0 ，则 h '(x) 2e 2 x20 ，∴ hx 在 0,上单调递增所以当 x 0 时， h( x) h(0) 0 ，所以ln x x 1 e 2 x2x 1，原命题得证 . 法 2：令( x) e 2 xx 2 2 f ( x) e 2 xln x x 2 , x 0则 '( x)2e 2 x 1 1, ''( x) 4e 2 x1 0xx 2所以 '( x) 在 0, 上单调递增 .又 '12 e 5 0 ,''12e 3 0 ，42所以存在唯一的实数 x112e2x 01 1，且,，使得，' x 0 0 ，即4 2x 0当 0x x 0 时， '(x) 0 ，当 x x 0 时， '(x) 0，∴ (x) 在 0,x 0 上单调递减，在 x 0 ,上单调递增 .∴当 x0 时， ( x)x 0e 2xln x 0 x 02 ，因为 2e 2x 011 0 ，x 0所以 e 2x 01 1 ln x 02 x2 x2 x2 x2 x 0 ，2x 0 ， ln 2e1 ln 2eeln e2x 01 12 ，∴2x 0x 02∵ y1 1 1上单调递减，2x x 在区间,4 2x 01 12 1 1 2 0∴2x 0x 01222∴ (x)0 恒成立，即当 x 0 时， f ( x)e 2xx 2 2 .【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将需要证明的不等式转化为：ln x x 1 e 2 x 2x 1是解题的关键 .。

2023-2024学年广东省佛山市顺德区高二下学期5月月数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省佛山市顺德区高二下学期5月月数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省佛山市顺德区高二下学期5月月数学模拟试题一、单选题1.若前n 项和为n S 的等差数列{}n a 满足57912a a a +=-，则132S -=（）A.46B.48C.50D.52【正确答案】C【分析】由等差数列性质化简条件求7a ，结合等差数列前n 项和公式可求13S ，由此可得结论.【详解】由57912a a a +=-，有57912a a a ++=，根据等差数量性质可知5972a a a +=，所以7312a =，故74a =，所以()1131371313522a a S a +===，所以13250S -=.故选：C.2.小明的弟弟喜欢玩黏土，现在有4种颜色的黏土，小明的弟弟想要在如图所示圆盘（分为5个区域）上填入黏土，要求每个区域只能填入一种颜色的黏土，且相邻区域不得使用同一种颜色的黏土，则不同的填入方法共有（）A.24种B.48种C.72种D.96种【正确答案】C【分析】分2种情况讨论：（1）选用3种颜色时，必须是区域2、4同色且区域3、5同色，（2）选用4种颜色时，区域2、4同色或区域3、5同色，求出每种情况的填入方法，运用分类加法原理求解即可.【详解】由题意知，可分2种情况讨论：（1）选用3种颜色时，必须是区域2、4同色，区域3、5同色与区域1全排列填入方法有：3343C A 24=种，（2）选用4种颜色时，区域2、4同色或区域3、5同色的填入方法有：1424C A 48=种，所以不同的填入方法有244872+=种.故选：C.3.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）A.0.475B.0.525C.0.425D.0.575【正确答案】B【分析】运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可.【详解】设A =“发送的信号为0”，B =“接收到的信号为0”，则A =“发送的信号为1”，B =“接收到的信号为1”，所以()0.5P A =，()0.5P A =，(|)0.9P B A =，(|)0.1P B A =，(|)0.05P B A =，(|)0.95P B A =，所以接收信号为0的概率为：()()(|)()(|0.50.90.50.050.475P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，所以接收信号为1的概率为.()1()10.4750.525P B P B =-=-=故选：B.4.若函数()21ln 2f x ax x =-在区间1,23⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（）A.()9,+∞ B.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.(),9-∞ D.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用导数求得()f x 单调递减区间，问题等价于()f x 单调递减区间与区间1,23⎛⎫⎪⎝⎭的交集为非空区间，从而可以求参.【详解】由()()21ln 02f x ax x x =->，可得()1'f x ax x=-．①当0a ≤时，()'0f x <，此时函数()f x 单调递减，所以当0a ≤时，函数()21ln 2f x ax x =-在区间1,23⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递减区间.②当0a >时，令()'0f x =，可得x=当10x<<时，()()'0,f x f x <单调递减；当x >()()'0,f x f x >单调递增.所以函数()f x 的减区间为⎛ ⎝，增区间为⎫+∞⎪⎭，若函数()21ln 2f x ax x =-在区间1,23⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递减区间，只需13<09a <<.综上所述，9a <．故选：C5.某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A.72种B.81种C.144种D.192种【正确答案】D【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为2525A A 240=，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为2424A A 48=，由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.6.设随机变量(10,)X B p ~，且满足() 2.4D X =，(4)(6)P X P X =>=，则p ＝（）A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【正确答案】C【分析】根据二项分布的方差公式及概率公式列式求解即可.【详解】依题意可知，()10(1) 2.4D X p p =-=，即20.240p p -+=，解得0.6p =或0.4p =，又(4)(6)P X P X =>=，所以4466641010(1)C C (1)p p p p ->-，所以22(1)p p ->，解得102p <<，所以p =0.4．故选：C.7.已知()()()()20132202301220232111x a a x a x a x -=+++++++ ，则0122023a a a a ++++= （）A.40462 B.1C.20032 D.0【正确答案】A【分析】首先利用换元，转化为()20232202301220233t a a t a t a t -=++++ ，再去绝对值后，赋值求和.【详解】因为()()()()20132202301220232111x a a x a x a x -=+++++++ ，令1t x =+，可得1x t =-，则()()20232023220230122023231t a a t a t a t t --=+=++⎡⎤⎣⎦-+，二项式()20233t -的展开式通项为()220233201C 3rr rr T t -+=-⋅（02023r ≤≤且N r ∈），则()22020233C 31rrr r a -⋅=-⋅（02023r ≤≤且N r ∈）.当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，因此，令1t =-可得0122023a a a a ++++ ()202340460122023312a a a a =+-=--=+ .故选：A.8.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A .222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B.在第2022行中第1011个数最大C.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D.第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【正确答案】C 【分析】A 选项由11C C C m m m nn n -++=及22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++- 即可判断；B 选项由二项式系数的增减性即可判断；C 选项由11C C C m m m n n n -++=及6767C C =即可判断；D 选项直接计算比值即可判断.【详解】由11C C C m m m nn n -++=可得22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++- 32223445101111109C C C C 1C 11164321⨯⨯=++++-=-=-=⨯⨯ ，故A 错误；第2022行中第1011个数为1010101120222022C C <，故B 错误；666766767678778889C C C C C C C C C ++=++=+=，故C 正确；第34行中第15个数与第16个数之比为14153434343321343320C :C :15:203:4141311514131⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，故D 错误.故选：C.二、多选题9.已知2nx x ⎛⎝的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（）A.7n =B.展开式中各项系数的和为1-C.展开式中只有第4项的二项式系数最大D.展开式中含4x 项的系数为84【正确答案】ABD【分析】根据展开式的二项式系数和的性质求出n ，可判断A 正确；令1x =，求出展开式中各项系数的和，可判断B 正确；根据展开式中二项式系数的单调性，可判断C 错误；利用展开式的通项公式计算，可判断D 正确．【详解】对于A ，因为nx⎛ ⎝的展开式的二项式系数和为2n，所以721282n ==，则7n =，故A 正确；对于B ，令1x =，则771211x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝==-，所以展开式中各项系数的和为1-，故B 正确；对于C ，因为第4项的二项式系数为37C ，第5项的二项式系数47C ，所以3477C C =，又3210456777777777C C C C ,C C C C >>>>>>，所以展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C 错误；对于D ，因为7x⎛ ⎝的展开通项为3772177C (2)C kk k k k k k T x x --+⎛==- ⎝，令3742k -=，得2k =，则224443776(2)C 48421T x x x ⨯=-=⨯=⨯，所以含4x 项的系数为84，故D 正确．故选：ABD ．10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若130a =，1219S S =，则（）A.2d =-B.15n S S ≤C.150a =D.300S =【正确答案】AB【分析】由等差数列前n 项和公式求出d ，再结合通项公式和前n 项和公式逐项辨析即可.【详解】方法一：∵等差数列{}n a 满足130a =，1219S S =，∴由等差数列前n 项和公式有121119181230193022d d ⨯⨯⨯+⨯=⨯+⨯，解得2d =-，∴232n a n =-+，231n S n n =-+，对于A ，2d =-，故选项A 正确；对于B ，22319613124n S n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当n 取与312最接近的整数即15或16时，n S 最大，∴15n S S ≤，故选项B 正确；对于C ，152153220a =-⨯+=≠，故选项C 错误；对于D ，230303130300S =-+⨯=≠，故选项D 错误.方法二：∵等差数列{}n a 满足1219S S =，∴1912131415161718191670S S a a a a a a a a -=++++++==，∴160a =对于A ，1611530150a a d d =+=+=，∴2d =-，故A 正确；对于B ，1300a =>，20d =-<，160a =，∴1516n S S S =≥，故选项B 正确；对于C ，151620a a d =-=≠，故选项C 错误；对于D ，()()()13015163030303020300222a a a a S ⨯+⨯+⨯+====≠，故选项D 错误.故选：AB.11.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A.在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为12B.第二次抽到3号球的概率为1148C.如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D.如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种【正确答案】ABC【分析】对于A ，利用条件概率公式求解；对于B ，利用全概率公式求解；对于C ，利用贝叶斯公式求解；对于D ，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解.