(专题精选)初中数学锐角三角函数的易错题汇编附解析

（专题精选）初中数学锐角三角函数的易错题汇编附解析

一、选择题

1．如图，已知圆O的内接六边形ABCDEF的边心距2OM，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（ ）

A．2 B．4 C．63 D．43

【答案】D

【解析】

【分析】

连接,OCOB，过O作ONCE于N，证出COB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接,OCOB，过O作ONCE于N，

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴60COBo，

∵OCOB，

∴COB是等边三角形，

∴60OCMo，

∴sinOMOCOCM•，

∴43()sin603OMOCcm．

∵30OCNo，

∴123,223ONOCCN，

∴24CECN，

∴该圆的内接正三角形ACE的面积123344323，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC是解决问题的关键．

2．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则AB两地之间的距离约为（ ）

A．1000sin米 B．1000tan米 C．1000tan米 D．1000sin米

【答案】C

【解析】

【分析】

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tanACAB，即可解决问题．

【详解】

解：在RtABC中，∵90CABo，B，1000AC米，

∴tanACAB，

∴1000tantanACAB米．

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3．如图，在ABC中，ABAC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且12MNBC，MDBC交AB于点D，NEBC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BMx，BMD的面积减去CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设a＝12BC，∠B＝∠C＝α，求出CN、DM、EN的长度，利用y＝S△BMD−S△CNE，即可求解．

【详解】

解：设a＝12BC，∠B＝∠C＝α，则MN＝a，

∴CN＝BC−MN−BM＝2a−a−x＝a−x，DM＝BM·tanB＝x·tanα，EN＝CN•tanC＝（a−x）·tanα，

∴y＝S△BMD−S△CNE＝12（BM·DM−CN·EN）＝221tantan222xaxatanxa，

∵2atan为常数，

∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，

故选：A．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

4．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( )

A．833 B．433 C．8 D．83

【答案】A

【解析】

【分析】

根据折叠性质可得BE=12AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.

【详解】

∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，

∴BE=12AB=2，∠BEF=90°，

∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，

∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，

∴∠EA′B=30°，

∴∠EBA′=60°，

∴∠ABM=30°，

∴在Rt△ABM中，AB=BMcos∠ABM，即4=BMcos30°，

解得：BM=833，

故选A.

【点睛】

本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.

5．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）

A．53 B．35 C．22 D．23

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEFAEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BEDCDF，设1CD，CFx，则2CACB，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵△DEF是△AEF翻折而成，

∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，

∴∠BED＝∠CDF，

设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，

∴DF＝FA＝2﹣x，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，

CF2+CD2＝DF2，

即x2+1＝（2﹣x）2，

解得：34x，

3sinsin5CFBEDCDFDF．

故选：B．

【点睛】

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

6．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DEGFAB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）

A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小

【答案】B

【解析】

【分析】

连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=S△GDE＋S△EGF即可求出结论．

【详解】

解：连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N

设AE=BG=x，则BE=AB－AE=AB－x

∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB

∴S阴影=S△GDE＋S△EGF

=12DE·GN＋12GF·EM

=12DE·（x·sinB）＋12DE·[（AB－x）·sinB]

=12DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]

=12DE·AB·sinB

∵DE、AB和∠B都为定值

∴S阴影也为定值

故选B．

【点睛】

此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．

7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（ ）

A．247 B．73 C．724 D．13

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．

在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，

解得x=254，故CE=8-254=74，

∴tan∠CBE=724CECB.

故选C.

考点：锐角三角函数.

8．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．

【详解】

解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BCAC，

所以sin∠A＝0.25.

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．

点睛：

本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．

9．如图，AB是Oe的弦，直径CD交AB于点E，若3AEEB，15Co，则OE的长为( )

A．3 B．4 C．6 D．33

【答案】D

【解析】

【分析】

连接OA．证明OAB是等边三角形即可解决问题．

【详解】

如图，连接OA．

∵AEEB，

∴CDAB，

∴»»ADBD，

∴230BODAODACDo，

∴60AOBo，

∵OAOB，

∴AOB是等边三角形，

∵3AE，

∴tan6033OEAEo，

故选D．

【点睛】

本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )