【高考解码】(新课标)高考数学二轮复习 空间几何体的三视图、表面积与体积

空间几何体的三视图、表面积与体积

1．(2014·江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

【解析】 由三视图的知识得B正确．

【答案】 B

2．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(

)

A．72 cm3 B．90 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3

【解析】 由题中三视图知，该几何体由一个长方体与一个三棱柱组成，体积V＝3×4×6＋12×3×4×3＝90(cm3)，故选B.

【答案】 B

3．(2014·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )

A．4π B．3π C．2π D．π

【解析】 ∵圆柱侧面展开图为矩形，底面圆半径为1，

S侧＝2πr·l＝2π×1×1＝2π，故选C.

【答案】 C

4．(2014·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．54 B．60 C．66 D．72

【解析】 S表＝S底＋S上＋S左＋S前＋前

＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5

＝60.

【答案】 B

5．(2014·全国大纲高考)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

A.81π4 B．16π C．9π D.27π4

【解析】

易知SO′＝4

O′D＝1222＋22＝2

设球的半径为R，则(4－R)2＋22＝R2

∴R＝94，∴S球＝4πR2＝81π4.

【答案】 A

从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：

1．空间几何体的三视图及确定应用

①此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合，主要考查学生的空间想象能力，是每年的必考内容之一．

②试题多以选择题的形式出现，属基础题．

2．计算空间几何体的表面积与体积

①该考向主要以三视图为载体，通常是给出某几何体面积或体积，作为新课标教材的新增内容，日益成为了高考中新的增加点和亮点．主要考查学生的计算能力和空间想象能力及识图能力．

②试题多以选择题、填空题为主，多属于中档题．

3．多面体与球的切、接问题

①该考向命题背景宽，以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接的形式出现，也是高考中的一大热点．主要考查学生的空间想象能力和计算能力．

②试题多以选择题、填空题的形式出现，属于中档题. 空间几何体的三视图及应用

【例1】 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(

)

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱

(2)(2014·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(

)

A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②

【解析】 (1)直观图为：

(2)在空间直角坐标系O－xyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.

【答案】 (1)B (2)D

【规律方法】 识与画三视图的关键点：

(1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廊线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点．正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正视图对正，画在正视图的正下方；侧视图要画在正视图的正右方，高度要与正视图平齐．

(2)要熟悉各种基本几何体的三视图．

[创新预测] 1．(1)(2014·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(

)

(2)(2014·昆明调研)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形．若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系0xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为( )

A．(1,1,1) B．(1,1，2)

C．(1,1，3) D．(2,2，3)

【解析】 (1)由已知得选项A、B、C与俯视图不符，故选D.

(2)因为正视图和侧视图是等边三角形，俯视图是正方形，所以该几何体是正四棱锥，还原几何体并结合其中四个顶点的坐标，建立空间直角坐标系，设O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，所求的第五个顶点的坐标为S(1,1，z)，正视图为等边三角形，且边长为2，故其高为4－1＝3，又正四棱锥的高与正视图的高相等，故z＝±3，故第五个顶点的坐标可能为(1,1，3)．

【答案】 (1)D (2)C

空间几何体的表面积与体积

【例2】 (1)(2014·山东高考)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

(2)(2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

(3)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )

A．21＋3

B．18＋3

C．21

D．18

【解析】 (1)设棱锥的高为h，∵V＝23，

∴V＝13×S底·h＝13×6×34×22×h＝23.

∴h＝1，由勾股定理知：侧棱长为22＋1＝5.

∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为52－12＝2，

∴S侧＝12×2×2×6＝12.

(2)由几何体的三视图知，该几何体由两部分组成，一部分是底面半径为1 m，高为4 m的圆柱，另一部分是底面半径为2 m，高为2 m的圆锥．

∴V＝V柱＋V锥＝π×12×4＋13π×22×2＝20π3(m3)．

(3)根据几何体的三视图画出其直观图，根据直观图特征求其表面积．

由几何体的三视图如题图可知，则几何体的直观图如图所示．

因此该几何体的表面积为6×4－12＋2×34×(2)2＝21＋3.故选A. 【答案】 (1)12 (2)20π3 (3)A

【规律方法】 1.求解几何体的表面积及体积的技巧：

(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．

(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．

2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤：

(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．

(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．

(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．

[创新预测]

2．(1)(2014·全国新课标Ⅰ高考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(

)

A．62 B．42

C．6 D．4

(2)(2014·辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A．8－π4 B．8－π2 C．8－π D．8－2π

【解析】

(1)还原为直观图放在正方体中如图所示三棱锥D－ABC.

AB＝BC＝4，AC＝42，

DB＝DC＝25，DA＝22＋4＝6.

故最长的棱长为6.故选C.

(2)该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V＝23－12×2π＝8－π，故选C.

【答案】 (1)C

(2)C

多面体与球的切、接问题

【例3】 (1)(2014·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )

A.32π3 B．4π C．2π D.4π3

(2)(2014·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(

)

A．1 B． 2 C．3 D．4

【解析】 (1)连接AC，BD相交于O1，连接A1C1，B1D1，相交于O2并连接O1O2，则线段O1O2的中点为球心．

∴半径R＝|OB|＝|OO1|2＋|O1B|2＝222＋222＝1，

∴V球＝43πR3＝43π，故选D.

(2)由题意知，几何体为三棱柱，设最大球的半径为R.

∴2R＝(6＋8)－10＝4，

∴R＝2.

【答案】 (1)D (2)B

【规律方法】 多面体与球接、切问题的求解策略：

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．

[创新预测]

3．(1)(2013·辽宁高考)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )

A.3172 B．210

C.132 D．310

(2)(2013·全国课标Ⅱ高考)已知正四棱锥O­ABCD的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．

【解析】 (1)根据球的内接三棱柱的性质求解．

因为直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝122＋52＝13，即R＝132.

(2)本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．

V四棱锥O­ABCD＝13×3×3h＝322，得h＝322，

∴OA2＝h2＋(AC2)2＝184＋64＝6.

∴S球＝4πOA2＝24π.

【答案】 (1)C (2)24π

[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点：

失分盲点

1．(1)台体的构成：

台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．

(2)三视图的不唯一性：

空间几何体的不同放置位置对三视图会有影响．

(3)三视图轮廓线的虚实：

正确确定三视图的轮廓线，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．

(4)元素与位置的变与不变：