【详解】记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3,i A i =则有()112P A =，()()2314P A P A ==，对于A ，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为12P =故A 选项正确；对于B ，记第二次在第i 号盒子内抽到3号球的事件分别为()1,2,3,i B i =而123A A A ，，两两互斥，和为Ω，()111|4P B A =，()221|4P B A =，()331|6P B A =，即第二次抽到3号球的事件为B ，()[]113311111111()()()24444648|i i i i i i i A A A P B P B P P B ====⨯+⨯+⨯==∑∑，故B 选项正确；对于C ，记第二次在第i 号盒子内抽到3号球的事件分别为()1,2,3,i C i =而123A A A ，，两两互斥，和为Ω，()111|4P C A =，()221|4P C A =()331|6P C A =，记第二次抽到3号球的事件为C ，()[]113311111111()()()24444648|i i i i ii i AC A C P A C P P P ====⨯+⨯+⨯==∑∑,第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，()()()()1111111|624|111148P A P C A P A C P C ⨯===，()()()()2222211|344|111148P A P C A P A C P C ⨯===，()()()()3333311|246|111148P A P C A P A C P C ⨯===，即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C 选项正确；对于D ，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是22253522C C C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有33A 种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是2223535322C C C 150A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种，故D 选项错误；故选：ABC.12.过点(0,1)P -有三条直线和曲线32(R)y x ax bx b =++∈相切，则实数a 的可能取值是（）A.0B.3C.6D.4【正确答案】CD【分析】设切点为32(,)t t at bt ++，利用导数求得切线方程，代入P 点坐标，整理得32210t at +-=，令32()21g t t at =+-，()g t 有3个零点，利用导数求单调区间和极值，再由极大值大于0极小值小于0，求解实数a 的取值范围．【详解】由32y x ax bx =++，得232y x ax b '=++，设切点为32(,)t t at bt ++，则过切点的切线方程为21(32)y t at b x +=++，3221(32)t at bt t at b t ∴+++=++，整理得32210t at +-=，令32()21g t t at =+-，由题意得，()g t 有3个零点，2()62g t t at '=+，由()0g t '=，得0=t 或3a t =-，当0a =时，函数()g t 只有一个零点，舍去；当0a <时，03a->，由()0g t '>，得0t <或3a t >-，由()0g t '<，得03a t <<-，0t ∴=是函数()g t 的极大值点，由于(0)10g =-<，函数()g t 没有3个零点，舍去；0a ∴>，同理可得3at =-是函数()g t 的极大值点，0=t 是函数()g t 的极小值点，由于(0)10g =-<，由条件结合三次函数的性质可得：310327a ag ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，即3a >．∴实数a 的取值范围是(3,)+∞．故选：CD ．三、填空题13.()521x y++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【正确答案】30【分析】求出()521⎡⎤++⎣⎦x y 的通项令2r =时得()3245C 1+x y ，再求出()31x +展开式中2x 的系数可得答案.【详解】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故30.14.设()P M 表示事件M 发生的概率，若()()112,,()243P A P B A P B A ===∣∣，则()P B =__________.【正确答案】724【分析】根据题意分别求出(P B A 、()P A 进而利用()()()P B P AB P AB =+即可求出结果.【详解】因为1(1()3P B A P B A =-=，1(1()2P A P A =-=，则()()()()(|)((|)P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅11117242324=⨯+⨯=故答案为.72415.在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布()100,100N ．已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有______人．（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈）【正确答案】840【分析】利用正态分布的对称性及三段区间的概率求(70110)(3)P X P X μσμσ<<=-<<+，进而估计区间人数.【详解】由题设100,10μσ==，所以(70110)(3)P X P X μσμσ<<=-<<+=(33)()0.842P X P X μσμσμσμσ-<<++-<<+=，所以考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有10000.84840⨯=人.故84016.已知函数2ln ,0()1,0x kx x f x kx x x ->⎧=⎨-+≤⎩，若()f x 恰有两个零点，则k 的取值范围为__________.【正确答案】()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】利用分离参数法得ln x k x =，0x >，21x k x-=，0x <，从而转化为直线y k =与函数图象交点个数问题，利用数形结合的思想即可得到答案.【详解】当0x >时，令()ln 0f x x kx =-=，则ln xk x=，令()ln x h x x=，0x >，()221ln 1ln x xx x h x x x ⋅--'==，令()0h x '>，即1ln 0x ->，解得0e x <<，此时()h x 单调递增，令()0h x '<，即1ln 0x -<，解得e x >，此时()h x 单调递减，故()h x 在e x =时，取得最大值()1e eh =，且当x 趋近于0时，()h x 趋近于负无穷，当x 趋近于正无穷时，()h x 趋近于0，且大于0，当0x ≤时，()21f x kx x =-+，当0x =时，()01f =，故此时不是零点，所以0x ≠，令()201f x kx x =-+=，22211111124x k x x x x -⎛⎫==-=--- ⎪⎝⎭，令()211x x xϕ=-，0x <，根据符合函数单调性可知，此时函数单调递减，当x 趋近于负无穷时，()x ϕ趋近于0，且小于0，当x 趋近于0时，()x ϕ趋近于负无穷，在同一坐标系中作出()h x 与()x ϕ如下图所示，题目转化为y k =与函数()h x 与()x ϕ在图像上有两交点，故由图得()1,00,e k ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭.故答案为.()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题17.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.（1）有女生但人数必须少于男生；（2）某女生一定担任语文科代表；（3）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表.【正确答案】（1）5400（种）（2）840（种）（3）3360（种）【分析】（1）先选后排，分类讨论列式求解；（2）除去一定担任语文科代表的女生后先选后排，，先选后排计算可得；（3）先安排不担任语文科代表的该男生，先选后排计算可得.【小问1详解】先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先选有32415353C C C C +种，后排有55A 种，所以共有不同选法()3241553535C C C C A 5400+⋅=（种）.【小问2详解】除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法4474C A =840⋅（种）.【小问3详解】先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法414744C C A 3360⋅⋅=（种）.18.公差不为0的等差数列{}n a ，满足24139220,,,a a a a a +=成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】（1）2n a n =；（2）()1122n n T n +=-+．【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意列出关于1,a d 的两个方程，求出1,a d ，从而可求出通项公式；（2）利用错位相减法即得.【小问1详解】设{}n a 的公差为,0d d ≠，因为24139220,,,a a a a a +=成等比数列，则()()12111372028a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，又0d ≠，解得12a =，2d =，故()2212n a n n =+-=；【小问2详解】由（1）知122n n n n b a n -==⋅，则212222nn T n =⨯+⨯++⋅ ，231212222n n T n +=⨯+⨯++⋅ ，所以()1221112222222212212n nn n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=---L ，所以()1122n n T n +=-+．19.作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．（1）从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．【正确答案】（1）0.375（2）0.4【分析】(1)利用条件概率公式求解；(2)利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】设=i A “小明与第i （1i =，2，3）类棋手相遇”，根据题意()10.5P A =，()()230.25,0.25P A P A ==，记B =“小明获胜”，则有1(|)0.3P B A =，2(|)0.4P B A =，3(|)0.5P B A =，由全概率公式，小明在比赛中获胜的概率为()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.50.30.250.40.250.5=⨯+⨯+⨯0.375=，所以小明获胜的概率为0.375．【小问2详解】小明获胜时，则与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为1111()()(|)0.50.3(|)0.4()()0.375P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====，即小明获胜，对手为一类棋手的概率为0.4．20.为贯彻落实《健康中国行动（2019—2030年）》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.（1）求这200名学生体重的平均数x 和方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）.（2）由频率分布直方图可知，该校学生的体重Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μμ近似为平均数x ，2σ近似为方差2s .①利用该正态分布，求50.7369.27P <Z ≤（）；②若从该校随机抽取50名学生，记X 表示这50名学生的体重位于区间](50.73,69.27内的人数，利用①的结果，求()E X .参考数据.869.27≈若2(,)Z N μσ ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+≈，(22)0.9544P -Z μσμσ<≤+≈，(33)0.9974P Z μσμσ-<≤+≈.【正确答案】（1）60，86（2）①0.6826；②34.13【分析】（1）根据频率分布直方图平均数的求法即可求出x ，利用方差公式计算即可求解；（2）由（1）可知60μ=，869.27δ==，结合题意给的参照数据即可求出()50.7369.27P Z ≤＜，进而得)50,0.6826X B ～（，利用二项分布求数学期望公式计算即可求解.【小问1详解】由题意得，400.02500.3600.4700.23800.04900.0160x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；2222222(4060)0.02(5060)0.3(6060)0.4(7060)0.23(8060)0.04(9060)0.0s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4000.021000.300.41000.234000.049000.0186=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；【小问2详解】①由（1）可知60μ=，9.27δ==，则()50.7369.27(609.27609.27)0.6826P Z P Z ≤=-≤+≈＜＜；②由①可知1名学生的体重位于](50.73,69.27的概率为0.6826.则)50,0.6826X B ～（，所以()500.682634.13E X =⨯=.21.已知甲、乙两所体校都设有三个考试科目：足球、长跑、跳远．若小明报考甲体校，其每个科目通过的概率均为23，若小明报考乙体校，则其足球、长跑、跳远三个科目通过的概率依次为34，23，m ，其中01m <<，且每个科目是否通过相互独立．（1）若34m =，A 表示事件“小明报考甲体校时恰好通过2个科目”，B 表示事件“小明报考乙体校时至多通过2个科目”，求()P A ，()P B ；（2）若小明报考甲体校相比报考乙体校，通过的科目数的期望值更大，求m 的取值范围．【正确答案】（1）()49P A =；()58P B =（2）70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率求法直接求解即可；（2）根据二项分布期望公式可求得()E X ；由离散型随机变量数学期望计算公式可求得()E Y ，由()()E X E Y >可构造不等式求得结果.【小问1详解】()223224C 1339P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()323514348P B =-⨯⨯=.【小问2详解】设小明报考甲体校通过的科目数为X ，报考乙体校通过的科目数为Y ，根据题意可知随机变量2B 3,3X ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，()2323E X ∴=⨯=；随机变量Y 所有可能取值为0,1,2,3，则()()111014312m P Y m -==⨯⨯-=；()()()3112115411143434312mP Y m m m -==⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯=；()()32311262143434312m P Y m m m -==⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=；()323432mP Y m ==⨯⨯=；()154617120123121212212m m m m mE Y ---+∴=⨯+⨯+⨯+⨯=，()()E X E Y > ，1712212m +∴>，又01m <<，7012m ∴<<，即m 的取值范围为70,12⎛⎫⎪⎝⎭.22.已知函数2()ln f x x ax x =-+()a ∈R ．（1）若存在[1,2]x ∈使得()0f x ≥成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1(1,)x ∈+∞，求证：()()123ln 24f x f x -<-+．【正确答案】（1）1,2ln 22⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）分离参数可得2ln x x a x +≤，设2ln ()x xg x x +=，原题可转化为max ()a g x ≤.求出221ln ()x x g x x+-'=，构造2()1ln h x x x =+-，可证得()0h x >恒成立，进而得出()g x 单调递增，即可得出a 的取值范围；（2）求出221()x ax f x x-+'=.由已知可得，12,x x 是方程2210x ax -+=的两个相异实根，且1212x x =.求出()()12f x f x -，整理可得()()()221121211ln 24f x x x x x f =-+-.换元令21t x =，()1ln(2)4k t t t t =-+，求出()0k t '<，即可得出()()31ln 24k t k <=-+.【小问1详解】由于0x >，故20()ln f x x ax x =+≥-转化为2ln x x a x+≤．设2ln ()x xg x x +=，则221ln ()x x g x x +-'=.设2()1ln h x x x =+-，则2121()2x h x x x x-'=-=.由于0x >，解()0h x '=，解得22x =.解()0h x '>可得，2x >，所以()h x 在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；解()0h x '<可得，02x <<，所以()h x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.故()h x在2x =处有极小值，也是最小值31ln 20222h ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.所以故()0g x '>在()0,∞+上总成立，所以2ln ()x xg x x+=为单调增函数.又存在[1,2]x ∈使得()0f x ≥成立，只需max ()a g x ≤即可，所以()122ln 22a g ≤=+，即a 的取值范围是1,2ln 22⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦．【小问2详解】由已知可得，()f x 定义域为()0,∞+，且221()x ax f x x-+'=.由已知()f x 有两个极值点12,x x ，所以方程2210x ax -+=有两个相异根12,x x ，则280a ∆=->，且1212x x =，211210x ax -+=，222210x ax -+=，所以21121ax x =+，22221ax x =+.所以()()2222111111111ln 21ln ln 1f x x ax x x x x x x =--=+-+++=-，()2222ln 1f x x x =-+-，所以()()()22121122ln 1l 1n f x f x x x x x -++-=----()2222221112111lnln 24x x x x x x x =--=-+.令21t x =，则1t >，设()1ln(2)4k t t t t=-+.则()2211111042k t t t t ⎛⎫'=--+=--< ⎪⎝⎭，所以()1ln(2)4k t t t t=-+在(1,)+∞为减函数，所以()()1311ln 2ln 244k t k <=-+=-+.即()()123ln 24f x f x -<-+．方法点睛：小问1中，根据0x >，分离参数得到2ln x xa x+≤.构造函数，通过求解函数的最值，即可得出a 的取值范围.。

2020-2021学年广东省佛山市顺德第一高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析

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2020-2021学年广东省佛山市顺德第一高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数的虚部是（）A．-1 B． C．1 D．参考答案：C2. 边长为的三角形的最大角的余弦是（）.A．B．C．D．参考答案：B3. 在命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真参考答案：D4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．140石B．160石C．180石D．200石参考答案：C【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据数得250粒内夹谷30粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1500×=180石，故选：C．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．5. 若向量与的夹角为，，，则（）Ａ．Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12参考答案：C6. 设是等差数列的前n项和，若（）A． B． C． D．参考答案：A略7. 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m参考答案：B【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m?α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B8. 下列说法中，错误的是（）A．命题“若”的逆否命题为“若”B．“”是“”的充分不必要条件C．对于命题D．若为假命题，则p，q均为假命题参考答案：D略9. 用反证法证明命题：“,,,且,则中至少有一个负数”时的假设为( )A．中至少有一个正数 B．全为正数C．全都大于等于0 D．中至多有一个负数参考答案：B10. 已知a≥1，曲线f（x）=ax3﹣在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则k的最小值为（）A．B．2C．2 D．4参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由对勾函数的单调性，可得斜率k的最小值．【解答】解：f（x）=ax3﹣的导数为f′（x）=3ax2+，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率k=3a+，k=3a+的导数为3﹣，由a≥1，可得3﹣＞0，则函数k在[1，+∞）递增，可得k的最小值为3+1=4．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于__________．参考答案：12. 点P在直线上，O为原点，则|的最小值是参考答案：13. 过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。

2020-2021学年广东省佛山市顺德区高二下学期期末数学复习卷2

2020-2021学年广东省佛山市顺德区高二下学期期末数学复习卷2

2020-2021学年广东省佛山市顺德区高二下学期期末数学复习卷2一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=(i为虚数单位)，则z的虚部为()A. −1B. 0C. 1D. i2.曲线f(x)=e x−x2+x在点(0,f(0))处的切线方程是()A. 2x+y+1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x−y−1=03.李老师从课本上抄录一个随机变量Y的概率分布列如表：请小王同学计算Y的期望.尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同.据此，小王给出了EY的正确答案为()A. B. 2 C. 7 D.4. 在平面几何里有射影定理：设三角形上的射影，则。

拓展到空间，在四面体，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是A. B.C. D.5. 如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x−1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是()A. 1eB. 1e−1C. 1−1eD. e−2e−16. 既是奇函数又在(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x 2B. y =x−1xC. y =x +1xD. y =x −1x7. 用数学归纳法证明不等1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n >2324(n ≥2)的过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边( )A. 增加了一项12(k+1) B. 增加了一项12k+1+12(k+1) C. 增加了12k+1+12(k+1)，又减少了1k+1 D. 增加了 12(k+1)，又减少了1k+18. 由下表可计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x 5 4 3 2 1y21.5 1 10.5A. ŷ=0.35x +0.15 B. ŷ=−0.35x +0.25 C. y ̂=−0.35x +0.15 D. ŷ=0.35x +0.25 9.设f(x)=x 2(2−x)，则f(x)的单调增区间是( )A. x ∈(0,43) B. x ∈(43,+∞)C. x ∈(−∞,0)D. x ∈(−∞,0)∪(43,+∞)10. 将5名世博会志愿者全部分配给4个不同的地方服务，不同的分配方案有( )A. 8B. 15C. 512D. 102411. 在(2−x)5的展开式中，前3项的系数和为( )A. 16B. 32C. 80D. 16012. 函数的图象如图所示，则导函数的图象的大致形状是( )A. AB. BC. CD. D二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：(1−i)(2+i)=______ ．14.已知函数f(x)=e x sinx，则f′(π2)=______ ．15.设常数a∈R，如果(x2+ax)5的二项展开式中x项的系数为−80，那么a=______．16.有下列各式：1+12+13>1，1+12+⋯+17>32，1+12+13+⋯+115>2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)分别比较log23和log34，log34和log45的大小，归纳出一个一般性的结论，并证明你的结论；(2)已知a，b，x，y∈R，证明：(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2，并利用上述结论求(sin2x+cos2x)(1sin2x +4cos2x)的最小值(其中x∈R)．18.某学校举办一场以“为希望工程献爱心”为主题的图书义卖活动，同学甲随机地从10本书中买两本，假设每本书被甲同学买走的概率相同，已知这10本书中有3本单价定为10元，4本单价定为15元，3本单价定为20元，记甲同学买这两本书所付金额为ξ(元).求：(1)随机变量ξ的分布列；(2)随机变量ξ的期望Eξ和方差Dξ．19.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100(1)求a，d的值；(2)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(k2≥k0)0.150.1000.0500.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知函数其中m，a均为实数．(1)求g(x)的极值；(2)设m=1，a<0，若在[2,4]上为减函数，求a的最小值；(3)设a=2，若对任意给定的x 0∈(0,e]，在区间(0,e]上总存在t 1，t 2(t 1≠t 2)，使得f(t 1)=f(t 2)=g(x 0)成立，求m的取值范围．21. 在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、停车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如表所示：(1)求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差(同一区间的花费用区间的中点值替代)；(2)以频率估计概率，假设A地区2016年共有10000名新车车主，若所有车主5年内新车花费ξ可视为服从正态分布N(μ,σ2)，μ，σ2分别为(1)中的平均数x−以及方差s2，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在[5.2,13.6)的人数；(3)以频率估计概率，若从2016年A地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在[9,15]的人数为X，求X的分布列以及数学期望．参考数据：√2≈1.4；若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+ 2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．22. 已知函数f(x)=(x−1)e x+13x3−kx2+12(k≥0)．(1)当k=12时，判断函数f(x)的单调性；(2)证明：函数f(x)恰有一个零点．【答案与解析】1.答案：C解析：主要考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解：复数z=1+2i2−i =(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=5i5=i，∴z的虚部为1．故选C．2.答案：C解析：解：由f(x)=e x−x2+x，得f′(x)=e x−2x+1，∴f′(0)=e0−2×0+1=2，又f(0)=e0=1，∴曲线f(x)=e x−x2+x在点(0,f(0))处的切线方程是y=2x+1，即2x−y+1=0．故选：C．求出原函数的导函数，得到f′(0)，再求得f(0)，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．3.答案：B解析：本题考查了概率分布列的概念，离散型的数学期望的计算方法，属于中档题．根据概率分布列的概率的和为1，表示“！”都为x，则“？”为1−2x，利用离散型的数学期望的计算方法．解：根据题意设两个“！”都为x，则“？”为1−2x，根据概率分布列得出数学期望E(Y)=1⋅x+2⋅(1−2x)+3x=2−4x+4x=2，故选B．4.答案：A解析：本题考查了类比推理，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，故可得答案．解：由已知在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，则AB2=BD⋅BC，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A−BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则(S△ABC)2=S△BOC.S△BDC．故选A．5.答案：D解析：本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题．求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．解：由题意，阴影部分的面积为∫(1e x−1)dx=(e x−x)|01=e−2，∵矩形区域OABC的面积为e−1，∴该点落在阴影部分的概率是e−2e−1．故选D．6.答案：D解析：解：由奇函数的性质可知，A：y=x2为偶函数，不符合条件；B：y=f(x)=x−1x =1−1x为非奇非偶函数，不符合题意；C ：y =x +1x 为奇函数，但在(0,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增，不符合题意； D ：y =x −1x ，f(−x)=−x +1x =−f(x)，为奇函数，而y =x −1x 在(0,+∞)上单调递增，故选：D ．要判断函数是否为奇函数，只要检验f(−x)=−f(x)是否成立即可；然后再根据函数单调性的定义进行判断即可本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的定义的简单应用，属于基础试题．7.答案：C解析：解：当n =k 时，左端1k+1+1k+2+⋯+12k ， 那么当n =k +1时 左端=1k+2+1k+3…+12k +12k+1+12k+2，故第二步由k 到k +1时不等式左端的变化是增加了12k+1和12k+2两项，同时减少了1k+1这一项， 故选：C ．当n =k 时，写出左端，并当n =k +1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．本题是基础题，考查数学归纳法的证明方法，就是n =k 到n =k +1时的证明方法，找出规律解答．8.答案：A解析：解：x =5+4+3+2+15=3，y =2+1.5+1+1+0.55=1.2，∴b =5×2+4×1.5+3+2+0.5−5×3×1.252+42+32+22+12−5×32=0.35，a =1.2−0.35×3=0.15， ∴线性回归方程为y =0.35x +0.15． 故选：A ．利用平均数公式求得平均数，代入公式求回归系数，可得回归直线方程． 本题考查了线性回归方程是求法，利用最小二乘法求回归系数时，计算要细心．9.答案：A解析：解：f(x)=x 2(2−x)， ∴f′(x)=x(4−3x)，令f′(x)>0，解得：0<x <43， 故选：A ．先求出函数的导函数，令导函数大于0，解不等式求出即可．本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．10.答案：D解析：解：根据题意，将5名世博会志愿者全部分配给4个不同的地方服务，每位志愿者有4种选择，则有4×4×4×4×4=1024种分配方案；故选：D．根据题意，分析可得每位志愿者有4种选择，则由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，注意不是排列问题，属于基础题．11.答案：B解析：解：因为在(2−x)5的展开式中，通项公式为T r+1=∁5r⋅25−r⋅(−x)r，∴前3项的系数和为：C5025−C5124+C5223=32，故选：B．先求出其展开式的通项公式即可求解结论本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题12.答案：D解析：试题分析：因为函数的图象先减后增，然后为常数函数，所以对应的导函数的值先负后正，最后等于0，由此可得满足条件的图象是.故选．考点：1.函数的图像；2.函数的单调性和导函数的函数值符号间的关系；3.数形结合．13.答案：3−i解析：解：(1−i)(2+i)=1×2−2i+i−i2=3−i，故答案为：3−i直接按多项式乘法运算法则展开，化简即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．14.答案：eπ2解析：解：f′(x)=e x sinx+e x cosx，∴f′(π2)=eπ2sinπ2+eπ2cosπ2=eπ2，故答案为：eπ2．先求导，再代值计算即可．本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．15.答案：−2解析：解：(x 2+ax )5的二项展开式的通项公式：T r+1=∁5r (x 2)5−r (ax )r =a r ∁5r x10−3r， 令10−3r =1，解得r =3． ∴a 3∁53=−80， 解得a =−2． 故答案为：−2利用二项式定理的通项公式即可得出本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16.答案：1+12+13++12n+1−1>n+12(n ∈N ∗)解析：试题分析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n 个式子中应有2n+1−1项，不等式右侧分别写成22，32，42故猜想第n 个式子中应为n+12，由此可写出一般的式子．观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n 个式子中应有2n+1−1项， 不等式右侧分别写成22，32，42故猜想第n 个式子中应为n+12，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1+12+13++12n+1−1>n+12(n ∈N ∗)故答案为：1+12+13++12−1>n+12(n ∈N ∗) 17.答案：解：(1)log 23−log 34=lg3lg2−lg4lg3=lg 23−lg2lg4lg2lg3>lg 23−(lg2+lg42)2lg2lg3>lg 23−(12lg9)2lg2lg3=0，所以log 23>log 34 同理log 34>log 45，一般性的结论：log n (n +1)>log (n+1)(n +2).(n ∈N +)log (n+1)(n+2)log n (n+1)=log (n+1)(n +2)log (n+1)n <[log (n+1)(n+2)n 2]2<1，∵log n (n +1)>0，∴log n (n +1)>log (n+1)(n +2).(n ∈N +)；(2)∵(a 2+b 2)(x 2+y 2)−(ax +by)2=a 2x 2+a 2y 2+b 2x 2+b 2y 2−(a 2x 2+2abxy +b 2y 2)=a 2y 2−2abxy +b 2x 2=(ay −bx)2≥0∴(a 2+b 2)(x 2+y 2)≥(ax +by)2由不等式(a 2+b 2)(x 2+y 2)≥(ax +by)2成立 知(sin 2x +cos 2x)(1sin 2x +4cos 2x )≥9， ∴(sin 2x +cos 2x)(1sin 2x +4cos 2x )的最小值为9． 解析：(1)作差(作商)，即可比较证明大小；(2)作差比较即可证明；由不等式(a 2+b 2)(x 2+y 2)≥(ax +by)2成立知(sin 2x +cos 2x)(1sin 2x +4cos 2x)≥9，即可得出结论．本题考查合情推理，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由题意可得：ξ可能取的值为：20，25，30，35，40，所以P(ξ=2)=C 32C 102=115；P(ξ=25)=C 31C 41C 102=415；P(ξ=30)=C 42+C 31C 31C 102=515=13；P(ξ=35)=C 41C 31C 102=415；P(ξ=40)=C 32C 102=115， 所以随机变量ξ的分布列为：(2)由(1)可得：随机变量ξ的期望Eξ=20×115+ 25×415+30×13+35×415+40×115=30，方差Dξ=(20−30)2×115+(25−30)2×415+(30−30)2×13+(35−30)2×415+(40−30)2×115=803．解析：(1)由题意可得：ξ可能取的值为：20，25，30，35，40，再分别求出其概率进而得到随机变量ξ的分布列．(2)结合(1)的结论与期望与方差的计算公式即可得到答案．本题主要考查等可能事件的概率公式，以及离散型随机变量的分布列、期望与方差，此题属于基础题．19.答案：解：(1)因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以a =60−40=20，d =40−5=35； (2)由列联表可得K 2=100×(20×35−40×5)260×40×25×75=509>5.024，而P(K 2>5.024)=2.5%，所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．(1)根据题意计算列联表中数据a、d的值；(2)由列联表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．20.答案：解析：(Ⅰ)，由g′(x)>0时，得到函数的递增区间；令g′(x)<0时，得到函数的递减区间；从而计算函数的极值。